|
Ketika Peano merumuskan aksiomanya, bahasa [[logika matematika]] masih dalam masa pertumbuhannya. Sistem notasi logika yang dia buat untuk menyampaikan aksiomanya tidak menjadi populer, walaupun sistem tersebut merupakan asal mula dari notasi modern untuk [[Elemen (matematika)|keanggotaan himpunan]] (∈, yang berasal dari ε dari Peano) dan [[Konsekuensi logis|implikasi]] (⊃, yang berasal dari 'C' dari Peano yang dibalik.) Peano menjaga perbedaan antara simbol matematika dan logika, yang pada saat itu belum sering dijumpai dalam matematika; pemisahan seperti itu pertama kali diperkenalkan dalam ''[[Begriffsschrift]]'' oleh [[Gottlob Frege]], diterbitkan pada tahun 1879.{{sfn|van Heijenoort|1967|page=2}} Peano tidak mengetahui tentang karya Frege dan secara terpisah membuat ulang peraltan logikanya berdasarkan karya [[George Boole|Boole]] dan [[Ernst Schröder|Schröder]].{{sfn|van Heijenoort|1967|page=83}}
Aksioma Peano mendefinisikan sifat-sifat aritmetis dari ''[[bilangan asli]]'', biasanya dilambangkan sebagai sebuah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] '''<math>\mathbf{N'''}</math> atau <math>\mathbb{N}.</math> [[Simbol non-logistaklogis]] untuk aksiomanya terdiri dari simbol konstantatetapan 0 dan simbol fungsi uner ''<math>S''</math>.
Aksioma pertama menyatakan bahwa konstantatetapan 0 adalah bilangan asli:
{{ordered list|start=1
| 1= 0 adalah sebuah bilangan asli.
Empat aksioma berikutnya menjelaskan [[relasi (matematika)|relasi]] [[kesamaan (matematika)|kesamaan]]. Karena mereka secara logika valid dalam logika predikat tingkat pertama dengan kesamaan, mereka tidak dianggap sebagai bagian dari "aksioma Peano" dalam penafsiran modern.{{sfn|van Heijenoort|1967|page=83}}
{{ordered list|start=2
| 2= Untuk setiap bilangan asli ''<math> x'' </math>, {{nowrap|1=''
<math> x'' = ''x''}} </math>. Artinya, kesamaan bersifat [[Relasi refleksif|refleksif]].
| 3= Untuk semua bilangan asli ''<math> x'' </math> dan ''<math> y'' </math>, jika {{nowrap|1=''<math> x'' = ''y''}} </math>, maka {{nowrap|1=''<math> y'' = ''x''}} </math>. Artinya, kesamaan bersifat [[Relasi simetrissimetrik|simetrissimetrik]].
| 4= Untuk semua bilangan asli ''<math> x'' </math>, ''<math> y'' </math> dan ''<math> z'' </math>, jika ''<math> x'' = ''y'' </math> dan ''<math> y'' = ''z'' </math>, maka {{nowrap|1=''<math> x'' = ''z''}} </math>. Artinya, kesamaan bersifat [[Relasi transitif|transitif]].
| 5= Untuk semua ''<math> a'' </math> dan ''<math> b'' </math>, jika ''<math> b'' </math> merupakan sebuah bilangan asli dan {{nowrap|1=''<math> a'' = ''b''}} </math>, maka ''<math> a'' </math> juga merupakan bilangan asli. Artinya, bilangan-bilangan asli bersifat [[ketertutupanKetertutupan (matematika)|tertutup]] di bawahterhadap kesamaan.
}}
Aksioma berikutnya mendefinisikan sifat-sifat aritmetis dari bilangan asli. Bilangan asli diasumsikan tertutup di bawah sebuah [[fungsi (matematika)|fungsi]] "[[fungsi penerus|penerus]]" dengan satu nilai, yang disebut ''<math>S''</math>.
{{ordered list|start=6
| 6=Untuk setiap bilangan asli ''<math> n'' </math>, ''<math> S''(''n'') </math> adalah bilangan asli. Artinya, bilangan asli [[Ketertutupan (matematika)|tertutup]] diterhadap bawah<math> ''S'' </math>.
| 7=Untuk semua bilangan asli ''<math> m'' </math> dan ''<math> n'' </math>, {{nowrap|1=''<math> m'' = ''n''}} </math> jika dan hanya jika {{nowrap|1=''<math> S''(''m'') = ''S''(''n'')}} </math>. Artinya, ''<math> S'' </math> bersifat [[fungsiFungsi injektif|injektif]].
| 8=Untuk setiap bilangan asli ''<math> n'' </math>, {{nowrap|1=''<math> S''(''n'') = 0}} </math> bernilai salah. Artinya, tidak ada bilangan asli yang penerusnya adalah 0.
}}
Perumusan Peano yang asli menggunakan 1 bukannya 0 sebagai bilangan asli "pertama".{{sfn|Peano|1889|page=1}} Pilihan ini dilakukan semaunya, karena aksioma 1 tidak memberikan konstantatetapan 0 sifat tambahan apapun. Akan tetapi, karena 0 merupakan [[elemen identitas|identitas penambahan]] dalam aritmetika, kebanyakan perumusan aksioma Peano modern memulai dari 0. Aksioma 1, 6, 7, 8 mendefinisikan sebuah [[sistem bilangan uner|representasi uner]] dari ide intuitif bilangan asli: bilangan 1 bisa didefinisikan sebagai ''<math>S''(0)</math>, 2 sebagai ''<math>S''(''S''(0))</math>, dan seterusnya. Namun, mempertimbangkan ide bilangan asli sebagaimana didefinisikan oleh aksioma-aksioma tersebut, aksioma 1, 6, 7, 8 tidak mengimplikasikan bahwa fungsi penerus menghasilkan semua bilangan asli yang berbeda dari 0. Dengan kata lain, mereka tidak menjamin bahwa setiap bilangan asli selain nol harus meneruskan suatu bilangan asli lainnya.
Ide intuitif bahwa setiap bilangan asli bisa diperoleh dengan menerapkan ''penerus'' pada nol memerlukan aksioma tambahan, yang terkadang disebut ''[[aksioma induksi]]''.
{{ordered list|start=9
| 9=Jika ''<math> K'' </math> merupakan sebuah himpunan sehingga:
* 0 merupakan anggota ''<math> K'' </math>, dan
* untuk setiap bilangan asli ''<math> n'' </math> , ''<math> n'' </math> merupakan anggota ''<math> K'' </math> mengimplikasikan ''<math> S''(''n'') </math> merupakan anggota ''<math> K'' </math>,
maka ''<math> K'' </math> berisi setiap bilangan asli.
}}
Aksioma induksi terkadang dinyatakan dalam bentuk berikut:
{{ordered list|start=9
| 9=Jika ''φ''<math> \varphi </math> adalah [[predikat (matematika)|predikat]] uner sehingga:
* ''φ''<math> \varphi(0) </math> bernilai benar, dan
* untuk setiap bilangan asli ''<math> n'' </math>, ''φ''<math> \varphi(''n'') </math> bernilai benar mengimplikasikan ''φ''<math> \varphi(''S''(''n'')) </math> bernilai benar,
maka ''φ''<math> \varphi(''n'') </math> bernilai benar untuk setiap bilangan asli ''<math> n'' </math>.
}}
== Aritmetika ==
Aksioma Peano dapat ditambah dengan operasi [[penjumlahanpenambahan]] dan [[perkalian]] dan [[urutan total|urutan total (linear)]] biasa pada [[bilangan asli#Notasi|'''N''']]. Fungsi dan relasi masing-masing dibangun dalam [[teori himpunan]] atau [[logika orde kedua]], dan dapat ditampilkan unik menggunakan aksioma Peano.
=== PenjumlahanPenambahan ===
[[PenjumlahanPenambahan]] adalah fungsi yang [[peta (matematika) | peta]] dua bilangan asli (dua elemen '''N''') satu sama lain. Ini didefinisikan [[rekursi | rekursif]] sebagai:
: <math>\begin{align}
&= S(a + 2) & \mbox{menggunakan (2)} \\
&= S(S(S(a))) & \mbox{menggunakan } a + 2 = S(S(a)) \\
\text{etcdst.} & \\
\end{align}</math>
a \cdot S (b) &= a + (a \cdot b).
\end{align}</math>
Sangat mudah untuk melihat bahwa '' <math>S ''(0)</math> (atau "1", dalam bahasa familiar [[representasi desimal]]) adalah perkalian [[elemen identitas | identitas kanan]]:
: ''<math>a'' ·\cdot ''S''(0) = ''a'' + (''a'' ·\cdot 0) = ''a'' + 0 = ''a''</math>
Untuk menunjukkan bahwa '' <math>S ''(0)</math> juga merupakan identitas multiplikatifperkalian kiri memerlukan aksioma induksi karena cara perkalian didefinisikan:
* ''<math>S''(0)</math> adalah identitas kiri 0: ''<math>S''(0) ·\cdot 0 = 0</math>.
* Jika ''<math>S''(0)</math> adalah identitas kiri dari '' <math>a ''</math> (yaitu ''<math>S''(0) ·\cdot ''a'' = ''a''</math>), maka ''<math>S''(0)</math> juga merupakan identitas kiri ''<math>S''(''a'')</math>: ''<math>S''(0) ·\cdot ''S''(''a'') = ''S''(0) + ''S''(0) ·\cdot ''a'' = ''S''(0) + ''a'' = ''a'' + ''S''(0) = ''S''(''a'' + 0) = ''S''(''a'')</math>.
Oleh karena itu, dengan aksioma induksi '' <math>S ''(0)</math> adalah identitas kiri perkalian dari semua bilangan asli. Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa perkalian bersifat komutatif dan penjumlahan [[hukum distributif | distributif]]:
: ''<math>a'' ·\cdot (''b'' + ''c'') = (''a'' ·\cdot ''b'') + (''a'' ·\cdot ''c'')</math>.
Jadi, <math>(\mathbb{{nowrap|('''N'''}, + , 0, ·\cdot, ''S''(0))}}</math> adalah komutatif [[semigelanggang]].
=== KetimpanganPertidaksamaan ===
Relasi [[totalurutan ordertotal]] biasa ≤ pada bilangan asli dapat didefinisikan sebagai berikut, dengan asumsi 0 adalah bilangan asli:
: Untuk semua {{nowrap|''<math>a'', ''b'' ∈\in '''\mathbb{N'''}}</math>, {{nowrap|''<math>a'' ≤\le ''b''}}</math> jika dan hanya jika adaterdapatu beberapasuatu {{nowrap|''<math>c'' ∈\in '''\mathbb{N'''}}</math> suchsehingga that {{nowrap|1=''<math>a'' + ''c'' = ''b''}}</math>.
Hubungan ini stabil dalamterhadap penjumlahan dan perkalian: untuk <math> a, b, c \in \mathbfmathbb{N} </math>, ifjika {{nowrap|''<math>a'' ≤\le ''b''}}</math>, kemudianmaka:
* ''<math>a'' + ''c'' ≤\le ''b'' + ''c''</math>, dan
* ''<math>a'' ·\cdot ''c'' ≤\le ''b'' ·\cdot ''c''</math>.
Jadi, struktur <math>(\mathbb{{nowrap|('''N'''}, +, ·\cdot, 1, 0, ≤\le)}}</math> adalah [[gelanggang order| semiringsemigelanggang terurut]]; karena tidak ada bilangan asli antara 0 dan 1, ini adalah semiring terurut diskrit.
== Teori aritmetika orde pertama ==
| 