Sifat pembatalan: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], pengertian dari '''pembatal''' adalah generalisasiperampatan dari pengertiangagasan [[dapatElemen dibalikinvers|terbalikkan]].

* Unsur ''<math>a''</math> padadalam [[magma {{nowrap(aljabar)|magma]] <math>(''M'', ∗*)}}</math> memiliki '''propertisifat pembatalan hakruas kiri''' (atau '''pembatalan-hak''') jika untuk semua ''<math>b''</math> dan ''<math>c''</math> pada ''<math>M''</math>, {{nowrap|1=''<math>a * b'' ∗= ''a'' =* ''c'' ∗ ''a''}}</math> selalu menyiratkan {{nowrap|1=''bahwa <math>b'' = ''c''}}</math>.

Magma* {{nowrapUnsur |<math>a</math> dalam magma <math>(''M'', ∗*)}}</math> memiliki properti'''sifat pembatalan kiri (atau pembatalan kiri) jika semuakedua ruas''a'' dijika magmakeduanya dibiarkanadalah pembatalan, danruas definisikiri serupadan berlaku untuk sifat pembatalatifruas kanan atau pembatal dua sisi.

Untuk mengatakan bahwa elemen ''unsur <math>a ''</math> dalam magma {{nowrap | <math>('' M '', ∗*)}}</math> adalah pembatal-kiri, artinya fungsinya {{nowrap|''<math>g'' :\colon ''x'' ↦\mapsto ''a'' ∗* ''x''}}</math> adalah [[injektif]].<ref>{{cite book |last1=Warner |first1=Seth |title=Modern Algebra Volume I |date=1965 |publisher=Prentice-Hall, Inc. |location=Englewood Cliffs, NJ |page=50}}</ref> Bahwa fungsi '' <math>g ''</math> adalah injeksi menyiratkan bahwa diberikan beberapa persamaan bentuk '' <math>a '' * '' x '' = '' b ''</math>, di mana satu-satunya yang tidak diketahui adalah '' <math>x ''</math>, hanya ada satu kemungkinan nilai '' <math>x </math>'' memenuhi persamaan. Lebih tepatnya, kita dapat mendefinisikan beberapasuatu fungsi '' <math>f ''</math>, kebalikan dari '' <math>g ''</math>, sehingga untuk semua <math>x</math>'' x, '' {{nowrap|1=''<math>f''(''g''(''x'')) = ''f''(''a'' ∗* ''x'') = ''x''}}</math>. Dengan kata lain, untuk semua '' <math>x ''</math> dan ''<math>y''</math> pada ''<math>M''</math>, jika ''<math>a'' * ''x'' = ''a'' * ''y''</math>, maka ''<math>x'' = ''y''</math>.<ref>{{cite book |last1=Warner |first1=Seth |title=Modern Algebra Volume I |date=1965 |publisher=Prentice-Hall, Inc. |location=Englewood Cliffs, NJ |page=48}}</ref>

== Contoh monoid kanselatifpembatalan dan semigroupsemigrup ==

Bilangan bulat positif (sama-sama non-negatiftaknegatif) membentuk sebuah pembatal [[semigrup]] di bawahterhadap penambahan. Bilangan bulat non-negatiftaknegatif membentuk pembatalan [[monoid]] di bawah penambahan.

Faktanya, semigroupsemigrup atau monoid bebas mana pun mematuhi hukum pembatalan, dan secara umum, semigroupsuatu semigrup atau monoid apa pun yang menyematkanmembenamkan ke dalam grup (seperti yang dengan jelas ditunjukkan dalam contoh di atas) akan mematuhi hukum pembatalan.

Dalam nada yang berbeda, (sub-kelompoksubgrup dari) semigroupsemigrup perkalian elemenunsur dari [[GalanggangGelanggang (matematika) | cincingelanggang]] yang bukan pembagi nol (yang hanya merupakan himpunan dari semua elemenunsur bukan nol jika cincin yang dimaksud adalah [[DomainRanah (teori cincingelanggang) | domainranah]], seperti bilangan bulat) memiliki propertisifat pembatalan. Perhatikan bahwa ini tetap valid.

== Struktur aljabar non-cancellativetakmembatalkan ==

Meskipun hukum pembatalan berlaku untuk penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian [[bilangan real | nyata]] dan [[bilangan kompleks]] (dengan pengecualian tunggal perkalian dengan [[0 (bilangan) | nol]] dan pembagian nol dengan bilangan lain), ada sejumlah struktur aljabar di mana hukum pembatalan tidak validsah.

Untuk alasan yang sama-->[[Perkalian silang]] dari dua vektor <!--juga--> tidak mematuhi hukum pembatalan. Jika {{nowrap|1='''<math>\mathbf a''' ×\times \mathbf '''b''' = '''\mathbf a''' ×\times \mathbf '''c'''}}</math>, maka ini tidak mengikuti {{nowrap|1='''bahwa <math>\mathbf b''' = '''\mathbf c'''}}</math> bahkan jika {{nowrap|'''<math>\mathbf a''' ≠\ne '''0'''}}</math>.

[[Perkalian matriks]] juga tidak selalu mematuhi hukum pembatalan. Jika {{nowrap|1='''AB'''<math>\mathbf A \mathbf B = '''AC'''}}\mathbf A \mathbf C</math> dan <math>\mathbf{{nowrap|'''A'''} ≠\ne 0}}</math>, maka seseorangsalah satunya harus menunjukkan bahwa matriks itu<math>\mathbf '''A''' is</math> ''dapat dibalik terbalikkan'' (yaitu memiliki {{nowrap|[[determinan|<math>\det]](''' \mathbf A''') ≠\ne 0}}</math>, dimana <math>\det</math> berarti [[determinan]]) sebelum seseorangsalah satunya dapat menyimpulkan {{nowrap|1='''<math>\mathbf B''' = '''\mathbf C'''}}</math>. Jika {{nowrap|1=<math>\det(''' \mathbf A''') = 0}}</math>, thenmaka '''<math>\mathbf{B'''}</math> mungkin tidak sama dengan '''<math>\mathbf C'''</math>, karena [[matriks (matematika)|matriks]] persamaan {{nowrap<math>\mathbf |A \mathbf X 1='''AX'''=''' \mathbf B'''}}</math> tidak akan memiliki solusipenyelesaian uniktunggal untuk matriks yang<math>\mathbf{A}</math> tidak dapat dibalik '''A'''takterbalikkan.

Perhatikan juga bahwa jika {{nowrap|1='''AB'''<math>\mathbf A \mathbf B = '''CA'''}}\mathbf C \mathbf A</math> dan <math>\mathbf{{nowrap|'''A'''} ≠\ne 0}}</math> dan matriks ''<math>\mathbf 'A' ''</math> adalah '' dapat dibalik ''terbalikkan (yaitu memiliki {{nowrap|[[determinan|<math>\det]](''' \mathbf A''' ) ≠\ne 0}}</math>), itu belum tentu benar {{nowrap|1='''<math>\mathbf B''' = '''\mathbf C'''}}</math>. Pembatalan hanya berfungsibekerja untuk {{nowrap|1='''AB'''persamaan <math>\mathbf A \mathbf B = '''AC'''}}\mathbf A \mathbf C</math> dan {{nowrap|1='''BA'''<math>\mathbf B \mathbf A = '''CA'''}}\mathbf C \mathbf A</math> (asalkan matriks itu '''<math>\mathbf A'''</math> adalah '' dapat dibalik terbalikkan'') dan bukan untuk {{nowrap|1='''AB'''persamaan <math>\mathbf A \mathbf B = '''CA'''}}\mathbf C \mathbf A</math> dan {{nowrap|1='''BA'''<math>\mathbf B \mathbf A = '''AC'''}}\mathbf A \mathbf C</math>.

* [[ElemenUnsur yang dapat dibalikterbalikkan]]

* [[SemigroupSemigrup pembatalan]]

* [[DomainRanah integral]]

{{DEFAULTSORT:PropertiSifat Pembatalan}}

[[Kategori:Aljabar non-asosiatiftakasosiatif]]