Penambahan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.8.1 |
Tidak ada ringkasan suntingan |
||
Baris 1:
{{Operasi aritmetika}}
[[Berkas:Addition01.svg|ka|jmpl|120px|3 + 2 = 5 dengan [[apel]] pilihan paling populer dalam buku cetak<ref>From Enderton (p.138): "...select two sets ''K'' and ''L'' with card ''K'' = 2 and card ''L'' = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."</ref>]]
'''Penambahan''' (disebut juga '''penjumlahan''', sering ditandai dengan [[Tanda plus dan minus|tanda plus]] "+") adalah salah satu dari empat [[operasi (matematika)|operasi]] [[aritmetika]] dasar. Penjumlahan merupakan penambahan sekelompok [[bilangan]] atau lebih menjadi suatu bilangan yang disebut ''jumlah''. Misalnya di gambar di samping, terdapat tiga apel di sisi kiri dan dua apel di sisi kanan, menghasilkan jumlah lima apel. Dalam simbol matematika, ini dilambangkan "{{nowrap|1=3 + 2 = 5}}", disebut "3 di''tambah'' 2 [[kesamaan (matematika)|sama dengan]] 5".
Selain untuk menghitung jumlah benda, penambahan bisa didefinisikan dan digunakan untuk menghitung objek abstrak berupa [[bilangan]], di antaranya [[bilangan bulat]], [[bilangan real]], dan [[bilangan kompleks]]. Dalam cabang matematika lain yang disebut [[aljabar]], penambahan bisa digunakan untuk objek-objek abstrak lainnya seperti [[vektor]] dan [[matriks (matematika)|matriks]].
Penambahan memiliki beberapa sifat penting. Penambahan bersifat [[sifat komutatif|komutatif]], yang berarti urutan bilangan yang ditambahkan tidak berpengaruh, dan bersifat [[sifat asosiatif|asosiatif]], yang berarti jika terdapat beberapa operasi penambahan maka urutan penambahan yang dikerjakan terlebih dahulu tidak berpengaruh. Menambahkan [[0 (bilangan)|0]] tidak mengubah bilangan yang ditambah. Penambahan juga memiliki aturan-aturan yang terkait dengan operasi [[pengurangan]] dan [[perkalian]].
Baris 17:
[[Berkas:AdditionVertical.svg|right|thumb|Penjumlahan kolom bilangan pada kolom akan ditambahkan, dengan penjumlahan ditulis di bawah [[garis bawah]] bilangan.]]
Ada pula situasi
* Bilangan bulat dengan [[pecahan (matematika)|pecahan]] menunjukkan jumlah keduanya, yang disebut ''bilangan campuran''.<ref>Devine et al. p. 263</ref> Sebagai contoh, <br />{{spaces|6}}3½ = 3 + ½ = 3.5.<br />Notasi ini dapat membingungkan, karena sebagian besar konteks lain, [[wikt:jukstaposisi|
Jumlah dari sebuah [[deret (matematika)|deret]] dari bilangan terkait dapat diekspresikan melalui [[notasi sigma kapital]] yang secara kompak menunjukkan [[iterasi]]. Sebagai contoh,
Baris 31:
[[Berkas:AdditionNombryng.svg|left|thumb|Ilustrasi yang digambar ulang oleh ''The Art of Nombryng'', salah satu teks aritmetika dalam bahasa Inggris pertama, pada abad ke-15.<ref>Karpinski pp. 56–57, reproduced on p. 104</ref>]]
[[Tanda plus dan minus|Tanda plus]] "+" ([[Unicode]]:U+002B; [[ASCII]]: <code>&#43;</code>) adalah singkatan dari kata Latin ''et'', yang berarti "dan".<ref>{{cite book |last=Cajori |first=Florian |title=A History of Mathematical Notations, Vol. 1 |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.200372 |year=1928 |publisher=The Open Court Company, Publishers |chapter=Asal dan arti dari tanda + dan -}}</ref> Muncul dalam karya matematika yang berasal dari setidaknya 1489.<ref name="OED">{{OED|plus}}</ref>
== Interpretasi ==
Baris 41:
* Ketika dua atau lebih koleksi terputus digabungkan menjadi satu koleksi, jumlah objek dalam satu koleksi adalah jumlah dari jumlah objek dalam koleksi asli.
Interpretasi ini mudah untuk divisualisasikan, dengan sedikit bahaya ambiguitas. Dalam matematika tingkat tinggi (untuk definisi ketat yang diilhaminya, lihat {{Section link||Bilangan asli}}
Salah satu perbaikan yang mungkin dilakukan adalah dengan mempertimbangkan koleksi objek dengan mudah dibagi, seperti pai atau lebih baik lagi, batang tersegmentasi.<ref>''Menambahkannya'' (p. 73) membandingkan menambahkan batang pengukur dengan menambahkan himpunan kucing: "Misalnya, inci dapat dibagi lagi menjadi beberapa bagian, yang sulit dibedakan dari keseluruhan, kecuali bahwa inci lebih pendek; sedangkan bagi kucing untuk membaginya menjadi beberapa bagian, dan itu sangat mengubah sifat mereka."</ref> Menggabungkan himpunan segmen, batang dapat digabungkan dari ujung ke ujung, yang menggambarkan konsep tambahan lainnya: menambahkan bukan batang tetapi panjang batang.
Baris 74:
Ketika menambahkan [[0 (bilangan)|nol]] dengan suatu bilangan apapun, hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut; nol adalah [[elemen identitas]] dari penambahan. Dalam simbol matematika, untuk ''x'' apapun,
:''x'' + 0 = 0 + ''x'' = ''x''.
Hukum ini pertama dikenali dalam ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' dari [[Brahmagupta]] pada tahun 628,
=== Elemen invers ===
:Setiap bilangan ''x'', penjumlahan, memiliki '''[[
===Penerus ===
Baris 87:
== Cara penambahan ==
=== Kemampuan bawaan ===
Studi perkembangan matematika yang dimulai sekitar tahun 1980-an telah mengeksploitasi fenomena [[pembiasaan]]: [[
Bahkan beberapa hewan bukan manusia menunjukkan kemampuan terbatas untuk menambah, terutama [[primata]]. Dalam percobaan tahun 1995 meniru hasil Wynn tahun 1992 (tetapi menggunakan [[terong]] sebagai pengganti boneka), [[monyet rhesus]] dan [[
=== Pembelajaran masa kecil ===
Baris 169:
4 9 . 4 4
==== Notasi
{{main|Notasi ilmiah#Operasi dasar}}
Pada [[notasi ilmiah]], bilangan ditulis dalam bentuk <math>x=a\times10^{b}</math>, dimana <math> a </math> adalah signifikan dan <math>10^{b}</math> adalah bagian eksponensial. Penambahan membutuhkan dua angka dalam notasi ilmiah untuk direpresentasikan menggunakan bagian eksponensial yang sama, sehingga dua signifikansi dapat dengan mudah ditambahkan.
Baris 199:
===Komputer===
[[Berkas:Opampsumming2.svg|right|frame|Penambahan dengan op-amp. Lihat [[Aplikasi penguat operasional#Penguat penjumlahan|Penguat penjumlahan]] untuk detailnya.]]
[[Komputer analog]] bekerja secara langsung dengan besaran fisis, sehingga mekanisme penjumlahannya bergantung pada bentuk penjumlahan. Sebuah penambah mekanis mungkin mewakili dua tambahan sebagai posisi blok geser, dalam hal ini mereka dapat ditambahkan dengan [[
Penjumlahan juga merupakan dasar pengoperasian [[komputer|komputer digital]], dimana efisiensi penjumlahan, khususnya mekanisme [[penerus (aritmetika)|penerus]], merupakan batasan penting untuk kinerja keseluruhan.
Baris 206:
[[Swipoa]], juga disebut bingkai penghitungan, adalah alat hitung yang digunakan berabad-abad sebelum penerapan sistem angka modern tertulis dan masih banyak digunakan oleh pedagang, pedagang, dan juru tulis di [[Asia]], [[Afrika]], dan di tempat lain; ia ditemukan setidaknya 2700–2300 SM, ketika digunakan di [[Sumer]].<ref>{{cite book |last=Ifrah |first=Georges |year=2001 |title=The Universal History of Computing: From the Abacus to the Quantum Computer |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |location=New York |isbn=978-0-471-39671-0 |url=https://archive.org/details/unset0000unse_w3q2 }} hal. 11</ref>
[[Blaise Pascal]] menemukan kalkulator mekanik pada tahun 1642;<ref name="inventor">[[Penambahan#MARG|Jean Marguin]], hal. 48 (1994); Mengutip [[Penambahan#TATON63|René Taton]] (1963)</ref> ia adalah
[[Berkas:Full-adder.svg|thumb|"[[Penambah (elektronik)|Penambahan penuh]]" rangkaian logika yang menambahkan dua digit biner, ''A'' dan ''B'', bersama dengan input penerus ''C<sub>dalam</sub>'', menghasilkan jumlah bit, ''S'', dan hasil penerus, ''C<sub>keluar</sub>''.]]
[[Penambah
<syntaxhighlight lang="c">
// Algoritme iteratif
int
int
while (y != 0) {
x = XOR(x, y); //
y =
}
return x;
}
// Algoritme rekursif
int
return x if (y == 0) else
}
</syntaxhighlight>
Di komputer, jika hasil penjumlahan terlalu besar untuk disimpan, maka terjadi [[
== Penambahan bilangan ==
Baris 252:
* Untuk bilangan bulat ''n'', maka |''n''| menjadi nilai mutlaknya. Misalkan ''a'' dan ''b'' adalah bilangan bulat. Jika ''a'' atau ''b'' adalah nol, perlukan sebagai identitas. Jika ''a'' dan ''b'' keduanya positif, tentukan {{nowrap|1=''a'' + ''b'' = {{!}}''a''{{!}} + {{!}}''b''{{!}}}}. Jika ''a'' dan ''b'' keduanya negatif, tentukan {{nowrap|1=''a'' + ''b'' = −({{!}}''a''{{!}} + {{!}}''b''{{!}})}}. Jika ''a'' dan ''b'' memiliki tanda yang berbeda, tentukan {{nowrap|''a'' + ''b''}} sebagai selisih antara |''a''| dan |''b''|, dengan tanda suku yang nilai absolutnya lebih besar.<ref>K.Smith hal. 234, Sparks dan Rees hal. 66</ref> Sebagai contoh, {{nowrap|1=−6 + 4 = 2}}; karena –6 dan 4 memiliki tanda yang berbeda, nilai absolutnya dikurangi, dan karena nilai absolut suku negatif lebih besar, jawabannya adalah negatif.
Meskipun definisi ini berguna untuk masalah konkret, jumlah kasus yang perlu dipertimbangkan memperumit pembuktian yang tidak perlu. Jadi metode berikut ini biasa digunakan untuk mendefinisikan bilangan bulat. Hal ini didasarkan pada pernyataan bahwa setiap bilangan bulat adalah selisih dari dua bilangan bulat asli dan bahwa dua selisih tersebut, {{math|''a'' – ''b''}}
Jadi, apabila mendefinisikan secara formal bilangan bulat sebagai [[kelas ekuivalensi]] dari [[pasangan terurut]] bilangan asli di bawah [[relasi ekuivalensi]]
:{{math|(''a'', ''b'') ~ (''c'', ''d'')}} jika dan hanya jika {{math|1=''a'' + ''d'' = ''b'' + ''c''}}.
Baris 386:
Dalam bilangan riil dan kompleks, penjumlahan dan perkalian dapat dipertukarkan dengan [[fungsi eksponensial]]:<ref>Rudin hal. 178</ref>
:<math>e^{a+b} = e^a e^b.</math>
Identitas ini memungkinkan perkalian dilakukan dengan melihat [[tabel matematika|tabel]] dari [[logaritma]] dan menghitung penjumlahan dengan tangan; itu juga memungkinkan perkalian pada [[mistar
Bahkan ada lebih banyak generalisasi perkalian daripada penambahan.<ref>Linderholm (hal. 49) mengamati, "Dengan ''perkalian'', berbicara dengan benar, seorang matematikawan dapat berarti apa saja. Dengan ''penambahan'' dia mungkin berarti banyak hal, tetapi tidak begitu beragam seperti yang dia maksud dengan 'perkalian'."</ref> Secara umum, operasi perkalian selalu [[distributif]] melebihi penjumlahan; persyaratan ini diformalkan dalam definisi [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Dalam beberapa konteks, seperti bilangan bulat, distribusi pada penjumlahan dan keberadaan identitas perkalian cukup untuk menentukan operasi perkalian secara unik. Sifat distributif juga memberikan informasi tentang penjumlahan; dengan memperluas produk {{nowrap|(1 + 1)(''a'' + ''b'')}} dalam kedua cara, orang menyimpulkan bahwa penambahan dipaksa menjadi komutatif. Oleh karena itu, penjumlahan gelanggang pada umumnya bersifat komutatif.<ref>Dummit dan Foote hal. 224. Agar argumen ini berhasil, kita masih harus berasumsi bahwa penjumlahan adalah operasi grup dan perkalian itu memiliki identitas.</ref>
[[
===Urutan===
Baris 413:
[[Penjumlahan]] menjelaskan penambahan banyak angka secara arbitrer, biasanya lebih dari dua. Ini mencakup gagasan tentang jumlah satu bilangan, yaitu bilangan itu sendiri, dan [[jumlah kosong]], yaitu [[0 (bilangan)|nol]].<ref>Martin hal. 49</ref> Penjumlahan tak hingga adalah prosedur rumit yang dikenal sebagai [[deret (matematika)|deret]]].<ref>Stewart hal. 8</ref>
[[
[[Integral|Integrasi]] adalah semacam "penjumlahan" pada [[Kontinuum (teori himpunan)|kontinum]], atau lebih tepatnya dan secara umum, pada [[manifold terdiferensiasi]]. Integrasi pada lipatan nol-dimensi direduksi menjadi penjumlahan.
|