Bilangan alef: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tambahan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 42:
== Alef-nol ==
<math>\aleph_0</math> adalah kardinalitas dari semua [[bilangan asli]], dan merupakan suatu [[bilangan transfinit|"bilangan transfinit" atau "kardinal tak
* himpunan semua bilangan [[pangkat dua|kuadrat]], himpunan semua bilangan [[Pangkat tiga|kubik]], himpunan semua bilangan [[eksponen|pangkat empat]], ...
Baris 50:
* himpunan semua [[bilangan bulat]],
* himpunan semua [[bilangan rasional]],
* himpunan semua [[
* himpunan semua [[
* himpunan semua [[
* himpunan semua [[
* himpunan semua [[
:{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}
Jika [[aksioma pilihan terhitung]] (versi yang lebih lemah dari [[aksioma pilihan]]) berlaku, maka <math>\aleph_0</math> lebih kecil dari kardinal tak hingga lainnya.
== Alef-satu ==
<math>\aleph_1</math> adalah kardinalitas dari himpunan semua [[bilangan ordinal]] yang terhitung, disebut '''ω<sub>1</sub>''' atau (kadang-kadang) '''Ω'''. '''ω<sub>1</sub>''' sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu [[:en:uncountable set|himpunan tak terhitung]]. Jadi, <math>\aleph_1</math> berbeda dari <math>\aleph_0</math>. Definisi <math>\aleph_1</math> menyiratkan (dalam ZF, [[:en:Zermelo–Fraenkel set theory|teori himpunan Zermelo–Fraenkel]] ''tanpa'' aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara <math>\aleph_0</math> dan <math>\aleph_1</math>.<!-- If the [[axiom of choice]] (AC) is used, it can be further proved that the class of cardinal numbers is [[totally ordered]], and thus <math>\aleph_1</math> is the second-smallest infinite cardinal number. Using AC we can show one of the most useful properties of the set '''ω<sub>1</sub>''': any countable subset of '''ω<sub>1</sub>''' has an upper bound in '''ω<sub>1</sub>'''. (This follows from the fact that a countable union of countable sets is countable, one of the most common applications of AC.) This fact is analogous to the situation in <math>\aleph_0</math>: every finite set of natural numbers has a maximum which is also a natural number, and [[Union (set theory)#Finite unions|finite unions]] of finite sets are finite.
| |||