Penambahan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 239:
Perumusan penambahan rekursif ini telah dikembangkan oleh Dedekind pada tahun 1854, dan dia kemudian mengembangkannya selama dekade-dekade berikutnya.<ref>Ferreirós p. 223</ref> Dia membuktikan sifat asosiatif dan komutatifnya menggunakan [[induksi matematika]].
{{Further|Bilangan bulat}}
Konsepsi bilangan bulat yang sederhana adalah ia terdiri dari [[nilai absolut]] (yang merupakan bilangan asli) dan [[tanda (matematika)|tanda]] (umumnya [[bilangan positif|positif]] atau [[Bilangan negatif|negatif]]). Bilangan bulat nol adalah kasus ketiga khusus, yang bukan positif atau negatif. Definisi yang sesuai dari penambahan harus dilanjutkan dengan kasus:
* Untuk bilangan bulat ''n'', maka |''n''| menjadi nilai mutlaknya. Misalkan ''a'' dan ''b'' adalah bilangan bulat. Jika ''a'' atau ''b'' adalah nol, perlukan sebagai identitas. Jika ''a'' dan ''b'' keduanya positif, tentukan {{nowrap|1=''a'' + ''b'' = {{!}}''a''{{!}} + {{!}}''b''{{!}}}}. Jika ''a'' dan ''b'' keduanya negatif, tentukan {{nowrap|1=''a'' + ''b'' = −({{!}}''a''{{!}} + {{!}}''b''{{!}})}}. Jika ''a'' dan ''b'' memiliki tanda yang berbeda, tentukan {{nowrap|''a'' + ''b''}} sebagai selisih antara |''a''| dan |''b''|, dengan tanda suku yang nilai absolutnya lebih besar.<ref>K.Smith hal. 234, Sparks dan Rees hal. 66</ref> Sebagai contoh, {{nowrap|1=−6 + 4 = 2}}; karena –6 dan 4 memiliki tanda yang berbeda, nilai absolutnya dikurangi, dan karena nilai absolut suku negatif lebih besar, jawabannya adalah negatif.
Meskipun definisi ini berguna untuk masalah konkret, jumlah kasus yang perlu dipertimbangkan memperumit pembuktian yang tidak perlu. Jadi metode berikut ini biasa digunakan untuk mendefinisikan bilangan bulat. Hal ini didasarkan pada pernyataan bahwa setiap bilangan bulat adalah selisih dari dua bilangan bulat asli dan bahwa dua selisih tersebut, {{math|''a'' – ''b''}} and {{math|''c'' – ''d''}} are equal if and only if {{math|1=''a'' + ''d'' = ''b'' + ''c''}}.
Jadi, apabila mendefinisikan secara formal bilangan bulat sebagai [[kelas ekuivalensi]] dari [[pasangan terurut]] bilangan asli di bawah [[relasi ekuivalensi]]
:{{math|(''a'', ''b'') ~ (''c'', ''d'')}} jika dan hanya jika {{math|1=''a'' + ''d'' = ''b'' + ''c''}}.
Kelas ekuivalensi dari {{math|(''a'', ''b'')}} berisi {{math|(''a'' – ''b'', 0)}} jika {{math |''a'' ≥ ''b''}}, atau {{math|(0, ''b'' – ''a'')}}. Jika {{mvar|n}} adalah bilangan asli, yang menyatakan {{math|+''n''}} kelas ekuivalen dari {{math|(''n'', 0)}}, dan dengan {{math|–''n''}} kelas ekuivalen dari {{math|(0, ''n'')}}. Hal ini memungkinkan mengidentifikasi bilangan asli {{mvar|n}} dengan kelas ekivalen {{math|+''n''}}.
Penambahan pasangan terurut dilakukan berdasarkan komponen:
:<math>
(a, b)+(c, d)=(a+c,b+d).</math>
Perhitungan langsung menunjukkan bahwa kelas ekuivalen dari hasil hanya bergantung pada kelas ekuivalen dari penyebut, dan dengan demikian ini mendefinisikan penambahan kelas ekuivalen, yaitu bilangan bulat.<ref>Enderton p. 92</ref> Perhitungan langsung lainnya menunjukkan bahwa penambahan ini sama dengan definisi kasus di atas.
Cara mendefinisikan bilangan bulat sebagai kelas ekuivalen dari pasangan bilangan asli, dapat digunakan untuk menyematkan ke dalam [[grup (matematika)|grup]] komutatif [[semigrup]] dengan [[sifat pembatalan]]. Di sini, semigrup dibentuk oleh bilangan asli dan grup adalah grup aditif bilangan bulat. Bilangan rasional dibangun dengan cara yang sama, dengan mengambil sebagai semigrup bilangan bulat bukan nol dengan perkalian.
Konstruksi ini juga telah digeneralisasikan dengan nama [[grup Grothendieck]] untuk kasus setiap semigrup komutatif. Tanpa sifat pembatalan [[homomorfisme semigrup]] dari semigrup ke grup ini adalah non-injektif. Awalnya, "grup Grothendieck", hasil konstruksi ini diterapkan pada kelas ekivalensi di bawah isomorfisme objek dari [[kategori Abelian]], dengan [[jumlah langsung]] sebagai operasi semigrup.
=== Bilangan rasional (pecahan) ===
| |||