Jumlah langsung: Perbedaan antara revisi

Dalam [[aljabar abstrak]], '''jumlah langsung''' atau '''jumlah direct''' adalah salah satu operasi pada himpunan. Sebagai contoh, jumlah langsung <math> \mathbf{R} \oplus \mathbf{R} </math>, dimana <math> \mathbf{R} </math> adalah [[ruang koordinat nyata]], adalah [[bidang Kartesius]], <math> \mathbf{R} ^2 </math>. Untuk melihat bagaimana penjumlahan langsung digunakan dalam aljabar abstrak, pertimbangkan struktur yang lebih mendasar dalam aljabar abstrak, [[grup abelian]]. Jumlah langsung dari dua [[grup abelian]] <math>A</math> and <math>B</math> adalah kelompokgrup abelian lainnya <math>A\oplus B</math> terdiri dari urutan pasangan order <math>(a,b)</math>, wheredimana <math>a \in A</math> anddan <math>b \in B</math>. (Secara membingungkan, pasangan terurut ini juga disebut [[produkProduk Cartesius|hasilkali kartesian]] dari dua kelompokgrup.) Untuk menambahkan pasangan terurut, kita definisikan penjumlahan <math>(a, b) + (c, d)</math> sebagai <math>(a + c, b + d)</math>; dengan kata lain, penjumlahan didefinisikan secara koordinat. Proses serupa dapat digunakan untuk membentuk penjumlahanjumlah langsung dari dua struktur aljabar, seperti [[gelanggang (matematika) | gelanggang]], [[modul (matematika) | modul]], dan [[ruang vektor]].

Kita juga dapat membentuk penjumlahan langsung dengan jumlah penjumlahan yang terbatas, misalnya <math>A \oplus B \oplus C</math>, disediakandiberikan <math>A, B,</math> dan <math> C </math> adalah jenis struktur aljabar yang sama (yaitu, semua grup, cincingelanggang, ruang vektor, dll.). Ini bergantung pada fakta bahwa penjumlahan langsungnya adalah [[asosiatif]] [[hingga]] [[isomorfisme]], <math>(A \oplus B) \oplus C \cong A \oplus (B \oplus C)</math> untuk struktur aljabar <math>A</math>, <math>B</math>, dan <math>C</math> dari jenis yang sama. Jumlah langsung juga [[komutatif]] hingga isomorfisme, yaitu <math>A \oplus B \cong B \oplus A</math>. untuk struktur aljabar apa pun <math>A</math> dan <math>B</math> dari jenis yang sama.

Dalam kasus dua penjumlahan, atau suatu jumlah terbatas apa punterhingga, jumlah langsungnya sama dengan [[hasil kalihasilkali langsung]]. Jika operasi aritmatikaaritmetika ditulis sebagai <math>+</math>, asseperti biasanya di kelompokgrup abelian, lalu kita pakai penjumlahan langsung. Jika operasi aritmatikaaritmetika ditulis sebagai × atau ⋅ atau menggunakan penjajaran (seperti dalam ekspresi <math>xy</math>) kita menggunakan produkhasilkali langsung.

Dalam kasus di mana banyak objek digabungkan, kebanyakan penulis membuat perbedaan antara jumlah langsung dan produkhasilkali langsung. Sebagai contoh, perhatikan jumlah langsung dan hasilkali langsung dari tak hingga. Unsur dalam produkhasilkali langsung adalah urutan tak hingga, seperti <math>(1,2,3, ...\dots)</math> tetapi dalam jumlah langsung, akan ada persyaratan bahwa semua kecuali banyak koordinat menjadi nol, sehingga urutan <math>(1,2,3, ...\dots)</math> akan menjadi elemen produkhasilkali langsung tetapi bukan dari jumlah langsung, whilesementara <math>(1,2,0,0,0,...\dots)</math> akan menjadi elemen keduanya. Secara lebih umum, jika tanda + digunakan, semua kecuali banyak koordinat pasti harus nol, sedangkan jika beberapa bentuk perkalian digunakan, semua kecuali banyak koordinat pasti harus 1. Dalam bahasa yang lebih teknis, jika ringkasannya adalah <math>(A_i)_{i \in I}</math>, jumlah langsung <math>\bigoplus_{i \in I} A_i</math> didefinisikan sebagai himpunan tupel <math>(a_i)_{i \in I}</math> dengan <math>a_i \in A_i</math> seperti yang <math>a_i=0</math> untuk semua kecuali '' i ''. Jumlah langsung <math>\bigoplus_{i \in I} A_i</math> terkandung dalam [[produk langsung|hasilkali langsung]] <math>\prod_{i \in I} A_i</math>, tetapi biasanya sangat lebih kecil jika [[kumpulan indeks]] <math> I </math> tidak terbatas, karena produkhasilkali langsung tidak memiliki batasan bahwa semua kecuali banyak koordinat harus nol.<ref>[[Thomas W. Hungerford]], ''Algebra'', p.60, Springer, 1974, {{ISBN|0387905189}}</ref>

Bidang '' <math>xy ''</math>, sebuah [[ruang vektor]] dua dimensi, dapat dianggap sebagai penjumlahan langsung dari dua ruang vektor satu dimensi, yaitu sumbu '' x '' dan '' y '' . Dalam penjumlahan langsung ini, sumbu '' <math>x ''</math> dan '' <math>y ''</math> hanya berpotongan di titik asal (vektor nol). Penambahan didefinisikan secara koordinat, yaitu <math>(x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2, y_1 + y_2)</math>, yang sama dengan penjumlahan vektor.

Diberikan dua struktur <math> A </math> dan <math> B </math>, jumlah langsungnya ditulis sebagai <math>A\oplus B</math>. Diberikan [[keluarga terindeks]] struktur <math>A_i</math>, diindeks dengan <math>i \in I</math>, jumlah langsung dapat ditulis <math>\textstyle A=\bigoplus_{i\in I}A_i</math>. Pada ''A_i'' disebut '''penjumlahan langsung''' dari '' <math>A ''</math>. Jika kumpulan indeks terbatasterhingga, jumlah langsungnya sama dengan produkhasilkali langsung. Dalam kasus grup, jika operasi grup ditulis sebagai <math> + </math> frasa "jumlah langsung" digunakan, sedangkan jika operasi grup ditulis <math>*</math> frasefrasa "produkhasilkali langsung" digunakan. Ketika himpunan indeks tidak terbatastakhingga, jumlah langsung tidak sama dengan produkhasilkali langsung karena jumlah langsung memiliki persyaratan tambahan bahwa semuanya.

=== Jumlah langsung internal dan eksternal ===

Jumlah langsung <math>\bigoplus_{i \in I} A_i</math> dilengkapi dengan '' [[Proyeksi (matematika) | proyeksi]] '' [[homomorfisme]] <math>\pi_j \colon \, \bigoplus_{i \in I} A_i \to A_j</math> untuk setiap '' j '' dalam '' I '' dan '' coprojection '' <math>\alpha_j \colon \, A_j \to \bigoplus_{i \in I} A_i</math> untuk setiap '' j '' pada ''I''.<ref name=Heu26>{{cite book | title=Categorical Quantum Models and Logics | url=https://archive.org/details/categoricalquant00heun | series=Pallas Proefschriften | first=Chris | last=Heunen | publisher=Amsterdam University Press | year=2009 | isbn=9085550246 | page=[https://archive.org/details/categoricalquant00heun/page/n34 26] }}</ref> Diberikan struktur aljabar lain <math> B </math> (dengan struktur tambahan yang sama) dan homomorfisme <math>g_j \colon A_j \to B</math> untuk setiap '' j '' di '' I '', ada homomorfisme yang untuk <math>g \colon \, \bigoplus_{i \in I} A_i \to B</math>, disebut jumlah dari ''g''_''j'', seperti <math>g \alpha_j =g_j</math> for semua '' j ''. Jadi jumlah langsungnya adalah [[produk bersama|hasilkali bersama]] dalam [[kategori (matematika) | kategori]] yang sesuai.

* [[Produk batasan|hasilkali batasan]]