|
Akar digunakan untuk menentukan [[radius konvergensi]] dari [[deret pangkat]] dengan [[uji akar]]. Akar ke-{{mvar|n}} dari 1 disebut [[akar satuan]] dan memainkan peran mendasar dalam berbagai bidang matematika, seperti [[teori bilangan]], [[teori persamaan]], dan [[transformasi Fourier]].
==HistorySejarah==
{{Main article|SquareAkar rootkuadrat#HistorySejarah|CubeAkar rootkubus#HistorySejarah}}
Istilah kuno untuk operasi pengambilan akar ''n'' adalah ''radikasi''.<ref>{{cite web|url=https://lektur.id/arti-radication/|title=Arti Radikasi|website=www.lektur.id.com}}</ref>
[[Berkas:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|300px|<center>Вавилонская табличка (около 1800—1600 г. до н. э.) с вычислением <math>\sqrt{2} \approx 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3</math><br> <math>= 1{,}41421296\dots</math></center>]]
Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах [[Вавилонская математика|вавилонских математиков]] (о достижениях древнего Египта в этом отношении ничего не известно). Среди таких задач{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, С. 42—46}}:
* Применение [[Теорема Пифагора|теоремы Пифагора]] для нахождения стороны [[Прямоугольный треугольник|прямоугольного треугольника]] по известным двум другим сторонам.
* Нахождение стороны [[квадрат]]а, площадь которого задана.
* Решение [[Квадратное уравнение|квадратных уравнений]].
Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) разработали для извлечения квадратного корня особый численный метод. Начальное приближение для <math>\sqrt{a}</math> рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа <math>n</math>. Представив подкоренное выражение в виде: <math>a=n^2+r</math>, получаем: <math>x_0=n+\frac{r}{2n}</math>, затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий [[Метод Ньютона|методу Ньютона]]{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, С. 47}}:
: <math>x_{n+1}=\frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ </math>
Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для <math>\sqrt{5}</math>, например, <math>a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_0=\frac{9}{4} = 2{,}25,</math> и мы получаем последовательность приближений:
: <math> x_1=\frac{161}{72} = 2{,}23611;\; x_2=\frac{51841}{23184} = 2{,}2360679779</math>
В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.
Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской [[Математика в девяти книгах|«''Математике в девяти книгах''»]]{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, С. 169—171}}. Древние греки сделали важное открытие: <math>\sqrt{2}</math> — [[иррациональное число]]. Детальное исследование, выполненное [[Теэтет Афинский|Теэтетом Афинским]] (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально<ref>{{книга|автор=Башмакова И. Г.|заглавие=Становление алгебры (из истории математических идей)|место=М.|издательство=Знание|год=1979|серия=Новое в жизни, науке, технике. Математика, кибернетика, № 9|страницы=23}}</ref>.
Греки сформулировали проблему [[Удвоение куба|удвоения куба]], которая сводилась к построению кубического корня [[Построение с помощью циркуля и линейки|с помощью циркуля и линейки]]. Проблема оказалась неразрешимой. Численные алгоритмы извлечения кубического корня опубликовали [[Герон]] (в трактате «''Метрика''», I век н. э.) и индийский математик [[Ариабхата I]] (V век)<ref>{{статья|автор=Abhishek Parakh.|заглавие=Ariabhata's root extraction methods|ссылка=http://cs.okstate.edu/~parakh/okstate_page/Aryabhatas_Root_Extraction_Methods_IJHS.pdf|издание=Indian Journal of History of Science|год=2007|выпуск=42.2|страницы=149—161|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100609142233/http://cs.okstate.edu/%7Eparakh/okstate_page/Aryabhatas_Root_Extraction_Methods_IJHS.pdf|archivedate=2010-06-09}}</ref>.
Алгоритмы извлечения корней любой степени из целого числа, разработанные [[История математики в Индии|индийскими]] и [[Математика исламского средневековья|исламскими]] математиками, были усовершенствованы в средневековой Европе. [[Орем, Николай|Николай Орем]] (XIV век) впервые истолковал{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, С. 275—276}} корень <math>n</math>-й степени как возведение в степень <math>\frac{1}{n}</math>.
После появления [[Формула Кардано|формулы Кардано]] (XVI век) началось применение в математике [[Комплексное число|мнимых чисел]], понимаемых как квадратные корни из отрицательных чисел{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, С. 296—298}}. Основы техники работы с комплексными числами разработал в XVI веке [[Бомбелли, Рафаэль|Рафаэль Бомбелли]], который также предложил оригинальный метод вычисления корней (с помощью [[Непрерывная дробь|цепных дробей]]). Открытие [[Формула Муавра|формулы Муавра]] (1707) показало, что извлечение корня любой степени из комплексного числа всегда возможно и не приводит к новому типу чисел{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том III, С. 56—59}}.
Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]], хотя первые результаты принадлежат [[Эйлер, Леонард|Эйлеру]]{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том III, С. 62}}. Чрезвычайно важным открытием ([[Галуа, Эварист|Галуа]]) стало доказательство того факта, что не все [[алгебраические числа]] (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корня<ref>{{книга |автор=Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). |заглавие=Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей |место=М. |издательство=Наука |том=I |год=1978 |страницы=58—66}}</ref>.
==Definition and notation==
| 