Kurva eliptik: Perbedaan antara revisi

[[Gambar:EllipticCurveCatalog.svg|right|thumb|400px|Katalog kurva eliptiseliptik. Daerah yang ditampilkan adalah [−3, 3]². Untuk (''a'', ''b'') = (0, 0), fungsi ini tidak halus sehingga tidak termasuk kurva eliptiseliptik.]]

Dalam [[matematika]], '''kurva eliptiseliptik''' adalah [[kurva aljabar]] yang [[Ragam proyektif|proyektif]] dan [[Titik tunggal ragam aljabar|halus]], [[Genus (matematika)|bergenus]] satu, serta memiliki titik ''O'' tertentu. Tiap kurva eliptiseliptik dalam sebuah [[Medan (matematika)|medan]] yang karakteristiknya bukan 2 dan 3 dapat dijelaskan sebagai sebuah [[Kurva aljabar|kurva aljabar datar]] yang memenuhi persamaan

Kurva eliptiseliptik harus [[Titik tunggal kurva|nonsingulartaksingular]], yakni tidak memiliki [[Taring (singularitaskesingularan)|taring]] atau berpotongan dengan dirinya sendiri. Hal tersebut sama dengan memenuhi keadaan <math>4a^3 + 27b^2 \ne 0.</math>

Kurva eliptiseliptik ''bukanlah'' [[elips]]: lihat [[integral eliptiseliptik]] untuk asal mula istilahnya. Secara topologi, kurva eliptiseliptik kompleks adalah [[torus]], sedangkan elips kompleks adalah [[Bola (geometri)|bola]].

[[Gambar:ECClines.svg|right|thumb|600px|Operasi titik kurva eliptiseliptik: pertambahan (kasus I), penggandaan (kasus II dan IV), dan negasi (kasus III)]]

Definisi di atas dapat berlaku, kecuali untuk beberapa kasus khusus seperti pertambahan dengan titik di takhingga dan penggandaan titik. Untuk titik di takhingga, kita definisikan {{math|''P'' + ''O'' = ''O'' + ''P'' = ''P''}} sehingga ''O'' adalah identitas grup. Jika ''P'' dan ''Q'' saling berlawanan, kita definisikan {{math|''P'' + ''Q'' {{=}} ''O''}}. Untuk penggandaan titik, kita tidak bisa membuat garisnya karena hanya ada satu titik. Karenanya, kita bisa memakai garis singgung kurva eliptiseliptik pada titik tersebut untuk mencari perpotongan lain dengan kurva. Titik perpotongan tersebut juga menjadi lawan hasil penggandaannya. Namun, bila ''P'' berada pada [[titik belok]], kita ambil ''R'' sebagai ''P'' sehingga {{math|''P'' + ''P''}} adalah lawan dirinya sendiri.

== Kurva eliptiseliptik dalam bilangan riil ==

Dalam konteks ini, kurva eliptiseliptik adalah [[lengkung bidang]] yang didefinisikan oleh persamaan dalam bentuk

Definisi kurva eliptiseliptik juga mewajibkan kurva untuk [[Titik tunggal kurva|nonsingular]]. Secara geometris, itu berarti bahwa grafiknya tidak memiliki [[Taring (singularitas)|taring]], tidak memotong dirinya sendiri, dan tidak punya titik yang sendirian (terputus/terisolasi). Secara aljabar, itu hanya berlaku jika dan hanya jika diskriminannya

== Kurva eliptiseliptik dalam bilangan kompleks ==

== Kurva eliptiseliptik dalam bilangan rasional ==

== Kurva eliptiseliptik dalam medan umum ==

Kurva eliptiseliptik dapat didefinisikan dalam [[Medan (matematika)|medan]] ''K''. Definisi matematis kurva eliptiseliptik adalah kurva aljabar yang nonsingular bergenus 1 dengan titik lain yang didefinisikan dalam ''K''.

Jika [[Karakteristik (aljabar)|karakteristik]] ''K'' bukan 2 dan 3, tiap kurva eliptiseliptik dapat ditulis dalam bentuk

== Kurva eliptiseliptik dalam medan berhinggahingga ==

* [[Kriptografi kurva eliptis|Kriptografi kurva eliptik]]

== Algoritme yang memakai kurva eliptiseliptik ==

Kurva eliptiseliptik dalam medan berhingga dipakai dalam [[kriptografi]] dan juga [[faktorisasi prima]]. Biasanya, algoritme berikut adalah [[algoritme]] yang sudah ada, tetapi memakai sifat-sifat kurva eliptiseliptik.

* [[Kriptografi kurva eliptis|Kriptografi kurva eliptik]]

* [[Diffie–Hellman kurva eliptis|Diffie–Hellman kurva eliptik]]

* [[Algoritme Tanda Tangan Digital kurva eliptis|Algoritme Tanda Tangan Digital kurva eliptik]]

* [[Faktorisasi kurva eliptis Lenstra|Faktorisasi kurva eliptik Lenstra]]

* [[Aljabar eliptiseliptik]]

* [[Perkalian titik kurva eliptis|Perkalian titik kurva eliptik]]

* [[Permukaan eliptiseliptik]]