Monoid: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
k clean up, replaced: perkalian invers → invers perkalian using AWB |
||
Baris 8:
Monoid adalah [[semigrup]] dengan identitas. [[Struktur aljabar]] terjadi di beberapa cabang matematika.
Misal, fungsi dari suatu himpunan membentuk monoid dengan komposisi fungsi. Secara lebih umum, dalam [[teori kategori]], morfisme dari sebuah [[objek (teori kategori)|objek]] dengan membentuk sebuah monoid, dan, sebaliknya, sebuah monoid dapat dipandang sebagai kategori dengan satu objek.
Dalam [[ilmu komputer]] dan [[pemrograman komputer]], himpunan [[string (ilmu komputer)|string]] dari himpunan [[Karakter (komputasi)|karakter]] adalah [[monoid bebas]]. [[Transisi monoid]] dan [[monoid sintaksis]] digunakan untuk mendeskripsikan [[mesin keadaan hingga]]. [[Jejak monoid]] dan [[sejarah monoid]] memberikan dasar untuk [[proses bate]] dan [[komputasi bersamaan]].
Baris 85:
== Monoid homomorfisme ==
[[Berkas:Exponentiation as monoid homomorphism svg.svg|thumb|x200px|
[[Bilangan riil]] adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] yang menggunakan penembahab dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2 [[matriks (matematika)|matriks]] merupakan gelanggang, dibawah [[penambahan matriks]] dan [[perkalian matriks]]. Jika mendefinisikan fungsi antara gelanggang, sebagai berikut:
:<math>f(r) = \begin{pmatrix}
Baris 114:
\end{pmatrix} = f(r)\,f(s).</math>
Untuk contoh lain, bukan-nol untuk [[bilangan kompleks]] membentuk [[grup (matematika)|grup]] dibawah operasi perkalian, seperti halnya bilangan riil bukan-nol. Nol dihilangkan dari kedua grup karena tidak memiliki [[
:<math>f(z) = |z| .</math>
Artinya, <math>f</math> adalah [[nilai mutlak]] (atau modulus) dari bilangan kompleks <math>z</math>. Maka <math>f</math> adalah homomorfisme grup, karena perkalian:
Baris 121:
:<math>|z_1 + z_2| \ne |z_1| + |z_2|.</math>
Sebagai contoh lain, diagram menunjukkan homomorfisme
[[Komposisi aljabar]] <math> A </math> diatas bidang <math> F </math> menggunakan [[bentuk kuadrat]], yang disebut ''norma'', <math>N: A \to F</math>, yang merupakan homomorfisme grup dari [[grup perkalian]] dari <math> A </math> ke grup perkalian dari <math> F </math>.
Baris 141:
== Kaitannya dengan teori kategori ==
{{Group-like structures}}
Monoid dapat dipandang sebagai kelas khusus [[teori kategori
: ''Monoid, pada dasarnya, sama dengan kategori dengan satu objek.''
Lebih tepatnya, diberi monoid {{math | ('' M '', •)}}, seseorang dapat membuat kategori kecil dengan hanya satu objek dan yang morfismenya adalah elemen dari ''M''. Komposisi morfisme diberikan oleh operasi monoid •.
Demikian juga, homomorfisme monoid hanyalah [[funktor]] antara kategori objek tunggal.<ref name=Awo10/> Jadi konstruksi ini memberikan [[kesetaraan kategori
Dalam pengertian ini, teori kategori dapat dianggap sebagai perluasan dari konsep monoid. Banyak definisi dan teorema tentang monoid dapat digeneralisasikan ke kategori kecil dengan lebih dari satu objek. Misalnya, hasil bagi dari kategori dengan satu objek hanyalah hasil bagi monoid.
Baris 151:
Monoid, seperti struktur aljabar lainnya, juga membentuk kategorinya sendiri, '''Mon''', yang objeknya monoid dan morfisme homomorfisme monoid.<ref name=Awo10/>
Ada pula pengertian [[monoid (teori kategori)
== Monoid dalam ilmu komputer ==
Dalam ilmu komputer, banyak [[tipe data abstrak]] dapat diberkahi dengan struktur monoid. Dalam pola yang sama, Sebuah [[urutan]] elemen monoid adalah "[[lipat (fungsi orde tinggi)
Diberikan urutan nilai tipe '' M '' dengan elemen identitas <math>\varepsilon</math> dan operasi asosiatif <math>\bullet</math>, operasi '' lipat '' didefinisikan sebagai berikut:
Baris 162:
== Monoid lengkap ==
Sebuah '''monoid lengkap''' adalah monoid komutatif yang dilengkapi dengan operasi jumlah [[Finiter
: <math>\sum_{i \in \emptyset}{m_i} =0;\quad \sum_{i \in \{j\}}{m_i} = m_j;\quad \sum_{i \in \{j, k\}}{m_i} = m_j+m_k \quad \text{ for } j\neq k</math>
Baris 202:
* {{PlanetMath| urlname=Monoid | title=Monoid | id=389}}
[[Kategori:
[[Kategori:
[[Kategori:
| |||