Definisi limit (ε, δ): Perbedaan antara revisi

Tidak ada definisi limit yang tunggal - adanya seluruh definisi keluarga. Ini dikarenakan kehadiran takhingga, dan konsep limit "dari sebelah kanan"" dan "dari sebelah kiri". Limit itu sendiri dapat menjadi sebuah nilai terhingga, <math>\infty</math>, atau <math>-\infty</math>. Nilai yang mendekati oleh <math>x</math> juga dapat menjadi nilai terhingga, <math>\infty</math>, atau <math>-\infty</math>, dan jika ini merupakan sebuah nilai terhingga, ini dapat mendekati dari kiri atau dari kanan. Biasanya, setiap kombinasinya diberikan definisi itu sendiri, seperti di bawah ini:{{Aligned table|'''Notation'''|179=<math>{\color{Red}-\infty}</math>|166=<math>{\color{Green}\exists M < 0, }</math>|167=<math>\forall x \in D,</math>|168=|169=<math>x</math>|170=<math>< {\color{Green}M }</math>|171=<math>\Rightarrow</math>|172=<math>{\color{Red}N} <</math>|173=<math>f(x)</math>|174=|175=|176=<math>\lim_{x \to -\infty} x^2 = \infty</math>|177=<math>\lim_{x \to {\color{Green}c}}</math>|178=<math>f(x) =</math>|180=<math>\iff</math>|164=<math>\iff</math>|181=<math>{\color{Red}\forall N < 0,}</math>|182=<math>{\color{Green}\exists \delta > 0,}</math>|183=<math>\forall x \in D,</math>|184=<math>{\color{Green}c-\delta} <</math>|185=<math>x</math>|186=<math>< {\color{Green}c+\delta}</math>|187=<math>\Rightarrow</math>|188=|189=<math>f(x)</math>|190=<math>< {\color{Red}N}</math>|191=|192=<math>\lim_{x \to 0} -|1/x| = -\infty</math>|193=<math>\lim_{x \to {\color{Green}c^+}}</math>|165=<math>{\color{Red}\forall N > 0,}</math>|163=<math>{\color{Red}\infty}</math>|195=<math>{\color{Red}-\infty}</math>|146=<math>f(x) =</math>|133=<math>{\color{Red}\forall N > 0,}</math>|134=<math>{\color{Green}\exists \delta > 0,}</math>|135=<math>\forall x \in D,</math>|136=<math>{\color{Green}c-\delta} <</math>|137=<math>x</math>|138=<math>< {\color{Green}c }</math>|139=<math>\Rightarrow</math>|140=<math>{\color{Red}N} <</math>|141=<math>f(x)</math>|142=|143=|144=<math>\lim_{x \to 0^-} -1/x = \infty</math>|145=<math>\lim_{x \to {\color{Green}\infty}}</math>|147=<math>{\color{Red}\infty}</math>|162=<math>f(x) =</math>|148=<math>\iff</math>|149=<math>{\color{Red}\forall N > 0,}</math>|150=<math>{\color{Green}\exists M > 0, }</math>|151=<math>\forall x \in D,</math>|152=<math>{\color{Green}M } <</math>|153=<math>x</math>|154=|155=<math>\Rightarrow</math>|156=<math>{\color{Red}N} <</math>|157=<math>f(x)</math>|158=|159=|160=<math>\lim_{x \to \infty} e^x = \infty</math>|161=<math>\lim_{x \to {\color{Green}-\infty}}</math>|194=<math>f(x) =</math>|196=<math>\iff</math>|131=<math>{\color{Red}\infty}</math>|244=<math>\iff</math>|231=<math>\forall x \in D,</math>|232=<math>{\color{Green}M } <</math>|233=<math>x</math>|234=|235=<math>\Rightarrow</math>|236=|237=<math>f(x)</math>|238=<math>< {\color{Red}N}</math>|239=|240=<math>\lim_{x \to \infty} -x = -\infty</math>|241=<math>\lim_{x \to {\color{Green}-\infty}}</math>|242=<math>f(x) =</math>|243=<math>{\color{Red}-\infty}</math>|245=<math>{\color{Red}\forall N < 0,}</math>|229=<math>{\color{Red}\forall N < 0,}</math>|246=<math>{\color{Green}\exists M < 0, }</math>|247=<math>\forall x \in D,</math>|248=|249=<math>x</math>|250=<math>< {\color{Green}M }</math>|251=<math>\Rightarrow</math>|252=|253=<math>f(x)</math>|254=<math>< {\color{Red}N}</math>|255=|256=<math>\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty</math>|cols=16|col8align=right|230=<math>{\color{Green}\exists M > 0, }</math>|228=<math>\iff</math>|197=<math>{\color{Red}\forall N < 0,}</math>|211=<math>{\color{Red}-\infty}</math>|198=<math>{\color{Green}\exists \delta > 0,}</math>|199=<math>\forall x \in D,</math>|200=<math>{\color{Green}c } <</math>|201=<math>x</math>|202=<math>< {\color{Green}c+\delta}</math>|203=<math>\Rightarrow</math>|204=|205=<math>f(x)</math>|206=<math>< {\color{Red}N}</math>|207=|208=<math>\lim_{x \to 0^+} \log(x) = -\infty</math>|209=<math>\lim_{x \to {\color{Green}c^-}}</math>|210=<math>f(x) =</math>|212=<math>\iff</math>|227=<math>{\color{Red}-\infty}</math>|213=<math>{\color{Red}\forall N < 0,}</math>|214=<math>{\color{Green}\exists \delta > 0,}</math>|215=<math>\forall x \in D,</math>|216=<math>{\color{Green}c-\delta} <</math>|217=<math>x</math>|218=<math>< {\color{Green}c }</math>|219=<math>\Rightarrow</math>|220=|221=<math>f(x)</math>|222=<math>< {\color{Red}N}</math>|223=|224=<math>\lim_{x \to 0^-} 1/x = -\infty</math>|225=<math>\lim_{x \to {\color{Green}\infty}}</math>|226=<math>f(x) =</math>|132=<math>\iff</math>|130=<math>f(x) =</math>||49=<math>\lim_{x \to {\color{Green}c^-}}</math>|36=<math>\iff</math>|37=<math>{\color{Red}\forall\varepsilon > 0,}</math>|38=<math>{\color{Green}\exists \delta > 0,}</math>|39=<math>\forall x \in D,</math>|40=<math>{\color{Green}c } <</math>|41=<math>x</math>|42=<math>< {\color{Green}c+\delta}</math>|43=<math>\Rightarrow</math>|44=<math>{\color{Red}L-\varepsilon} <</math>|45=<math>f(x)</math>|46=<math>< {\color{Red}L+\varepsilon}</math>|47=|48=<math>\lim_{x \to 0^+} x^2 + \sgn(x) = 1</math>|50=<math>f(x) =</math>|34=<math>f(x) =</math>|51=<math>{\color{Red}L}</math>|52=<math>\iff</math>|53=<math>{\color{Red}\forall\varepsilon > 0,}</math>|54=<math>{\color{Green}\exists \delta > 0,}</math>|55=<math>\forall x \in D,</math>|56=<math>{\color{Green}c-\delta} <</math>|57=<math>x</math>|58=<math>< {\color{Green}c }</math>|59=<math>\Rightarrow</math>|60=<math>{\color{Red}L-\varepsilon} <</math>|61=<math>f(x)</math>|62=<math>< {\color{Red}L+\varepsilon}</math>|63=|35=<math>{\color{Red}L}</math>|33=<math>\lim_{x \to {\color{Green}c^+}}</math>|65=<math>\lim_{x \to {\color{Green}\infty}}</math>|16='''Example'''|||'''Def.'''|||||||||||17=<math>\lim_{x \to {\color{Green}c}}</math>|32=<math>\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0</math>|18=<math>f(x) =</math>|19=<math>{\color{Red}L}</math>|20=<math>\iff</math>|21=<math>{\color{Red}\forall\varepsilon > 0,}</math>|22=<math>{\color{Green}\exists \delta > 0,}</math>|23=<math>\forall x \in D,</math>|24=<math>{\color{Green}c-\delta} <</math>|25=<math>x</math>|26=<math>< {\color{Green}c+\delta}</math>|27=<math>\Rightarrow</math>|28=<math>{\color{Red}L-\varepsilon} <</math>|29=<math>f(x)</math>|30=<math>< {\color{Red}L+\varepsilon}</math>|31=|64=<math>\lim_{x \to 0^-} x^2 + \sgn(x) = -1</math>|66=<math>f(x) =</math>|129=<math>\lim_{x \to {\color{Green}c^-}}</math>|114=<math>f(x) =</math>|101=<math>{\color{Red}\forall N > 0,}</math>|102=<math>{\color{Green}\exists \delta > 0,}</math>|103=<math>\forall x \in D,</math>|104=<math>{\color{Green}c-\delta} <</math>|105=<math>x</math>|106=<math>< {\color{Green}c+\delta}</math>|107=<math>\Rightarrow</math>|108=<math>{\color{Red}N} <</math>|109=<math>f(x)</math>|110=|111=|112=<math>\lim_{x \to 0} |1/x| = \infty</math>|113=<math>\lim_{x \to {\color{Green}c^+}}</math>|115=<math>{\color{Red}\infty}</math>|99=<math>{\color{Red}\infty}</math>|116=<math>\iff</math>|117=<math>{\color{Red}\forall N > 0,}</math>|118=<math>{\color{Green}\exists \delta > 0,}</math>|119=<math>\forall x \in D,</math>|120=<math>{\color{Green}c } <</math>|121=<math>x</math>|122=<math>< {\color{Green}c+\delta}</math>|123=<math>\Rightarrow</math>|124=<math>{\color{Red}N} <</math>|125=<math>f(x)</math>|126=|127=|128=<math>\lim_{x \to 0^+} 1/x = \infty</math>|100=<math>\iff</math>|98=<math>f(x) =</math>|67=<math>{\color{Red}L}</math>|81=<math>\lim_{x \to {\color{Green}-\infty}}</math>|68=<math>\iff</math>|69=<math>{\color{Red}\forall\varepsilon > 0,}</math>|70=<math>{\color{Green}\exists M > 0, }</math>|71=<math>\forall x \in D,</math>|72=<math>{\color{Green}M } <</math>|73=<math>x</math>|74=|75=<math>\Rightarrow</math>|76=<math>{\color{Red}L-\varepsilon} <</math>|77=<math>f(x)</math>|78=<math>< {\color{Red}L+\varepsilon}</math>|79=|80=<math>\lim_{x \to \infty} 1/x = 0</math>|82=<math>f(x) =</math>|97=<math>\lim_{x \to {\color{Green}c}}</math>|83=<math>{\color{Red}L}</math>|84=<math>\iff</math>|85=<math>{\color{Red}\forall\varepsilon > 0,}</math>|86=<math>{\color{Green}\exists M < 0, }</math>|87=<math>\forall x \in D,</math>|88=|89=<math>x</math>|90=<math>< {\color{Green}M }</math>|91=<math>\Rightarrow</math>|92=<math>{\color{Red}L-\varepsilon} <</math>|93=<math>f(x)</math>|94=<math>< {\color{Red}L+\varepsilon}</math>|95=|96=<math>\lim_{x \to -\infty} e^x = 0</math>|col12align=right}}