|
== Definisi ==
'''Grup Lie riil''' adalah [[kelompokgrup (matematika) | kelompokgrup]] yang juga merupakan riil berdimensi terbatasriil hingga [[lipatan berjenis#Definisi|lipatan halus]], di manadimana operasi grup [[perkalian]] dan inversi adalah [[peta halus]]. KelancaranMaka perkalian kelompokgrup, adalah
:<math> \mu:G\times G\to G\quad \mu(x,y)=xy</math>
berarti bahwajadi '' μ '' adalah pemetaan halus dari [[ManifoldLipatan#Produk Kartesius | produk berjenis]] {{nowrap|''G'' × ''G''}} menjadisebagai '' G ''. Kedua persyaratan ini dapat digabungkan menjadi satu persyaratan yaitu pemetaan
:<math>(x,y)\mapsto x^{-1}y</math>
menjadisebagai pemetaan mulus dari produk berjenis menjadiyaitu '' G ''.
=== Grup Matriks Lie ===
Maka <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math> menunjukkansebagai kelompokgrup <math>n\times n</math> matriks yang dapat dibalikinvers dengan entri dalam <math>\mathbb{C}</math>. [[Teorema subkelompoksubgrup tertutup | subkelompokSubgrup tertutup]] dari <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math> adalah grup Lie;<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Corollary 3.45</ref> Kelompok Lie semacam iniyang disebut '' matriks grup Lie.'' Karena sebagian besar contoh menarik dari kelompokgrup Lie dapat direalisasikan sebagai matriks grup Lie, beberapa buku teks membatasi perhatian pada kelas ini, termasuk yang ada didalam Hall<ref name = Hall>{{harvnb|Hall|2015}}</ref> anddan Rossmann.<ref>{{harvnb|Rossmann|2001}}</ref> Membatasi perhatian padasebuah matriks grup Lie dengan cara menyederhanakan definisi aljabar Lie dan peta eksponensial. Berikut ini adalah contoh standar grup matriks Lie.
*[[Grup linear khusus]] di atas <math>\mathbb{R}</math> dan <math>\mathbb{C}</math>, yaitu <math>\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})</math> dan <math>\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})</math>, terdiri dari <math>n\times n</math> matriks dengan determinan satu dan entri didalam <math>\mathbb{R}</math> atau <math>\mathbb{C}</math>
*[[Grup unital]] dan grup kesatuanuniter khusus, yaitu <math>\text{U}(n)</math> dan <math>\text{SU}(n)</math>, terdiri dari <math>n\times n</math> matriks kompleks <math>U^*=U^{-1}</math> (dan juga <math>\det(U)=1</math> dalam kasus <math>\text{SU}(n)</math>)
*[[Grup ortogonal]] dan grup ortogonal khusus, yaitu <math>\text{O}(n)</math> dan <math>\text{SO}(n)</math>, yang terdiri dari <math>n\times n</math> matriks <math>R^\mathrm{T}=R^{-1}</math> (dan juga <math>\det(R)=1</math> dalam kasus <math>\text{SO}(n)</math>)
Semua contoh sebelumnya termasuk dalam tajuk [[grup klasik]].
=== Konsep terkait ===
'''[[Grup Lie kompleks]]''' didefinisikan dengan cara yang sama menggunakan [[lipatan kompleks]] daripada yang sebenarnya (contoh: <math>\operatorname{SL}(2, \mathbb{C})</math>), dan juga, menggunakan alternatif [[Ruang metrik kompleks#Penyelesaian | penyelesaian metrikmetriks]] dari <math>\mathbb{Q}</math>, grup topologi di manadimana setiap titik memiliki lingkungan '' p ''-lingkungan adicadik.
[[Masalah kelima Hilbert]] menanyakan apakah untuk mengganti lipatan yang dapat dibedakan dengan yang topologi atau analitik dapat menghasilkan contoh baru. Jawaban atas pertanyaan ini ternyata negatif: pada tahun 1952, matematikawan [[Andrew Gleason | Gleason]], [[Deane Montgomery | Montgomery]] dan [[Leo Zippin | Zippin]] menunjukkan bahwa jika '' G '' adalah manifoldlipatan topologi, maka terdapat tepat satu struktur analitik pada '' G '' yang mengubahnyamengubah menjadi grup Lie (lihat pula [[Konjektur Hilbert–Smith]]). Jika lipatan dasar dibolehkanyang berdimensi tak hingga (misalnya, [[manifoldlipatan Hilbert]]), kemudian seseorangmaka sampai pada gagasan tentang grup Lie berdimensi tak hingga. Dimungkinkan untuk mendefinisikan analogi dari banyak [[grup tipe Lie | grup Lie di atas bidang hingga]], dan ini memberikan sebagian besar contoh [[grup sederhana hingga]].
== Contoh ==
| 