Penambahan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 267:
Komutatifitas dan asosiatifitas penjumlahan rasional adalah konsekuensi mudah dari hukum aritmetika bilangan bulat.<ref>Verifikasi dilakukan di Enderton hal. 104 dan membuat sketsa untuk bidang umum pecahan di atas ring komutatif di Dummit and Foote hal. 263.</ref> Untuk diskusi yang lebih ketat dan umum, lihat ''[[medan pecahan]]''.
===Bilangan riil===
[[Berkas:AdditionRealDedekind.svg|right|250px|thumb|Menambahkan π<sup>2</sup>/6 dan ''e'' menggunakan potongan rasional Dedekind.]]
{{Further|Konstruksi bilangan riil}}
Konstruksi umum dari himpunan bilangan riil adalah penyelesaian Dedekind dari himpunan bilangan rasional. Bilangan riil didefinisikan sebagai [[potongan Dedekind]] dari rasional: [[himpunan tak kosong]] dari rasional tertutup bawah dan tidak memiliki [[elemen terbesar]]. Jumlah bilangan riil ''a'' dan ''b'' didefinisikan elemen demi elemen:
* Tentukan <math>a+b = \{q+r \mid q\in a, r\in b\}.</math><ref>Enderton hal. 114</ref>
Definisi ini pertama kali diterbitkan, dalam bentuk yang sedikit dimodifikasi, oleh [[Richard Dedekind]] pada tahun 1872.<ref>Ferreirós hal. 135; lihat bagian 6 dari ''[http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html Stetigkeit und irrationale Zahlen] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20051031071536/http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html |date=2005-10-31 }}''.</ref>
Komutatifitas dan asosiatifitas dari penjumlahan riil bersifat langsung; mendefinisikan bilangan riil 0 sebagai himpunan rasional negatif, itu mudah dilihat sebagai identitas tambahan. Mungkin bagian tersulit dari konstruksi yang berkaitan dengan penjumlahan ini adalah definisi invers aditif.<ref>Pendekatan intuitif, membalikkan setiap elemen potongan dan mengambil komplemen, hanya berfungsi untuk bilangan irasional; lihat Enderton hal. 117 untuk detailnya.</ref>
[[Berkas:AdditionRealCauchy.svg|right|250px|thumb|Menjumlahkan π<sup>2</sup>/6 dan ''e'' menggunakan deret rasional Cauchy.]]
Sayangnya, menangani perkalian potongan Dedekind adalah proses kasus per kasus yang memakan waktu yang mirip dengan penambahan bilangan bulat bertanda.<ref>Schubert, E. Thomas, Phillip J. Windley, dan James Alves-Foss. "Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop, volume 971 dari." ''Catatan Kuliah di Ilmu Komputer'' (1995).</ref> Pendekatan lain adalah penyelesaian metrik dari bilangan rasional. Bilangan riil pada dasarnya didefinisikan sebagai limit dari [[urutan Cauchy]] dari rasional, lim ''a''<sub>''n''</sub>. Penambahan didefinisikan istilah demi istilah:
* Define <math>\lim_na_n+\lim_nb_n = \lim_n(a_n+b_n).</math><ref>Konstruksi buku teks biasanya tidak begitu angkuh dengan simbol "lim"; lihat Burrill (p. 138) untuk pengembangan penjumlahan yang lebih cermat dan berlarut-larut dengan barisan Cauchy.</ref>
Definisi ini pertama kali diterbitkan oleh [[Georg Cantor]], juga pada tahun 1872, meskipun formalismenya sedikit berbeda.<ref>Ferreirós hal. 128</ref>
Apabila membuktikan bahwa operasi ini terdefinisi dengan baik, berurusan dengan urutan ko-Cauchy. Setelah tugas itu selesai, semua sifat-sifat penjumlahan riil segera mengikuti sifat-sifat bilangan rasional. Selanjutnya, operasi aritmetika lainnya, termasuk perkalian, memiliki definisi analog yang langsung.<ref>Burrill hal. 140</ref>
=== Bilangan kompleks ===
| |||