Grup Lie: Perbedaan antara revisi

[[Peta eksponensial (teori Lie) | petaPeta eksponensial]] dariuntuk aljabar Lie <math>M(n;\mathbb C)</math> dari [[grup linear umum]] <math>GL(n;\mathbb C)</math> ke <math>GL(n;\mathbb C)</math> ditentukan olehdengan [[matriks eksponensial]], yang diberikan oleh deret pangkat biasa untuk matriks <math>X</math>:

untuk matriks <math> X </math>. Jika <math> G </math> adalah subgrup tertutup dari <math>GL(n;\mathbb C)</math>, kemudianmaka peta eksponensial mengambil aljabar Lie dari <math> G </math> menjadi <math> G </math>; dengan demikian, kami memiliki peta eksponensial untuk semua grup matriks. Setiap elemen <math> G </math> yang cukuphampir dekat dengan identitas adalah eksponensial matriks dalam aljabar Lie.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Theorem 3.42</ref>

Definisi di atas mudah digunakan, tetapi tidak ditentukan untuk grup Lie yang bukan grup matriks, dan tidak jelas bahwa peta eksponensial grup Lie tidak bergantung pada representasinyawakilannya. Kita dapat menyelesaikan kedua masalah tersebut menggunakan definisi yang lebih abstrak dari peta eksponensial yang berfungsi untuk semua grup Lie, sebagai berikut.

Untuk setiap vektor <math> X </math> dalam aljabar Lie <math>\mathfrak{g}</math> dari <math> G </math> (yaitu, spasiruang bersinggungan ke <math> G </math> pada identitas), yang membuktikan bahwa ada subgrup satu parameter yang unik <math>c:\mathbb R\rightarrow G</math> dirumuskan <math>c'(0)=X</math>. Mengatakan bahwaBahwa <math> c </math> adalah subkelompoksubgrup satu parameter berarti bahwa <math> c </math> adalah peta mulus ke <math> G</math> dan untuk semua <math>s</math> dan <math>t</math>:

untuk semua <math> s </math> dan <math> t </math>. Operasi di sisi kanan adalah perkalian grup didalam <math> G </math>. Kesamaan formal rumus ini dengan yang valid untuk [[fungsi eksponensial]] membenarkan definisi tersebut

Ini disebut '''peta eksponensial''', dan memetakan aljabar Lie <math>\mathfrak{g}</math> ke dalam grup Lie <math> G </math>. Ini memberikan [[diffeomorphismdiffeomorfisme]] antara [[lingkungan (topologi) | lingkungan]] dari 0 pada <math>\mathfrak{g}</math> dan lingkungan <math> e </math> didalam <math> G </math>. Peta eksponensial ini merupakan generalisasi dari fungsi eksponensial untuk bilangan realriil, (karenamaka <math>\mathbb{R}</math> adalah aljabar Lie dari kelompok Lie [[bilangan riil positif]] dengan perkalian), untuk bilangan kompleks, (karenamaka <math>\mathbb{C}</math> adalah aljabar Lie dari kelompokgrup Lie dari bilangan kompleks bukan nol dengan perkalian) dan untuk [[matriks (matematika) | matriks]] (karena <math>M(n, \mathbb{R})</math> dengan komutator biasa adalah aljabar Lie dari grup Lie <math>GL(n, \mathbb{R})</math> dari semua matriks yang dapat dibalikinvers).

Karena peta eksponensial bersifat dugaankonjektur di beberapa lingkungan <math> N </math> dari <math> e </math>, adalah hal umum untuk elemen aljabar Lie '''infinitesimal generator''' dari grup <math> G </math>. Subgrup <math> G </math> yang dibuat olehsebagai <math> N </math> adalah komponen identitas <math> G </math>.

Peta eksponensial dan aljabar Lie menentukan '' struktur grup lokal '' dari setiap grup Lie yang terhubung, karena [[rumus Baker–Campbell–Hausdorff]]: ada lingkungan <math> U </math> dari elemen nol <math>\mathfrak{g}</math>, yang dirumuskan <math>X,Y\in U</math>, kita punyamaka

di manadimana istilah yang dihilangkan diketahui dan melibatkan kurung Lie dari empat elemen atau lebih. Jika <math> X </math> dan <math> Y </math> komutekomutator, rumus initersebut direduksi menjadi hukum eksponensial yang sudah dikenal sebagai <math>\exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)</math>

Peta eksponensial menghubungkan homomorfisme grup Lie. Artinya, jika <math>\phi: G \to H</math> adalah homomorfisme grup Lie dan <math>\phi_*: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}</math> peta yanginduksi diinduksi padaaljabar Lie aljabar yang sesuaitepat, lalumaka untuk semua <math>x\in\mathfrak g</math> kita punyayaitu

Dengan kata lain, diagram berikut [[diagram komutatif | perjalanankomutatif]],<ref group=Note>{{cite web|url=http://www.math.sunysb.edu/~vkiritch/MAT552/ProblemSet1.pdf |title=Archived copy |access-date=2014-10-11 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110928024044/http://www.math.sunysb.edu/~vkiritch/MAT552/ProblemSet1.pdf |archive-date=2011-09-28 }}</ref>

(Singkatnya, ''exp'' adalah [[transformasi alami]] dari functor Lie ke identitas functorfunktor pada kategori grup Lie.)

Peta eksponensial dari aljabar Lie ke grup Lie tidak selalu [[Fungsi ekspresif | keekspresif]], bahkan jika grup tersebut terhubung (meskipun ituyang memetakan ke grup Lie untuk grup terhubung yang kompak atau nilpoten).