Bilangan alef: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) mana sumbernya? |
Tambahan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 1:
{{Tanpa referensi|date=November 2021}}[[Berkas:Aleph0.svg|jmpl|ka|150px|Alef-nol (''aleph-null''), [[bilangan kardinal]] [[tak hingga|tak terhingga]] terkecil]]
'''Bilangan alef''' ({{lang-en|aleph number}}) dalam [[teori himpunan]] (suatu bidang [[matematika]]) adalah suatu urutan bilangan yang digunakan untuk melambangkan [[bilangan kardinal|kardinalitas]] (atau ukuran) dari himpunan tak terhingga (''infinite set''). Dinamakan menurut simbol yang dipakai, yaitu [[abjad Ibrani|huruf Ibrani]] "[[alef]]" (<math>\aleph</math>).{{efn|
Dalam buku matematika lama, huruf alef dicetak terbalik secara tidak sengaja – misalnya, dalam Sierpiński (1958)<ref name=Sierpiński-1958>{{cite book |last=Sierpiński |first= Wacław |year=1958 |title=Cardinal and Ordinal Numbers |title-link=Cardinal and Ordinal Numbers |series=Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne |volume= 34 |publisher=Państwowe Wydawnictwo Naukowe |place=Warsaw, PL |mr=0095787}}
</ref>{{rp|page=402}} huruf alef muncul dengan cara yang benar keatas dan terbalik – sebagian karena matriks [[monotipe]] untuk alef salah dibangun dengan posisi cara yang salah.<ref>
{{cite book
|last1=Swanson |first1=Ellen
|last2=O'Sean |first2=Arlene Ann
|last3=Schleyer |first3=Antoinette Tingley
|year=1999 |orig-year=1979
|edition=updated
|title=Mathematics into type: Copy editing and proofreading of mathematics for editorial assistants and authors
|publisher=[[American Mathematical Society]]
|place=Providence, RI
|isbn=0-8218-0053-1
|mr=0553111
|page=16
}}
</ref>
}}
Kardinalitas [[bilangan asli]] adalah <math>\aleph_0</math> (dibaca "alef-nol" (''aleph-null''), atau kadang kala dalam [[bahasa Inggris]] juga disebut ''aleph-naught'' atau ''aleph-zero''). Kardinalitas berikutnya yang lebih besar adalah "alef-satu" (''aleph-one'') <math>\aleph_1</math>, kemudian <math>\aleph_2</math> dan seterusnya. Jika terus dilanjutkan, dimungkinkan untuk mendefinisikan suatu [[bilangan kardinal]] <math>\aleph_\alpha</math> untuk setiap [[bilangan ordinal]] α, sebagaimana dinyatakan
Konsep ini berasal dari [[Georg Cantor]],<ref>{{cite web
|first=Jeff |last=Miller
|title=Earliest uses of symbols of set theory and logic
|website=jeff560.tripod.com
|url=http://jeff560.tripod.com/set.html
|access-date=2016-05-05
|postscript=;
}} who quotes
{{cite book
|author=Dauben, Joseph Warren
|date=1990
|title=Georg Cantor: His mathematics and philosophy of the infinite
|isbn=9780691024479
|url-access=registration
|url=https://archive.org/details/georgcantorhisma0000daub
|quote=Bilangan barunya layak mendapatkan sesuatu yang unik. ... Tidak ingin menciptakan simbol baru sendiri, ia memilih alef, huruf pertama dari alfabet Ibrani ... alef dapat dianggap mewakili awal yang baru ...
Bilangan alef berbeda dari [[Garis bilangan real dipeluas|tak-hingga]] (∞) yang biasa ditemukan dalam aljabar dan kalkulus. Bilangan alef mengukur ukuran himpunan secara tak-hingga, di sisi lain pada umumnya didefinisikan sebagai [[limit (matematika)|limit]] ekstrim dari [[garis bilangan real]] (diterapkan ke [[fungsi (matematika)|fungsi]] atau [[urutan (matematika)|urutan]] yang "[[deret divergen|divergen]] ke tak hingga" atau "menambah tanpa batas"), atau titik ekstrim dari [[garis bilangan real diperluas]].
▲Konsep ini berasal dari [[Georg Cantor]], yang mendefinisikan pengertian kardinalitas dan menyadari bahwa himpunan tak terhingga dapat mempunyai kardinalitas yang berbeda.
== Alef-nol ==
<math>\aleph_0</math> adalah kardinalitas dari semua [[bilangan asli]], dan merupakan suatu [[bilangan transfinit|"bilangan transfinit" atau "kardinal tak terhingga"]]. Himpunan semua [[bilangan ordinal]] finit, dinamakan '''ω''' atau '''ω<sub>0</sub>''', mempunyai kardinalitas <math>\aleph_0</math>. Suatu himpunan mempunyai kardinalitas <math>\aleph_0</math> [[jika dan hanya jika]] bilangan itu [[:en:countably infinite|terhitung sebagai tak terhingga]], yaitu, ada [[:en:bijection|bijeksi]] (kesesuaian satu lawan satu) di antaranya dan bilangan-bilangan asli. Contoh-contoh himpunan semacam itu adalah:
| |||