Grup (matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 2:
Dalam [[matematika]], '''grup''' adalah suatu [[himpunan]], beserta satu [[operasi biner]], seperti perkalian atau penjumlahan, yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut ''aksioma grup''. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut [[teori grup]].
Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan
Asal usul teori grup berawal dari kerja [[Evariste Galois]] (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori [[
== Definisi dan ilustrasi ==
=== Contoh pertama: bilangan bulat ===
Salah satu grup yang lebih dikenal adalah himpunan [[bilangan bulat]] :<math>\mathbb{Z} = \{\ldots,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots\}</math>
dengan [[penambahan]].<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 2005|loc = App. 2, p. 360|nb = yes}}</ref> Untuk dua bilangan bulat ''a'' dan ''b'', [[penambahan]] ''a'' + ''b'' merupakan bilangan bulat; sifat ''[[Penutupan (matematika)|penutupan]]'' bahwa + adalah [[operasi biner]] <math>\mathbb{Z}</math>. Sifat penjumlahan bilangan bulat berikut berfungsi sebagai model untuk aksioma grup dalam definisi di bawah ini.
* Untuk semua bilangan bulat ''a'', ''b'' dan ''c'', satu memiliki (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c''). Dinyatakan dalam kata-kata, menambahkan ''a'' ke ''b'' terlebih dahulu, setelah itu menambahkan hasilnya ke ''c'' memberikan hasil akhir yang sama seperti menambahkan ''a'' ke jumlah ''b'' dan ''C''. Sifat ini disebut sebagai ''[[asosiatif]]''.
* Jika ''a'' adalah bilangan bulat, maka {{nowrap|1=0 + ''a'' = ''a''}} dan {{nowrap|1=''a'' + 0 = ''a''}}. [[Nol]] disebut ''[[elemen identitas]]'' dari penjumlahan karena menambahkannya ke bilangan bulat akan mengembalikan bilangan bulat yang sama.
* Untuk setiap bilangan bulat ''a'', bilangan bulat ''b'' sebagai {{nowrap|1=''a'' + ''b'' = 0}} dan {{nowrap|1=''b'' + ''a'' = 0}}. Bilangan bulat ''b'' disebut ''[[elemen invers]]'' dari bilangan bulat ''a'' dan dilambangkan dengan −''a''.
Bilangan bulat dengan operasi +, membentuk objek matematika kelas luas yang terbagi aspek struktural serupa. Untuk memahami dengan tepat struktur tersebut sebagai suatu kolektif.
=== Definisi ===
{{quote box
|align = right
|width=33%
|quote=Aksioma untuk grup pendek dan alami... Namun harus bagaimana di balik aksioma ini adalah [[Grup monster|grup monster sederhana]], objek matematika sangat luar biasa, yang tampaknya tergantung pada banyak kebenaran yang aneh. Aksioma untuk grup tidak memberikan petunjuk yang jelas bahwa hal seperti ini ada.
|source=[[Richard Borcherds]] dalam ''Matematikawan: Pandangan Luar dari Dunia Batin'' <ref>{{Citation |last=Cook |first=Mariana R. |year=2009 |title=Mathematicians: An Outer View of the Inner World |publisher=Princeton University Press |location=Princeton, N.J. |page=24 | isbn=9780691139517 |url=https://books.google.com/books?id=06h8NT77OgMC&q=Richard+Ewen+Borcherds&pg=PA24 }}</ref>
}}
Grup adalah [[himpunan (matematika)|himpunan]] ''G'' dengan [[operasi biner]] ''G'' yang dilambangkan sebagai {{math|⋅}}, menggabungkan dua [[elemen (matematika)|elemen]] ''a'' dan ''b'' untuk membentuk elemen ''G'' dilambangkan {{nowrap|''a'' ⋅ ''b''}}, sedemikian rupa maka tiga persyaratan berikut, yang dikenal sebagai ''aksioma grup'', digunakan sebagai:<ref>{{Harvard citations|last = Artin|year = 2018|loc = §2.2, p. 40|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 2002|loc = I.§1, p. 3 and I.§2, p. 7|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 2005|loc = II.§1, p. 16|nb = yes}}</ref>
;Asosiatif: Untuk semua ''a'', ''b'', ''c'' dalam ''G'' yang menggunakan (''a'' ⋅ ''b'') ⋅ ''c'' = ''a'' ⋅ (''b'' ⋅ ''c'').
;Elemen identitas: Elemen ''e'' dalam ''G'', maka untuk setiap ''a'' dalam '' G '' yang menggunakan {{nowrap|1=''e'' ⋅ ''a'' = ''a''}} dan {{nowrap|1=''a'' ⋅ ''e'' = ''a''}}. Elemen unik ([[elemen identitas unik|lihat di bawah]]) disebut ''elemen identitas'' dari grup.
;Elemen invers: Untuk setiap ''a'' dalam ''G'' adalah elemen ''b'' dalam ''G'' sedemikian rupa maka {{nowrap|1=''a'' ⋅ ''b'' = ''e''}} and {{nowrap|1=''b'' ⋅ ''a'' = ''e''}}, dimana ''e'' adalah elemen identitas. Untuk setiap ''a'', elemen ''b'' unik ([[#Keunikan invers|lihat di bawah]]); disebut sebagai ''invers'' dari ''a'' dan biasanya dilambangkan ''a''<sup>−1</sup>.
=== Notasi dan terminologi ===
Secara formal, grup tersebut adalah [[pasangan terurut]] dari suatu himpunan dan operasi biner pada himpunan ini yang memenuhi [[aksioma grup]]. Himpunan ini disebut ''himpunan mendasari'' grup, dan operasinya disebut ''operasi grup'' atau ''hukum grup''.
Grup dan himpunan dasarnya adalah dua [[objek matematika]] yang berbeda. Tetapi untuk menghindari notasi yang rumit, biasanya [[penyalahgunaan notasi|notasi penyalahgunaan]] dengan menggunakan simbol yang sama untuk menunjukkan keduanya. Hal ini mencerminkan cara berpikir informal, bahwa grup tersebut sama dengan himpunan kecuali telah diperkaya oleh struktur tambahan yang disediakan oleh operasi.
Misalnya, pertimbangkan himpunan [[bilangan riil]] <math>\mathbb R</math>, yang memiliki operasi penjumlahan <math>a+b</math> dan perkalian <math>ab</math>. Secara formal, <math>\mathbb R</math> adalah satu himpunan, <math>(\mathbb R,+)</math> adalah sebuah grup, dan <math>(\mathbb R,+,\cdot)</math> adalah [[medan (matematika)|medan]]. Tapi biasanya ditulis sebagai <math>\mathbb R</math> untuk menunjukkan salah satu dari tiga objek ini.
''Grup aditif'' dari lapangan <math>\mathbb R</math> adalah grup yang himpunan dasar <math>\mathbb R</math> dan yang operasinya adalah penjumlahan. ''Grup perkalian'' dari lapangan <math>\mathbb R</math> adalah grup <math>\mathbb{R}^{\times}</math> himpunan dasar adalah himpunan bilangan real bukan nol <math>\mathbb{R} \setminus \{0\}</math> dan operasinya adalah perkalian.
Secara umum, kita berbicara tentang ''grup aditif'' setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai penjumlahan; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan {{math|0}},<ref>{{MathWorld |title=Elemen Identitas |urlname=IdentityElement}}</ref> dan invers dari elemen {{mvar|x}} dilambangkan dengan {{math|–''x''}}. Demikian pula, kita berbicara tentang ''grup perkalian'' setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai perkalian; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan {{math|1}}, dan inversi elemen {{mvar|x}} dilambangkan dengan {{math|''x''{{sup|–1}}}}. Dalam grup perkalian, simbol operasi biasanya dihilangkan seluruhnya, so bahwa operasi dilambangkan dengan penjajaran, {{math|''ab''}} sebagai pengganti {{math|''a'' ⋅ ''b''}}.
Definisi grup tidak mensyaratkan bahwa {{math|1=''a'' ⋅ ''b'' = ''b'' ⋅ ''a''}} untuk semua elemen {{mvar|a}} dan {{mvar|b}} dalam {{mvar|G}}. Jika ketentuan tambahan berlaku, maka operasi tersebut dikatakan [[komutatif]], dan grup tersebut disebut [[grup abelian]]. Sudah menjadi kesepakatan umum bahwa untuk grup abelian, notasi aditif atau perkalian dapat digunakan, tetapi untuk grup nonabelian hanya digunakan notasi perkalian.
Beberapa notasi lain biasanya digunakan untuk grup yang elemennya bukan bilangan. Untuk grup dimana elemennya [[fungsi (matematika)|fungsi]], operasi sering kali digunakan dalam [[komposisi fungsi]] <math>f\circ g</math>; maka identitas tersebut dapat dilambangkan dengan {{math|id}}. Dalam kasus yang lebih spesifik dari grup [[transformasi geometris]], grup [[simetri (matematika)|simetri]], [[grup permutasi]], dan [[grup automorfisme]], simbol <math>\circ</math> dihilangkan, seperti grup perkalian. Banyak varian notasi lainnya yang ditemui.
=== Definisi alternatif ===
Definisi ekuivalen dari grup terdiri dari penggantian bagian "ada" dari aksioma grup dengan operasi yang hasilnya adalah elemen yang harus ada. Jadi, grup adalah himpunan yang dilengkapi dengan tiga operasi, yaitu [[operasi biner]] yang merupakan operasi grup, [[operasi uner]] sebagai kebalikan dari operan tunggalnya, dan [[operasi nullari]] yang tidak memiliki operan dan menghasilkan elemen identitas. Jika tidak, aksioma grupnya persis sama.
Varian definisi ini menghindari [[kuantifer eksistensial]]. Biasanya lebih sering digunakan untuk [[teori grup komputasi|komputasi dengan grup]] dan untuk [[bukti bantuan komputer]]. Rumus ini menunjukkan grup sebagai variasi [[aljabar universal]]. Ini pula digunakan untuk membicarakan sifat operasi invers, sebagaimana diperlukan untuk mendefinisikan [[grup topologi]] dan [[objek grup]].
=== Contoh kedua: grup simetri ===
Dua bilangan pada bidang adalah [[kongruensi (geometri)|kongruen]] jika satu diubah menjadi yang lain menggunakan kombinasi [[rotasi (matematika)|rotasi]], [[refleksi (matematika)|refleksi]], dan [[translasi (geometri)|translasi]]. Namun, beberapa figur kongruen dengan sendiri dalam lebih dari satu cara, dan kongruensi tambahan ini disebut [[simetri|simetris]]. Persegi memiliki delapan kesimetrian, yaitu:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Elemen dari grup simetri bujur sangkar ({{math|''D''<sub>4</sub>}}). Simpul diidentifikasi dengan warna atau bilangan.
|-
| [[Gambar:group D8 id.svg|140px]] <br /> {{math|id}} (sebagai sudut) || [[Gambar:group D8 90.svg|140px]] <br /> {{math|''r''<sub>1}}</sub> (rotasi 90° searah jarum jam) || [[Gambar:group D8 180.svg|140px]] <br /> {{math|''r''<sub>2</sub>}} (rotasi 180°) || [[Gambar:group D8 270.svg|140px]] <br /> {{math|''r''<sub>3</sub>}} (rotasi 270° searah jarum jam)
|-
| [[Gambar:group D8 fv.svg|140px]] <br /> {{math|''f''<sub>v</sub>}} (refleksi vertikal) || [[Gambar:group D8 fh.svg|140px]] <br /> {{math|''f''<sub>h</sub>}} (refleksi horizontal)|| [[Gambar:group D8 f13.svg|140px]] <br /> {{math|''f''<sub>d</sub>}} (refleksi diagonal) || [[Gambar:group D8 f24.svg|140px]] <br /> {{math|''f''<sub>c</sub>}} (refleksi kontra-diagonal)
|}
* [[operasi identitas]] untuk semua tidak diubah, dilambangkan dengan id;
* rotasi persegi di sekitar pusatnya sebesar 90°, 180°, dan 270° searah jarum jam, dilambangkan dengan {{math|''r''<sub>1</sub>}}, {{math|''r''<sub>2</sub>}} dan {{math|''r''<sub>3</sub>}};
* refleksi tentang garis tengah horizontal dan vertikal ({{math|''f''<sub>v</sub>}} dan {{math|''f''<sub>h</sub>)}}, atau melalui dua [[diagonal]] ({{math|''f''<sub>d</sub>}} dan {{math|''f''<sub>c</sub>}}).
{{clear}}
Simetri diatas adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]]. Masing-masing untuk satu titik dalam persegi ke titik yang sesuai di bawah simetri. Sebagai contoh, {{math|''r''<sub>1</sub>}} untuk titik ke rotasi 90° searah jarum jam di sekitar pusat persegi, dan {{math|''f''<sub>h</sub>}} untuk titik ke pantulan di garis tengah vertikal persegi. [[Komposisi fungsi|Komposisi]] dua kesimetrian menghasilkan kesimetrian yang lain. Kesimetrian ini menentukan sebuah grup yang disebut [[grup dihedral]] dengan derajat 4, dilambangkan {{math|''D''<sub>4</sub>}}. Himpunan yang didasari grup adalah himpunan simetri di atas, dan operasi grup adalah [[komposisi fungsi]].<ref>{{Harvard citations|last = Herstein|year = 1975|loc = §2.6, p. 54|nb = yes}}</ref> Dua simetri digabungkan dengan menyusunnya sebagai fungsi, yaitu menerapkan yang pertama ke persegi, dan yang kedua ke hasil aplikasi pertama. Hasil dari pertama kali {{math|''a''}} dan kemudian {{math|''b''}} ditulis secara simbolis ''dari kanan ke kiri'' sebagai <math>b\circ a</math> ("terapkan simetri {{math|''b''}} setelah melakukan simetri {{math|''a''}}"). Maka ini adalah notasi biasa untuk komposisi fungsi.
[[Tabel grup]] di sebelah kanan mencantumkan hasil dari semua komposisi yang memungkinkan. Misalnya, 270° searah jarum jam ({{math|''r''<sub>3</sub>}}) dan kemudian merefleksikan secara horizontal ({{math|''f''<sub>h</sub>}}) sama seperti melakukan refleksi di sepanjang diagonal ({{math|''f''<sub>d</sub>}}). Menggunakan simbol di atas, disorot dengan warna biru di tabel grup:
:<math>f_\mathrm h \circ r_3= f_\mathrm d.</math>
{| class="wikitable" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em; width:40ex; height:40ex;"
|+ [[Tabel Cayley|Tabel grup]] dari {{math|''D''<sub>4</sub>}}
|-
! style="width:12%; background:#fdd; border-top:solid black 2px; border-left:solid black 2px;"|
! style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| {{math|id}}
! style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}}
! style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| {{math|r<sub>2</sub>}}
! style="background:#fdd; border-right:solid black 2px; border-top:solid black 2px; width:11%;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}}
! style="width:11%;"| {{math|''f''<sub>v</sub>}} !! style="width:11%;"| {{math|''f''<sub>h</sub>}} !! style="width:11%;"| {{math|''f''<sub>d</sub>}} !! style="width:11%;"| {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|-
!style="background:#FDD; border-left:solid black 2px;" | {{math|id}}
|style="background:#FDD;"| {{math|id}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|style="background:#FDD;" | {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}}
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-top:solid black 2px;"| {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|-
!style="background:#FDD; border-left:solid black 2px;" | {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| {{math|id}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}}
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| {{math|''f''<sub>h</sub>}}
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD; border-left:solid black 2px;" | {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|id}}
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| {{math|''f''<sub>d</sub>}}
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px; border-left:solid black 2px;" | {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|id}}
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>2</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}}
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|''f''<sub>v</sub>}}
|- style="height:10%"
! {{math|''f''<sub>v</sub>}}
| {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}}|| {{math|id}} || {{math|''r''<sub>2</sub>}} || {{math|''r''<sub>1</sub>}} || {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|- style="height:10%"
! {{math|''f''<sub>h</sub>}}
| {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''r''<sub>2</sub>}} || {{math|id}} || {{math|''r''<sub>3</sub>}} || {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|- style="height:10%"
! {{math|''f''<sub>d</sub>}}
| {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''r''<sub>3</sub>}} || {{math|''r''<sub>1</sub>}} || {{math|id}} || {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|- style="height:10%"
! {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|style="background:#9DFF93; border-left: solid black 2px; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | {{math|''f''<sub>v</sub>}}
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | {{math|''f''<sub>d</sub>}}
|style="background:#9DFF93; border-bottom:solid black 2px; border-top:solid black 2px; border-right:solid black 2px;" | {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''r''<sub>1</sub>}} || {{math|''r''<sub>3</sub>}} || {{math|''r''<sub>2</sub>}} || {{math|id}}
|-
| colspan="9" style="text-align:left"| Elemen {{math|id}}, {{math|''r''<sub>1</sub>}}, {{math|''r''<sub>2}}</sub>, dan {{math|''r''<sub>3}}</sub> sebagai bentuk [[subgrup]] tabel grup ditarik dalam {{color box|#FDD}} merah (wilayah kiri atas). [[Kohimpunan]] kiri dan kanan subgrup ini ditarik di {{color box|#9DFF93}} hijau (di baris terakhir) dan {{color box|#FFFC93}} kuning (kolom terakhir).
|}
Mengingat himpunan kesimetrian ini dan operasi yang dijelaskan, aksioma grup dapat dipahami sebagai berikut.
''Komposisi adalah operasi biner.'' Artinya, <math>a\circ b</math> adalah simetri untuk dua simetri {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}. Sebagai contoh,
:<math>r_3\circ f_\mathrm h = f_\mathrm c,</math>
yaitu, 270° searah jarum jam setelah memantulkan secara horizontal sama dengan pemantulan di sepanjang kontra-diagonal ({{math|''f''<sub>c</sub>}}). Memang setiap kombinasi lain dari dua simetri masih memberikan kesimetrian, seperti yang diperiksa dengan menggunakan tabel grup.
''Aksioma asosiatif'' berkaitan dengan penyusunan lebih dari dua simetri: Dimulai dengan tiga elemen {{math|''a''}}, {{math|''b''}} dan {{math|''c''}} dari {{math|''D''<sub>4</sub>}}, Ada dua kemungkinan cara menggunakan ketiga kesimetrian ini dalam urutan ini untuk menentukan kesimetrian bujur sangkar. Salah satu cara ini adalah dengan menulis {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} menjadi satu simetri, lalu untuk menyusun simetri tersebut dengan {{math|''c''}}. Cara lainnya adalah dengan menulis {{math|''b''}} dan {{math|''c''}}, kemudian untuk menyusun simetri yang dihasilkan dengan {{math|''a''}}. Kedua cara ini harus selalu memberikan hasil yang sama, yaitu,
:<math>(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c),</math>
Sebagai contoh, <math>(f_\mathrm d\circ f_\mathrm v)\circ r_2 = f_\mathrm d\circ (f_\mathrm v\circ r_2)</math> dapat diperiksa menggunakan tabel grup di sebelah kanan:
:<math>\begin{align}
(f_\mathrm d\circ f_\mathrm v)\circ r_2 &=r_3\circ r_2=r_1\\
f_\mathrm d\circ (f_\mathrm v\circ r_2) &=f_\mathrm d\circ f_\mathrm h =r_1.
\end{align}</math>
''Elemen identitas'' adalah {{math|id}}, karena tidak mengubah simetri {{mvar|a}} saat disusun dengan baik di kiri atau di kanan.
Semua simetri memiliki ''kebalikan'': {{math|is}}, pantulan {{math|''f''<sub>h</sub>}}, {{math|''f''<sub>v</sub>}}, {{math|''f''<sub>d</sub>}}, {{math|''f''<sub>c</sub>}} dan rotasi 180° {{math|r{{sub|2}}}} adalah invers, karena dua kali akan mengembalikan persegi ke orientasi aslinya. Rotasi {{math|''r''<sub>3</sub>}} dan {{math|''r''<sub>1</sub>}} adalah invers satu sama lain, karena 90° dan kemudian rotasi 270° (atau sebaliknya) menghasilkan rotasi lebih dari 360° yang membuat persegi tidak berubah. Ini dengan mudah diverifikasi di atas meja.
Berbeda dengan grup bilangan bulat di atas, dimana urutan operasinya tidak relevan, {{math|''D''<sub>4</sub>}}, misalnya <math>f_\mathrm h\circ r_1=f_\mathrm c</math> but <math>r_1\circ f_\mathrm h=f_\mathrm d</math> Dengan kata lain, {{math|''D''<sub>4</sub>}} bukan abelian.
== Sejarah ==
| |||