Wikipedia

Grup topologi: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
k clean up, replaced: Ruang vektor topologi → Ruang vektor topologis (2), ruang vektor topologi → ruang vektor topologis (2) using AWB
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.408 suntingan
Perbaikan terjemahan pada pranala (meskipun hanya beberapa paragrafnya saja).
Baris 1:
{{Short description|Grup yang merupakan ruang topologi dengan aksi grup yang berkelanjutan}}
{{Group theory sidebar}}{{Under construction}}[[Gambar:Real number line.svg|thumb|right|350px|[[Bilangan riil]] membentuk grup topologitopologis di bawah [[penambahan]]]]▼
{{Group theory sidebar}}
 
Dalam [[matematika]], '''grup topologitopologis''' adalah [[grup (matematika)|grup]] {{mvar | G}} bersama dengan [[spasiRuang topologitopologis|topologi]] pada {{mvar | <math>G}}</math> sehingga kedua operasi biner grup dan elemen grup pemetaan fungsi ke inversnyabalikkannya masing-masing adalah fungsi [[fungsi kontinu (topologi)|kontinu]] yang berkaitan dengan topologi. Grup topologis adalah objek matematika dengan [[struktur aljabar]] dan struktur topologi. Jadi, salah satunya dapat melakukan operasi aljabar, karena struktur grupnya, dan salah satunya dapat berbicara tentang fungsi kontinu, karena topologinya.▼
▲[[Gambar:Real number line.svg|thumb|right|350px|[[Bilangan riil]] membentuk grup topologi di bawah [[penambahan]]]]
 
Grup topologitopologis, bersama dengan [[aksi grup berkelanjutankontinu]], digunakan untuk mempelajari [[simetri]] kontinu, yang memiliki banyak aplikasipenerapan, misalnya [[Simetri (fisika)|dalam fisika]]. Dalam [[analisis fungsional]], setiap [[ruang vektor topologis]] adalah grup topologitopologis aditif dengan propertisifat tambahan bahwa perkalian skalar adalah kontinu; akibatnya, banyak hasil dari teori grup topologitopologis dapat diterapkan pada analisis fungsional.▼
▲Dalam [[matematika]], '''grup topologi''' adalah [[grup (matematika)|grup]] {{mvar | G}} bersama dengan [[spasi topologi|topologi]] pada {{mvar | G}} sehingga kedua operasi biner grup dan elemen grup pemetaan fungsi ke inversnya masing-masing adalah fungsi [[fungsi kontinu (topologi)|kontinu]] yang berkaitan dengan topologi.
Grup topologi adalah objek matematika dengan [[struktur aljabar]] dan struktur topologi.
Jadi, seseorang dapat melakukan operasi aljabar, karena struktur grupnya, dan seseorang dapat berbicara tentang fungsi kontinu, karena topologinya.
 
▲Grup topologi, bersama dengan [[aksi grup berkelanjutan]], digunakan untuk mempelajari [[simetri]] kontinu, yang memiliki banyak aplikasi, misalnya [[Simetri (fisika)|dalam fisika]]. Dalam [[analisis fungsional]], setiap [[ruang vektor topologis]] adalah grup topologi aditif dengan properti tambahan bahwa perkalian skalar adalah kontinu; akibatnya, banyak hasil dari teori grup topologi dapat diterapkan pada analisis fungsional.
 
== Definisi formal ==
'''Grup topologitopologis''', {{mvar | G}}, adalah [[ruang topologi]] yang juga merupakan groupgrup operasi groupgrup (dalam hal ini produkdarab):
:{{<math|⋅>\cdot : ''G'' ×\times ''G'' →\to ''G''}}</math>, {{<math| >(''x'', ''y'') ↦\mapsto ''xy''}}</math>
dan peta inversbalikkan:
:{{<math|<sup>−1</sup>^{-1} : ''G'' →\to ''G''}}</math>, {{<math| ''>x'' ↦\mapsto ''x''&nbsp;<sup>−1^{-1}</supmath>}}
adalah [[Fungsi kontinu|kontinu]]<ref group=note>'' yaitu '' Kontinu artinya untuk himpunan terbuka {{math|''U'' ⊆ ''G''}}, {{math|''f''&nbsp;<sup>−1</sup>(''U'')}} terbuka di domain {{math|dom ''f''}} dari {{mvar|f}}.</ref>. Disini {{math|''G'' × ''G''}} dipandang sebagai ruang topologi dengan [[topologi darab]]. Topologi seperti itu dikatakan '''serasi dengan operasi grup''' dan disebut '''topologi grup'''.
Maka {{math|''G'' × ''G''}} dipandang sebagai ruang topologi dengan [[topologi produk]].
Topologi seperti itu dikatakan '''kompatibel dengan operasi grup''' dan disebut '''topologi grup'''.
 
;Memeriksa kontinuitaskekontinuan
 
Peta produkdarab terus meneruskontinu jika dan hanya jika untuk {{<math|''>x'', ''y'' ∈\in ''G''}}</math> dan setiap lingkungan {{mvar | <math>W}}</math> dari {{<math | '' >xy ''}}</math> di {{mvar | <math>G}}</math>, adaterdapat lingkungan {{mvar | <math>U}}</math> dari {{mvar | <math>x}}</math> dan {{mvar | <math>V}}</math> dari {{mvar | <math>y}}</math> pada {{mvar | <math>G}}</math> makasehingga {{<math|''>U'' ⋅\cdot ''V'' ⊆\subseteq ''W''}}</math>, dimana {{<math|''>U'' ⋅\cdot ''V'' :{{=}} \{''u'' ⋅\cdot ''v'' : ''u'' ∈\in ''U'', ''v'' ∈\in ''V''}\}</math>}. Peta balikkan kontinu jika dan hanya jika <math>x \in G</math> dan suatu lingkungan <math>V</math> dari <math>x^{-1}</math> pada <math>G</math>, lingkungan <math>U</math> dari <math>x</math> ke <math>G</math> sehingga <math>U^{-1} \subseteq V</math>, dimana <math>U^{-1} := \{u^{-1} : u \in U \}</math>.
Peta inversi berkelanjutan jika dan hanya jika {{math|''x'' ∈ ''G''}} dan lingkungan mana pun {{mvar | V}} dari {{math|''x''&nbsp;<sup>−1</sup>}} pada {{mvar | G}}, lingkungan {{mvar | U}} dari {{mvar | x}} ke {{mvar | G}} maka {{math|''U''&nbsp;<sup>−1</sup> ⊆ ''V''}}, dimana {{math|''U''&nbsp;<sup>−1</sup> :{{=}} { ''u''<sup>−1</sup> : ''u'' ∈ ''U'' }}}.
 
Untuk menunjukkan bahwa topologi kompatibelserasi dengan operasi grup, itu sudah cukup untuk memeriksa peta
:{{<math|''>G'' ×\times ''G'' →\to ''G''}}</math>, {{<math|>(''x'', ''y'') ↦\mapsto ''(xy''&nbsp;<sup>−1)^{-1}</supmath>}}
adalah kontinu. Secara eksplisit, ini berarti bahwa untuk {{<math|''>x'', ''y'' ∈\in ''G''}}</math> dan suatu lingkungan mana pun {{mvar | <math>W}}</math> oleh {{mvar | <math>G}}</math> dari {{math|''xy''&nbsp;<sup>−1</sup>}}, ada lingkungan {{mvar | <math>U}}</math> dari {{mvar | <math>x}}</math> dan {{mvar | <math>V}}</math> dari {{mvar | <math>y}}</math> di {{mvar | <math>G}}</math> maka {{<math|''>U'' ⋅\cdot (''V''&nbsp;<sup>−1</sup>^{-1}) ⊆\subseteq ''W''}}</math>.▼
terus menerus.
▲Secara eksplisit, ini berarti bahwa untuk {{math|''x'', ''y'' ∈ ''G''}} dan lingkungan mana pun {{mvar | W}} oleh {{mvar | G}} dari {{math|''xy''&nbsp;<sup>−1</sup>}}, ada lingkungan {{mvar | U}} dari {{mvar | x}} dan {{mvar | V}} dari {{mvar | y}} di {{mvar | G}} maka {{math|''U'' ⋅ (''V''&nbsp;<sup>−1</sup>) ⊆ ''W''}}.
 
;Notasi aditif
 
Definisi ini menggunakan notasi untuk grup perkalian;
padanan untuk grup aditif adalah bahwa dua operasi berikut berkelanjutankontinu:
:{{<math|>+ : ''G'' ×\times ''G'' →\to ''G ''}}</math>, {{<math| >(''x'', ''y'') ↦\mapsto ''x'' + ''y''}}</math>
:{{<math|−>- : ''G'' →\to ''G ''}}</math>, {{<math|''>x'' ↦\mapsto −''-x''}}</math>.
 
;Ke-Hausdorff-an
;Hausdorffness
 
Meski bukan bagian dari definisi ini, banyak penulis<ref>{{harvnb|Armstrong|1997|p=73}}; {{harvnb|Bredon|1997|p=51}}</ref> mengharuskanperlu bahwa topologi pada {{mvar | <math>G}}</math> menjadi [[Ruang Hausdorff|Hausdorff]]. Salah satu alasan untuk ini adalah bahwa setiap grup topologi dapat secara kanonik dikaitkan dengan grup topologi Hausdorff dengan mengambil hasil bagi kanonik yang sesuai; Ini bagaimanapun, seringkali masih membutuhkan kerja dengan grup topologi takHausdorff asli. Alasan lain, dan beberapa kondisi yang setara, dibahas di bawah ini.
Salah satu alasan untuk ini adalah bahwa setiap kelompok topologi dapat secara kanonik dikaitkan dengan kelompok topologi Hausdorff dengan mengambil hasil bagi kanonik yang sesuai;
ini bagaimanapun, seringkali masih membutuhkan kerja dengan kelompok topologi non-Hausdorff asli.
Alasan lain, dan beberapa kondisi yang setara, dibahas di bawah ini.
 
Artikel ini tidak akan mengasumsikan bahwa kelompokgrup topologi selalu Hausdorff.
 
;Kategori
 
Dalam bahasa [[teori kategori]], kelompokgrup topologi dapat didefinisikan secara ringkas sebagai [[objek kelompok|objek grup]] dalam [[kategori ruang topologi]], dengan cara yang sama seperti grup biasa adalah objek grup dalam [[kategori himpunan]]. Perhatikan bahwa aksioma diberikan dalam bentuk peta (darab biner, balikkan uner, dan identitas nol), oleh karena itu definisi kategoris.
Perhatikan bahwa aksioma diberikan dalam bentuk peta (produk biner, invers unary, dan identitas nullary), oleh karena itu definisi kategorikal.
 
== HomomorfismeKehomomorfan ==
'''Kehomomorfan''' dari grup topologis berarti [[kehomomorfan grup]] <math>G \to H</math>. Grup topologis, bersama dengan kehomomorfannya, membentuk [[teori kategori|kategori]]. kehomomorfan grup antara grup topologi komutatif kontinu jika dan hanya jika kontinu pada ''beberapa'' titik.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=19-45}}
'''Homomorfisme''' dari grup topologi berarti [[grup homomorphism]] {{math|''G'' → ''H''}}.
Kelompok topologi, bersama dengan homomorfisme mereka, membentuk [[teori kategori|kategori]].
Homomorfisme kelompok antara kelompok topologi komutatif kontinu jika dan hanya jika kontinu pada titik '' beberapa ''.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=19-45}}
 
'''IsomorfismeKeisomorfan''' dari grup topologitopologis adalah [[grup isomorfisme|grup keisomorfan]] yang juga merupakan [[homeomorfisme]] dari ruang topologi yang mendasarinya. Ini lebih kuat daripada hanya perlu keisomorfan grup kontinu, kebalikannya juga harus kontinu. Terdapat contoh grup topologis yang isomorfik sebagai grup biasa tetapi tidak sebagai grup topologis. Memang, setiap grup topologis takdiskret juga merupakan grup topologis bila dipertimbangkan dengan topologi diskret. Grup yang mendasari sama, tetapi sebagai grup topologis tidak ada keisomorfan.
Ini lebih kuat daripada hanya membutuhkan isomorfisme kelompok kontinyu, kebalikannya juga harus kontinu.
Ada contoh grup topologi yang isomorfik sebagai grul biasa tetapi tidak sebagai grup topologi.
Memang, setiap grup topologi non-diskrit juga merupakan grup topologi bila dipertimbangkan dengan topologi diskrit.
Kelompok yang mendasari sama, tetapi sebagai grup topologi tidak ada isomorfisme.
 
== Contoh ==
Setiap grup dapat dengan mudah dibuat menjadi grup topologitopologis dengan mempertimbangkannya menggunakan [[topologi diskrit|topologi diskret]]; grup seperti itu disebut [[grup terpisahdiskret]]. Dalam pengertian ini, teori grup topologi mengasumsikan bahwa grup biasa. [[Topologi takdiskret]] (yaitu topologi trivial) juga membuat setiap grup menjadi grup topologis.
Dalam pengertian ini, teori kelompok topologi mengasumsikan bahwa grup biasa.
[[Topologi tidak terpisah]] (yaitu topologi trivial) juga membuat setiap grup menjadi grup topologi.
 
[[Bilangan real]], <math>\R</math> dengan topologi biasa membentuk grup topologis di bawah tambahan. [[Ruang Euklides|Ruang Euklidean-{{mvar|n}}]] dari <math>\R^n</math> juga merupakan grup topologis dalam penambahan, dan lebih umum lagi, setiap [[ruang vektor topologis]] membentuk grup topologis (Abel). Beberapa contoh lain dari grup topologis [[Grup Abelian|Abel]] adalah [[grup lingkaran]] <math>S^1</math>, atau [[Grup torus|torus]] <math>(S^1)^n</math> untuk bilangan asli <math>n</math>.
[[Bilangan real]], {{math | ℝ}} dengan topologi biasa membentuk grup topologi di bawah tambahan.
[[Ruang Euklides|ruang Euklidean-{{mvar|n}}]] {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} juga merupakan grup topologi dalam penambahan, dan lebih umum lagi, setiap [[ruang vektor topologis]] membentuk grup topologi (abelian).
Beberapa contoh lain dari [[grup abelian|abelian]] grup topologi adalah [[grup lingkaran]] {{math|''S''<sup>1</sup>}}, atau [[torus group|torus]] {{math|(''S''<sup>1</sup>)<sup>''n''</sup>}} untuk bilangan asli {{mvar | n}}.
 
[[Grup klasik]] adalah contoh penting dari grup topologitopologis non-abeliantakAbel. Misalnya, [[grup linear umum]] {{<math|>\operatorname{GL}(''n'',ℝ\R)}}</math> ofmengenai allsemua dapat dibalik {{mvar | n}} - oleh {{mvar | n}}terbalikkan [[Matriks (matematika)|matriks]] <math>n</math> kali <math>n</math> dengan entri nyatareal dapat dilihat sebagai grup topologitopologis dengan topologi yang ditentukan dengan melihat {{<math|>\operatorname{GL}(''n'',ℝ\R)}}</math> sebagai [[subruang (topologi)|subruang]] dari ruang EuclideanEuklides <math>\R^{n \times n}</math>. Grup klasik lainnya adalah [[grup ortogonal]] <math>\operatorname{O}(n)</math>, grup dari semua [[peta linear]] dari <math>\R^n</math> terhadap dirinya sendiri yang mempertahankan [[jarak Euklides|ℝpanjang]] dari semua vektor. Grup ortogonal adalah [[ruang kompak|kompak]] sebagai sebuah ruang topologi. Banyak dari [[geometri Euklides]] dapat dipandang sebagai mempelajari struktur grup ortogonal, atau grup yang terkait erat <supmath>''O(n''×'') \ltimes \R^n''</supmath>}}. mengenai [[grup Euclidean|isometri]] dari <math>\R^n</math>.
Grup klasik lainnya adalah [[grup ortogonal]] {{math|O(''n'')}}, kelompok dari semua [[peta linear]] dari {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} terhadap dirinya sendiri yang mempertahankan [[jarak Euklides|panjang]] dari semua vektor.
Kelompok ortogonal adalah [[ruang kompak|kompak]] sebagai ruang topologi. Banyak dari [[geometri Euclidean]] dapat dipandang sebagai mempelajari struktur kelompok ortogonal, atau kelompok yang terkait erat {{math|''O''(''n'') ⋉ ℝ<sup>''n''</sup>}} dari [[grup Euclidean|isometri]] dari {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}}.
 
Grup yang disebutkan sejauh ini adalah semua [[grup kebohonganLie]], artinya grup tersebut [[lipatanmanifold halus]] sedemikian rupa sehingga operasi grup adalah [[fungsi mulus|mulus]], tidak hanya teruskontinu. menerusGrup Lie adalah grup topologis yang paling dipahami; banyak pertanyaan tentang grup Lie dapat diubah menjadi pertanyaan aljabar murni tentang [[aljabar Lie]] dan kemudian diselesaikan.
Grup Lie adalah grup topologi yang paling dipahami; banyak pertanyaan tentang grup Lie dapat diubah menjadi pertanyaan aljabar murni tentang [[aljabar Lie]] dan kemudian diselesaikan.
 
Contoh grup topologitopologis yang bukan grup Lie adalah grup aditif {{<math | ℚ}}>\Q</math> dari [[bilangan rasional]] s, dengan topologi yang diwarisi dari {{mvar|ℝ}}<math>\R</math>.
Ini adalah ruang [[terhitung]], dan tidak memiliki topologi diskret. Contoh yang penting untuk [[teori bilangan]] adalah grup <math>\Z_p</math> dari [[bilangan bulat p-adik]], untuk [[bilangan prima]] <math>p</math>, yang berarti [[batas invers|batas balikkan]] dari grup hingga <math>\Z/p^n</math> karena <math>n</math> menuju takterhingga. Grup <math>\Z_p</math> is berperilaku baik karena kompak (pada kenyataannya, homeomorfik ke [[himpunan Cantor]]), tetapi berbeda dari grup Lie (real) karena [[Grup takterhubung total|takterhubung]].
Ini adalah ruang [[terhitung]], dan tidak memiliki topologi diskrit.
Contoh penting untuk [[teori bilangan]] adalah grup {{math|ℤ<sub>''p''</sub>}} dari [[bilangan bulat p-adik]], untuk [[bilangan prima]] {{mvar | p}}, yang berarti [[batas invers]] dari grup hingga {{math|ℤ/''p''<sup>''n''</sup>}} karena '' n '' mencapai tak terbatas.
Grup {{math|ℤ<sub>''p''</sub>}} is berperilaku baik karena kompak (pada kenyataannya, homeomorfik ke [[himpunan Cantor]]), tetapi berbeda dari (nyata) geup Lie karena terputus.
 
Grup {{<math|ℤ<sub>''p''\Z_p</submath>}} adalah [[grup pro-terbatas]]hingga; itu isomorfik ke subkelompoksubgrup produkdarab <math>\prod_{n \geq 1} \mathbb{Z} / p^n </math> sedemikian rupa sehingga topologinya diinduksi oleh topologi produkdarab, di mana grup hingga <math>\mathbb{Z} / p^n</math> diberi topologi diskritdiskret. Kelas besar lain dari grup pro-terbatas yang penting dalam teori bilangan adalah [[grup Galois mutlak]].
Kelas besar lain dari kelompok pro-terbatas yang penting dalam teori bilangan adalah [[grup Galois mutlak]].
 
== Grup topologitopologis AbelianAbel lengkap ==
Informasi tentang konvergensi jaring dan filter, seperti definisi dan propertisifat, dapat ditemukan di artikel tentang [[filter dalam topologi]].
 
== Keseragaman kanonik pada grup topologitopologis komutatif ==
{{Main|Ruang seragam}}
Selanjutnya kita akan mengasumsikan bahwa setiap grup topologitopologis yang kami anggap adalah grup topologitopologis komutatif aditif dengan elemen identitas {{math | 0}}.
 
{{Quote|1='''Definisi''' ('''Rombongan kanonik''' dan '''diagonal'''):
Baris 115 ⟶ 87:
'''Catatan''':
<ul>
<li>Keseragaman kanonik pada setiap kelompokgrup topologi komutatif adalah invarian-translasi.</li>
<li>Keseragaman kanonik yang sama akan dihasilkan dengan menggunakan basis lingkungan asal alih-alih filter dari semua lingkungan asal.</li>
<li>Setiap rombongan {{math|Δ<sub>''X''</sub>(''N'')}} berisi diagonal {{math|1=Δ<sub>''X''</sub> := Δ<sub>''X''</sub>({0}) = { (''x'', ''x'') : ''x'' ∈ ''X'' &thinsp;}}} karena {{math|0 ∈ ''N''}}.
Baris 124 ⟶ 96:
</ul>
 
== PrefiltersPratapis dan jaring Cauchy ==
 
{{Main|Filter dalam topologi | Jaring (matematika)}}
 
Teori umum [[ruang seragam]] s memiliki definisi sendiri tentang "Cauchy prefilterpratapis" dan "Cauchy net." Untuk keseragaman kanonik pada {{mvar | X}}, ini dikurangi menjadi definisi yang dijelaskan.
 
{{Quote|1='''Definisi''' ('''Jumlah dan hasil jala'''):{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=47-66}} Seharusnya {{math|1=''x''<sub>•</sub> = (''x''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}} adalah jaring di {{mvar | X}} dan {{math|1=''y''<sub>•</sub> = (''y''<sub>''i''</sub>)<sub>''j'' ∈ ''J''</sub>}} adalah jaring di {{mvar | Y}}. Buat {{math|''I'' × ''J''}} menjadi satu set diarahkan dengan menyatakan {{math|(''i'', ''j'') ≤ (''i''<sub>2</sub>, ''j''<sub>2</sub>)}} jika dan hanya jika {{math|''i'' ≤ ''i''<sub>2</sub>}} dan {{math|''j'' ≤ ''j''<sub>2</sub>}}. Kemudian {{nowrap|1={{math|1=''x''<sub>•</sub> × ''y''<sub>•</sub> &nbsp;:=&nbsp; (''x''<sub>''i''</sub>, ''y''<sub>''j''</sub>)<sub>(''i'', ''j'') ∈ ''I''×''J''</sub>}}}} menunjukkan '''produk jaring'''. Jika {{math|1=''X'' = ''Y''}} lalu gambar jaring ini di bawah peta tambahan {{math|''X'' × ''X'' → ''X''}} menunjukkan '''jumlah''' dari dua jaring ini:
Baris 165 ⟶ 137:
Ucapan:
<ul>
<li>Misalkan {{math | ℬ}} adalah prefilterpratapis pada grup topologitopologis komutatif {{mvar | X}} dan {{math|''x'' ∈ ''X''}}. Kemudian {{math|ℬ → ''x''}} di {{mvar | X}} jika dan hanya jika {{math|''x'' ∈ cl ℬ}} dan {{math|ℬ}} adalah Cauchy.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=47-66}}</li>
</ul>
 
== Generalisasi ==
Berbagai generalisasi grup topologitopologis dapat diperoleh dengan melemahkan kondisi kontinuitaskekontinuan:{{sfn|Arhangel'skii|Tkachenko|2008|p=12}}
* [[Grup semitopologi]] adalah grup {{mvar | <math>G}}</math> dengan topologi untuk {{math|''c'' ∈ ''G''}} dua fungsi {{math|''G'' → ''G''}} didefinisikan oleh {{math|''x'' ↦ ''xc''}} dan {{math|''x'' ↦ ''cx''}} adalah kontinu.
* [[Grup kuasitopologi]] adalah grup semitopologis di mana elemen pemetaan fungsi ke inversnyabalikkannya juga kontinu.
* [[Grup paratopologi]] adalah grup dengan topologi sedemikian rupa sehingga operasi grup berkelanjutankontinu.
 
== Lihat pula ==
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Grup_topologi"