Deret (matematika): Perbedaan antara revisi

== Contoh ==

 

Contoh dari persamaan {{math|''f'' (''n'') {{=}} ''n''²}} Pada nilai produk {{math|''f'' (''n'')}} dari nilai {{math|''n''}} antara {{math|1}} dan {{math|∞}} dapat dinyatakan sebagai:

 

<math>S_{10} = \sum_{n = 1}^{10} n^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +\cdots+ 10^2 = 385.</math>

 

Contoh dari produk <math>\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2^n}</math> menyatu secara mutlak. Tetapi <math>\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}

n=1</math> menyatu secara kondisional. Jika kita tahu bahwa keduanya konvergen, kita dapat membuktikan bahwa keduanya konvergen secara absolut atau bersyarat dengan mengambil jumlah nilai absolut dari fungsi tersebut:

<math>\begin{aligned} \sum\limits_{n = 1}^\infty \left|\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}}\right| &= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^{n}} \rightarrow \text{konvergensi}\\ \sum\limits_{n = 1}^\infty \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right| &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots +\frac{1}{n} \rightarrow \text{tidak konvergensi}. \end{aligned}</math>

 

Berapa nilai dari <math>(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot (1 - \frac{1}{5})</math>?

: <math>(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot (1 - \frac{1}{5}) = \frac{\mathbf{1}}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{\mathbf{5}} = \frac{1}{5}</math>

 

Berapa nilai dari <math>\frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6}</math>?

: <math>\frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{6} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} + \frac{10}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}</math>

: jadi lebih singkatnya adalah <math>\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4} \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{4}</math>

 

Berapa nilai dari <math>1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4)</math>?

: <math> 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) = 1 + 3 + 6 + 10 = 20</math>

: jadi lebih singkatnya adalah <math>1 \times 4 + 2 \times 3 + 3 \times 2 + 4 \times 1 = 2 \cdot (1 \times 4 + 2 \times 3) = 2 \cdot (4 + 6) = 20</math>

 

Berapa nilai dari <math>1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)</math>?

: <math> 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35</math>