Kalkulus matriks: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k +Kalkulus vektor, tahap 3 lanjutan terjemahan en |
k lanjutan terjemahan |
||
Baris 44:
Diferensial sepanjang '''f''' dari vektor '''v''' dalam '''R'''<sup>''m''</sup> adalah
:<math>d\,\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \mathbf{v}.</math>
</li>
</ul>
== Kalkulus matriks ==
Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.
<ul>
<li>Vektor singgung kurva '''F''' : '''R''' → ''M''(''n'',''m'')
:<math>
\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial F_{1,1}}{\partial t} & \cdots & \frac{\partial F_{1,m}}{\partial t}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial F_{n,1}}{\partial t} & \cdots & \frac{\partial F_{n,m}}{\partial t}\\
\end{bmatrix}.
</math>
</li>
<li>Gradien fungsi skalar ''f'' : ''M''(''n'',''m'') → '''R'''
:<math>
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial X_{1,1}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_{n,1}}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f}{\partial X_{1,m}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_{n,m}}\\
\end{bmatrix}.
</math>
Perhatikan bahwa urutan indeks gradien terhadap ''X'' terbalik dibandingkan dengan urutan indeks '''X'''. Turunan berarah ''f'' ke arah matriks '''Y''' diberikan oleh
:<math>\nabla_\mathbf{Y} f = \operatorname{tr} \left(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} \mathbf{Y}\right),</math>
dengan ''tr'' melambangkan ''[[trace]]'' dari matriks.
</li>
<li>Diferensial atau turunan matriks dari fungsi <math>F : M(n,m) \Rightarrow M(p,q)</math> adalah unsur dari <math>M(p,q) \otimes M(m,n)</math>, sebuah [[tensor]] peringkat empat (pembalikan ''m'' dan ''n'' di sini menandakan [[ruang dual]] dari ''M''(''n'',''m'')). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks ''m''×''n'' yang masing-masing entrinya adalah matriks ''p''×''q''.
:<math>\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial\mathbf{F}}{\partial X_{1,1}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial X_{n,1}}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial\mathbf{F}}{\partial X_{1,m}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial X_{n,m}}\\
\end{bmatrix},
</math>
Catat pula bahwa tiap ∂'''F'''/∂''X''<sub>''i'',''j''</sub> adalah matriks ''p''×''q'' yang didefinisikan seperti di atas. Catat pula bahwa matriks ini memiliki indeks yang dibalikkan: ''m'' baris dan ''n'' kolom. Diferensial sepanjang '''F''' dari sebuah matriks '''Y''' berukuran ''n''×''m'' dalam ''M''(''n'',''m'') adalah
:<math>d\mathbf{F}(\mathbf{Y}) = \operatorname{tr}\left(\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}\mathbf{Y}\right).</math>
Definisi ini meliputi semua definisi sebelumnya sebagai kasus khusus.
</li>
</ul>
| |||