Eksponensiasi: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
→‎Terminologi: kuasa diganti menjadi pangkat.
Baris 8:
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#Kuasa dua|basis 2]],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|basis {{sfrac|1|2}}.}}}}
Setiap kurva melewati titik {{math|(0, 1)}} karena setiap bilangan bukan nol kuasapangkat 0 adalah 1. Pada {{math|1=''x'' = 1}}, nilai ''y'' sama dengan basis karena setiap bilangan yang dipangkatkan 1 adalah bilangan itu sendiri.]]
<div class="tright">{{Hasil perhitungan}}</div>
 
Baris 42:
Demikian pula, ekspresi {{math|1=''b''<sup>3</sup> = ''b'' ⋅ ''b'' ⋅ ''b''}} disebut "[[Kubus (aljabar)|kubus]] dari ''b''" atau "''b'' pangkat tiga", karena volume kubus dengan panjang rusuk {{math|''b''}} adalah {{math|''b''<sup>3</sup>}}.
 
Karena itu adalah [[bilangan bulat positif]], eksponen menunjukkan berapa banyak salinan dari basis yang dikalikan bersama. Misalnya, {{math|1=3<sup>5</sup> = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243}}. Basis {{math|3}} muncul {{math|5}} kali dalam perkalian, karena eksponennya adalah {{math|5}}. Maka, {{math|243}} adalah ''kuasapangkat ke-5 dari 3'', atau ''3 terkuasaterpangkat ke-5''.
 
Kata "terkuasa" biasanya dihilangkan, dan terkadang "kuasapangkat" juga, jadi {{math|3<sup>5</sup>}} dapat dibaca "3 ke 5", atau "3 ke 5 ". Oleh karena itu, eksponensial {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} dinyatakan sebagai "''b'' untuk kuasapangkat ''n''", "''b'' untuk kuasapangkat ke-''n''", "''b'' untuk ke-''n''", atau disingkat juga sebagai "''b'' untuk ''n'' ".
 
Rumus dengan eksponensial bertingkat, seperti {{math|3<sup>5<sup>7</sup></sup>}} (yang berarti {{math|3<sup>(5<sup>7</sup>)</sup>}} dan bukan {{math|(3<sup>5</sup>)<sup>7</sup>}}), disebut juga sebagai '''menara pangkat'''.
Baris 65:
 
=== Eksponen nol ===
Menurut definisi, setiap bilangan bukan nol terkuasaterpangkat ke kuasapangkat {{math|0}} adalah {{math|1}}:<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA101 |title=Technical Shop Mathematics |first1=Thomas |last1=Achatz |page=101 |date=2005 |edition=3rd |publisher=Industrial Press |isbn=978-0-8311-3086-2}}</ref><ref name=":1" />
:<math>b^0=1.</math>
 
Baris 74:
Secara intuitif, <math>b^0</math> diartikan sebagai [[darab kosong]] dari salinan {{mvar|b}}. Jadi, persamaan <math>b^0=1</math> adalah kasus khusus dari konvensi umum untuk darab kosong.
 
Kasus {{math|0<sup>0</sup>}} adalah rumit. Dalam konteks dimana kuasapangkat bilangan bulat yang dipertimbangkan, nilai {{math|0}} umumnya ditetapkan ke <math>0^0,</math> namun, jika tidak, pilihannya adalah apakah akan menetapkan nilai, dan nilai apa yang akan ditetapkan mungkin bergantung pada konteks. <div class="rellink boilerplate seealso">Untuk detail selengkapnya, lihat [[Nol ke kuasa nol|Nol ke pangkat nol]].</div>
 
===Eksponen negatif===
Baris 99:
:<math>\left(b^p\right)^q = b^{p q} .</math>
 
===Kuasapangkat jumlah===
Kuasapangkat jumlah biasanya dihitung dari kuasapangkat penjumlahan dengan [[rumus binomial]]
:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math>
 
Baris 134:
 
===Basis tertentu===
===={{anchor|Basis 10}}Kuasapangkat sepuluh====
{{see also|Notasi ilmiah}}
{{main|Kuasa 10}}
Dalam sistem bilangan basis sepuluh ([[desimal]]), kuasapangkat bilangan bulat {{math|10}} ditulis sebagai digit {{math|1}} diikuti atau didahului oleh sejumlah nol yang ditentukan oleh tanda dan besaran eksponen. Misalnya, {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}} dan {{math|1={{val|e=-4}} = {{val|0,0001}}}}.
 
Eksponen dengan basis {{math|[[10 (bilangan)|10]]}} digunakan dalam [[notasi ilmiah]] untuk menyatakan bilangan besar atau kecil. Misalnya, {{val|299792458|u=m/s}} ([[kecepatan cahaya]] dalam ruang hampa), dalam [[meter per detik]]) dapat ditulis sebagai {{val|2,99792458|e=8|u=m/s}} dan kemudian [[perkiraan]] sebagai {{val|2,998|e=8|u=m/s}}.
 
[[Awalan SI]] berdasarkan kuasapangkat {{math|10}} yang juga digunakan untuk menggambarkan jumlah kecil atau besar. Misalnya, awalan [[Kilo-|kilo]] berarti {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}}, jadi satu kilometer adalah {{val|1000|u=meter}}.
 
===={{anchor|Basis 2}}Kuasapangkat dua ====
{{main|Kuasa dua}}
Kuasapangkat negatif pertama {{math|2}} biasanya digunakan, dan memiliki nama khusus, misalnya: ''[[Satu setengah|setengah]]'' dan ''[[4 (angka)|kuarterner]]''.
 
Kuasapangkat {{math|2}} muncul dalam [[teori himpunan]], karena himpunan dengan anggota {{math|''n''}} memiliki [[himpunan kuasa|himpunan pangkat]], himpunan dari semua [[himpunan bagian]]-nya, yang memiliki anggota {{math|2<sup>''n''</sup>}}.
 
Kuasapangkat bilangan bulat {{math|2}} penting dalam [[ilmu komputer]]. Bilangan bulat positif kuasapangkat {{math|2<sup>''n''</sup>}} memberikan jumlah bilangan untuk [[bit]] {{math|''n''}} bilangan bulat [[bilangan biner]]; misalnya, [[bita]] mengambil nilai {{math|1=2<sup>8</sup> = 256}} yang berbeda. [[Sistem bilangan biner]] menyatakan bilangan sebagai jumlah dari kuasapangkat {{math|2}}, dan menyatakannya sebagai urutan {{math|0}} dan {{math|1}}, dipisahkan oleh [[titik biner]], dimana {{math|1}} menunjukkan kuasapangkat {{math|2}} yang muncul dalam penjumlahan; eksponen ditentukan oleh tempat {{math|1}} ini: eksponen nonnegatif adalah kuasapangkat {{math|1}} sebelah kiri titik (mulai dari {{math|0}}), dan eksponen negatif ditentukan oleh peringkat sebelah kanan titik.
 
====Kuasapangkat satu====
Kuasapangkat satu adalah semua satu-satunya: {{math|1=1<sup>''n''</sup> = 1}}.
 
====Kuasapangkat nol====
Jika eksponen {{mvar|n}} positif ({{math|''n'' > 0}}), kuasapangkat ke-{{mvar|n}} dari nol adalah nol: {{math|1=0<sup>''n''</sup> = 0}}.
 
Jikalau eksponen {{mvar|n}} negatif ({{math|''n'' < 0}}), kuasapangkat ke-{{mvar|n}} dari nol {{math|0<sup>'' n''</sup>}} tidak ditentukan, maka dari itu harus sama dengan <math>1/0^{-n}</math> dengan {{math|−''n'' > 0}}, dan ini sebagai menjadi <math>1/0</math>.
 
Ekspresi {{math|0<sup>0</sup>}} didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisikan (''lihat [[Nol untuk kuasa nol|Nol untuk pangkat nol]]'').
 
====Kuasapangkat negatif satu====
Jika {{math|''n''}} adalah bilangan bulat genap, maka {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = 1}}.
 
Jikalau {{math|''n''}} adalah bilangan bulat ganjil, maka nilainya adalah {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = −1}}.
 
Oleh karena itu, kuasapangkat {{math|−1}} berguna untuk menyatakan sebagai [[urutan]] bergantian. Untuk diskusi serupa tentang kuasapangkat bilangan kompleks {{math|''i''}}, lihat {{section link||Kuasa bilangan kompleks}}.
 
===Eksponen besar===
[[Limit barisan]] kuasapangkat dari bilangan besar dari satu divergen; dengan kata lain, barisan tersebut terikat tanpa batas:
:{{math|''b''<sup>''n''</sup> → ∞}} sebagai {{math|''n'' → ∞}} jika {{math|''b'' > 1}}
 
Apabila dibaca sebagai "''b'' kuasapangkat ''n'' cenderung [[garis bilangan real diperluas|+∞]] sebagai ''n'' cenderung tak hingga ketika ''b'' memiliki nilai besar daripada satu".
 
Kuasapangkat suatu bilangan dengan [[nilai absolut]] kurang dari satu cenderung nol:
:{{math|''b''<sup>''n''</sup> → 0}} sebagai {{math|''n'' → ∞}} jika {{math|{{abs|''b''}} < 1}}
 
Setiap kuasapangkat satu tetap satu:
:{{math|1=''b''<sup>''n''</sup> = 1}} untuk semua {{math|''n''}} jika {{math|1=''b'' = 1}}
 
Kuasapangkat {{math|–1}} berganti antara {{math|1}} dan {{math|–1}} sebagai {{math|''n''}} berganti antara genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan {{math|''n''}}.
 
Jika {{math|''b'' < –1}}, {{math|1=''b''<sup>''n''</sup>}}, berganti sebagai bilangan positif dan negatif besar dan {{math|''n''}} berganti sebagai genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan {{math|''n''}}.
Baris 191:
Limit lain, khususnya ekspresi yang menggunakan [[bentuk antara]], dijelaskan dalam {{section link||Kuasa limit}} dibawah.
 
===Fungsi kuasapangkat===
[[Berkas:Potenssi 1 3 5.svg|thumb|left|Fungsi kuasapangkat untuk <math>n=1,3,5</math>]]
[[Berkas:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|Fungsi kuasapangkat untuk <math>n=2,4,6</math>]]
 
Fungsi real dari bentuk <math>f(x) = cx^n</math>, dimana <math>c \ne 0</math>, terkadang disebut sebagai fungsi pangkat.{{citation needed|date=November 2017}} Ketika <math>n</math> adalah [[bilangan bulat]] dan <math>n \ge 1</math>, maka terdapat dua keluarga keujudan, yaitu: untuk <math>n</math> genap, dan untuk <math>n</math> ganjil. Secara umum untuk <math>c > 0</math>, bila <math>n</math> genap <math>f(x) = cx^n</math> cenderung ke arah positif [[ketakterhinggaan (matematika)|ketakterhinggaan]] dengan penambahan <math>x</math>, dan juga menuju tak hingga positif dengan turunan <math>x</math>. Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat genap memiliki bentuk umum <math>y=cx^2</math>, yang merata ditengah sebagai tingkatan <math>n</math>.<ref name="Calculus: Early Transcendentals">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=Calculus: Early Transcendentals|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref> Fungsi dengan [[simetri]] {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} seperti ini disebut [[fungsi genap]].
 
Ketika <math>n</math> ganjil, perilaku [[asimptotik]] <math>f(x)</math> berbalik dari <math>x</math> positif ke <math>x</math> negatif. Untuk <math>c > 0</math>, <math>f(x) = cx^n</math> juga cenderung ke arah positif [[ketakterhinggaan (matematika)|ketakterhinggaan]] dengan tingkatan <math>x</math>, tetapi menuju ketakterhinggaan negatif dengan turunan <math>x</math>. Semua grafik dari keluarga fungsi kuasapangkat ganjil memiliki bentuk umum <math>y=cx^3</math>, merata ditengah ketika tingkatan <math>n</math> dan kehilangan semua kerataan di garis lurus untuk <math>n=1</math>. Fungsi dengan simetri seperti ini {{nobr|(<math>f(-x)= -f(x)</math>)}} disebut [[fungsi ganjil]].
 
Untuk <math>c < 0</math>, perilaku asimtotik berlawanan berlaku untuk setiap kasus.<ref name="Calculus: Early Transcendentals"/>
 
===Daftar kuasapangkat bilangan bulat===
{|class="wikitable" style="text-align:right"
! ''n'' !! ''n''<sup>2</sup> !! ''n''<sup>3</sup> !! ''n''<sup>4</sup> !! ''n''<sup>5</sup> !! ''n''<sup>6</sup> !! ''n''<sup>7</sup> !! ''n''<sup>8</sup> !! ''n''<sup>9</sup> !! ''n''<sup>10</sup>
Baris 243:
 
== Eksponen real ==
Untuk bilangan real positif, eksponensial untuk kuasapangkat real dapat didefinisikan dalam dua cara yang setara, baik dengan memperluas kuasapangkat rasional ke real dengan kontinuitas ({{slink||Limit eksponen rasional}}, dibawah), atau dalam hal [[logaritma]] dari basis dan [[fungsi eksponensial]] ({{section link||Kuasa melalui logaritma}}, dibawah). Hasilnya bilangan real positif, dan [[#Identitas dan sifat|identitas dan sifat]] yang ditunjukkan atas untuk eksponen bilangan bulat tetap benar dengan definisi ini untuk eksponen real. Definisi kedua lebih umum digunakan, karena digeneralisasikan secara langsung ke [[bilangan kompleks|kompleks]] eksponen.
 
Di sisi lain, eksponensial ke kuasapangkat real dari bilangan real negatif jauh lebih sulit untuk didefinisikan secara konsisten, karena mungkin non-real dan memiliki beberapa nilai (lihat {{section link||Eksponen real dengan basis negatif}}). Apabila memilih salah satu dari nilai-nilai ini, yang disebut [[nilai utama]], tetapi tidak ada pilihan nilai utama yang identitasnya
:<math>\left(b^r\right)^s = b^{r s}</math>
adalah benar; lihat {{section link||Kegagalan kuasa dan identitas logaritma}}. Oleh karena itu, eksponensial dengan basis yang bukan bilangan real positif umumnya dipandang sebagai [[fungsi multinilai]].
Baris 255:
dimana limitnya diambil alih nilai rasional {{mvar|r}} saja. Limit ini ada untuk setiap {{mvar|b}} positif dan setiap {{mvar|x}} real.
 
Misalnya, jika {{math|1=''x'' = {{pi}}}}, diwakilankan [[desimal tanpa]] {{math|1=''π'' = 3.14159... }} dan [[fungsi monoton|monotonisitas]] dari kuasapangkat rasional digunakan untuk mendapatkan interval dibatasi oleh kuasapangkat rasional sekecil yang diinginkan, dan dilambangkan sebagai <math>b^\pi:</math>
:<math>\left[b^3, b^4\right], \left[b^{3.1}, b^{3.2}\right], \left[b^{3.14}, b^{3.15}\right], \left[b^{3.141}, b^{3.142}\right], \left[b^{3.1415}, b^{3.1416}\right], \left[b^{3.14159}, b^{3.14160}\right], \ldots</math>
Jadi, batas atas dan batas bawah interval membentuk dua [[barisan (matematika)|barisan]] yang memiliki limit yang sama, dilambangkan dengan sebagai <math>b^\pi.</math>
Baris 280:
Karena [[deret (matematika)|deret]] [[deret konvergen|konvergen]] untuk setiap [[bilangan kompleks|kompleks]] nilai {{mvar|x}} dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pula <math>e^z,</math> untuk argumen kompleks {{mvar|z}}. Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.
 
===Kuasapangkat melalui logaritma===
Definisi {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} sebagai fungsi eksponensial didefinisikan {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} untuk setiap bilangan real positif {{mvar|b}}, dalam hal fungsi eksponensial dan [[logaritmik]]. Secara khusus, bahwa [[logaritma natural]] {{math|ln(''x'')}} adalah [[fungsi invers|invers]] dari fungsi eksponensial {{math|''e''<sup> ''x''</sup>}} maka ia memiliki
: <math>b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}</math>
Baris 305:
:<math>b^{x+iy}=b^x b^{iy}=b^x e^{iy\ln b} =b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).</math>
 
==Kuasapangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat==
 
Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-{{mvar|n}}, yaitu, dari eksponen <math>1/n,</math> dimana {{mvar|n}} adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-{{mvar|n}}, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan [[logaritma kompleks]], dan karena itu lebih mudah dipahami.
Baris 372:
Jika <math>w=\frac mn</math> adalah bilangan rasional dengan {{mvar|m}} dan {{mvar|n}} [[bilangan bulat koprima]] dengan <math>n>0,</math> maka <math>z^w</math> memiliki nilai persis {{mvar|n}}. Dalam kasus <math>m=1,</math> nilai-nilai ini sama dengan yang dijelaskan dalam [[#Akar ke-n bilangan kompleks|§akar ke-{{mvar|n}} bilangan kompleks]]. Jika {{mvar|w}} adalah bilangan bulat, maka hanya ada satu nilai yang sesuai dengan {{slink||Eksponen bilangan bulat}}.
 
Kuasapangkat multinilai adalah holomorfik untuk <math>z\ne 0,</math> dalam arti bahwa [[grafik fungsi|grafik]]-nya terdiri dari beberapa lembar yang mendefinisikan setiap fungsi holomorfik pada sekitar setiap titik. Jika variasi {{mvar|z}} terus menerus sepanjang lingkaran pada sekitar {{math|0}}, maka, setelah titik balik, nilai <math>z^w</math> berubah dari lapisan.
 
====Komputasi====
Baris 393:
Dalam kedua contoh, semua nilai <math>z^w</math> memiliki argumen yang sama. Secara umum, ini benar jika dan hanya jika [[bagian real]] dari {{mvar|w}} adalah bilangan bulat.
 
====Kegagalan kuasapangkat dan identitas logaritma====
Beberapa identitas untuk kuasapangkat dan logaritma untuk bilangan real positif akan gagal untuk bilangan kompleks, tidak peduli seberapa kuasapangkat kompleks dan logaritma kompleks didefinisikan ''sebagai fungsi bernilai tunggal''. Misalnya:
 
{{bulleted list
Baris 442:
{{quote|Jika ''b'' adalah bilangan aljabar yang berbeda dari 0 dan 1, dan ''x'' adalah bilangan aljabar irasional, maka semua nilai ''b''<sup>''x''</sup> (banyaknya, tak hingga) adalah [[bilangan transendental|transendental]] (bukan aljabar).}}
 
==Kuasapangkat bilangan bulat dalam aljabar==
Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk [[operasi asosiatif]] apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian.<ref group="nb">Lebih umum, [[asosiasi kuasa]] sudah cukup untuk definisi.</ref> Definisi <math>x^0</math> memerlukan keberadaan [[identitas perkalian]] lebih lanjut.<ref>{{cite book|author-first=Nicolas |author-last=Bourbaki|title=Algèbre|date=1970|publisher=Springer}}, I.2</ref>
 
Baris 473:
Jadi, jika {{mvar|G}} adalah grup, <math>x^n</math> didefinisikan untuk setiap <math>x\in G</math> dan setiap bilangan bulat {{mvar|n}}.
 
Himpunan dari semua kuasapangkat suatu elemen dari grup membentuk [[subgrup]]. Sebuah gruprup (atau subgrup) yang terdiri dari semua kuasapangkat dari elemen tertentu {{mvar|x}} adalah [[grup siklik]] yang dihasilkan oleh {{mvar|x}}. Jika semua kuasapangkat {{mvar|x}} berbeda, grupnya adalah [[isomorfik]] pada [[grup aditif]] <math>\Z</math> dari bilangan bulat. Jika tidak, grup siklik adalah [[grup hingga|hingga]] (memiliki jumlah elemen hingga), dan jumlah elemennya adalah [[urutan (teori grup)|urutan]] dari {{mvar|x}}. Jika urutan {{mvar|x}} adalah {{mvar|n}}, maka <math>x^n=x^0=1,</math> dan grup siklik yang dihasilkan oleh {{mvar|x}} terdiri dari {{mvar|n}} kuasapangkat pertama {{mvar|x}} (mulai dengan acuh tak acuh dari eksponen {{math|0}} atau {{math|1}}).
 
Urutan elemen memainkan peran mendasar dalam [[teori grup]]. Misalnya, urutan suatu elemen dalam grup hingga selalu merupakan pembagi dari jumlah elemen grup tersebut ("urutan" grup). Kemungkinan urutan elemen grup penting dalam studi struktur grup (lihat [[teorema Sylow]]), dan dalam [[klasifikasi grup sederhana hingga]].
Baris 484:
Jika nilradikal direduksi menjadi [[ideal nol]] (yaitu, jika <math>x\neq 0</math> menyatakan <math>x^n\neq 0</math> untuk setiap bilangan bulat positif {{mvar|n}}), ring komutatif dikatakan [[gelanggang tereduksi|tereduksi]]. Gelanggang tereduksi penting dalam [[geometri aljabar]], karena [[gelanggang koordinat]] dari [[himpunan aljabar Affin]] merupakan gelanggang tereduksi.
 
Lebih umum, diberikan ideal {{mvar|I}} dalam gelanggang komutatif {{mvar|R}}, himpunan elemen {{mvar|R}} yang memiliki kuasapangkat {{mvar|I}} adalah ideal, yang disebut [[ideal radikal|radikal]] dari {{mvar|I}}. Nilradikal adalah radikal dari [[zero ideal]]. Sebuah [[ideal radikal]] adalah ideal yang sama dengan radikal-diri. Dalam [[gelanggang polinomial]] <math>k[x_1, \ldots, x_n]</math> atas [[medan (matematika)|medan]] {{mvar|k}}, sebuah ideal adalah radikal jika dan hanya jika itu adalah himpunan semua polinomial yang nol pada himpunan aljabar affin (ini adalah konsekuensi dari [[Hilbertscher Nullstellensatz]]).
 
===Matriks dan operator linear===
Jika ''A'' adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kali ''A'' dengan ''n'' itu sendiri disebut [[kuasa matriks|pangkat matriks]]. Juga <math>A^0</math> didefinisikan sebagai matriks identitas,<ref>Bab 1, Aljabar Linear Dasar, 8E, Howard Anton</ref> dan jika ''A'' adalah invers, maka <math>A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n</math>.
 
Kuasapangkat matriks sering muncul dalam konteks [[sistem dinamik diskret]], dimana matriks ''A'' menyatakan transisi dari vektor keadaan ''x'' dari beberapa sistem ke keadaan berikutnya ''Ax'' dari sistem.<ref>{{citation|first=Gilbert|last=Strang|title=Linear algebra and its applications|publisher=Brooks-Cole|date=1988|edition=3rd}}, Bab 5.</ref> Ini adalah interpretasi standar dari [[rantai Markov]], misalnya, apabila <math>A^2x</math> adalah status sistem setelah dua langkah waktu, dan seterusnya: maka, <math>A^nx</math> adalah status sistem setelah langkah kali ''n''. Matriks kuasapangkat <math>A^n</math> adalah matriks transisi antara keadaan sekarang dan keadaan pada langkah kali ''n'' ke depan. Jadi menghitung kuasapangkat matriks setara dengan memecahkan evolusi sistem dinamis. Dalam banyak kasus, kuasapangkat matriks dihitung dengan menggunakan [[nilai eigen dan vektor eigen]].
 
Selain matriks, [[operator linear]] yang umum juga merupakan eksponen. Contohnya adalah [[turunan]] operator kalkulus, <math>d/dx</math> salah satu operator linear yang melakukan fungsi <math>f(x)</math> untuk menghasilkan fungsi baru, yaitu <math>(d/dx)f(x) = f'(x)</math>. Kuasapangkat ke-''n'' dari operator diferensiasi adalah turunan ke-''n'':
:<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math>
 
Contoh-contoh ini adalah untuk eksponen diskret dari operator linear, tetapi dalam keadaan juga diinginkan untuk mendefinisikan kuasapangkat dari operator tersebut dengan eksponen kontinu. Ini adalah titik awal dari teori matematika [[semigrup-C0|semigrup]].<ref>E. Hille, R. S. Phillips: ''Analisis Fungsional dan Semi-Grup''. Masyarakat Matematika Amerika, 1975.</ref> Sama seperti kuasapangkat matriks komputasi dengan eksponen diskret memecahkan sistem dinamis diskret, begitu pula kuasapangkat matriks komputasi dengan eksponen kontinu memecahkan sistem dengan dinamika kontinu. Contohnya termasuk pendekatan untuk menyelesaikan [[persamaan panas]], [[persamaan Schrödinger]], [[persamaan gelombang]], dan persamaan diferensial parsial lainnya yang termasuk evolusi waktu. Kasus khusus eksponensial operator turunan ke kuasapangkat non-bilangan bulat disebut [[turunan pecahan]], yang bersama dengan [[integral pecahan]], merupakan operasi dasar dari [[kalkulus pecahan]].
 
===Medan hingga===
{{main|Medan hingga}}
Sebuah [[Medan (matematika)|medan]] adalah struktur aljabar dimana perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian didefinisikan dan memenuhi sifat-sifatnya yang sudah dikenal; khususnya, perkaliannya adalah [[asosiatif]], dan setiap elemen bukan nol memiliki [[perkalian invers]]. Ini menyatakan bahwa eksponen dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan dengan baik, kecuali untuk kuasapangkat nonpositif {{math|0}}. Contoh umum adalah [[bilangan kompleks]] dan [[submedan]], [[bilangan rasional]] dan [[bilangan real]] yang telah dibahas sebelumnya dalam artikel ini, dan semua [[himpunan tak hingga|tak hingga]].
 
Sebuah ''medan hingga'' adalah medan dengan elemen [[himpunan hingga|bilangan hingga]]. Jumlah elemen ini adalah [[bilangan prima]] atau [[kuasa prima|pangkat prima]]; yaitu, memiliki bentuk <math>q=p^k,</math> dimana {{mvar|p}} adalah bilangan prima, dan {{mvar|k}} adalah bilangan bulat positif. Untuk setiap {{mvar|q}} tersebut, ada medan dengan elemen {{mvar|q}}. Medan dengan elemen {{mvar|q}} semuanya adalah [[isomorfik]], yang memungkinkan, bekerja seolah-olah hanya ada satu medan dengan elemen {{mvar|q}}, dilambangkan <math>\mathbb F_q.</math>
 
Satu-satunya adalah
Baris 506:
untuk setiap <math>x\in \mathbb F_q.</math>
 
Sebuah [[elemen primitif (medan hingga)|elemen primitif]] di <math>\mathbb F_q</math> adalah elemen {{mvar|g}} seperti pada himpunan {{math|''q'' − 1}} kuasapangkat pertama {{mvar|g}} (yaitu, <math>\{g^1=g, g^2, \ldots, g^{p-1}=g^0=1\}</math>) sama dengan himpunan elemen bukan nol dari <math>\mathbb F_q.</math> Ada <math>\varphi (p-1)</math> elemen primitif dalam <math>\mathbb F_q,</math> dimana <math>\varphi</math> adalah [[fungsi totient Euler]].
 
Dalam <math>\mathbb F_q,</math> identitas [[impian Fresman]]
Baris 515:
& x\mapsto x^p
\end{align}</math>
adalah [[peta linear|linear]] atas <math>\mathbb F_q,</math> dan merupakan [[automorfisme medan]], disebut [[automorfisme Frobenius]]. Jika <math>q=p^k,</math> medan <math>\mathbb F_q</math> memiliki {{mvar|k}} automorfisme, yang merupakan kuasapangkat pertama {{mvar|k}} (antara [[fungsi komposisi|komposisi]]) dari {{mvar|F}}. Dengan kata lain, [[grup Galois]] dari <math>\mathbb F_q</math> adalah [[grup siklik|siklik]] urutan {{mvar|k}}, yang dihasilkan oleh automorfisme Frobenius.
 
[[Pertukaran kunci Diffie–Hellman]] adalah aplikasi eksponensial dalam Medan hingga yang banyak digunakan untuk [[komunikasi aman]]. Ini menggunakan fakta bahwa eksponensial secara komputasi tidak mahal, sedangkan operasi kebalikannya, [[logaritma diskret]], secara komputasi mahal. Lebih tepatnya, jika {{mvar|g}} adalah elemen primitif dalam <math>\mathbb F_q,</math> maka <math>g^e</math> dihitung secara efisien dengan [[eksponensial dari kuadrat]] untuk {{mvar|e}}, bahkan jika {{mvar|q}} besar, sementara tidak ada algoritma yang diketahui memungkinkan pengambilan {{mvar|e}} dari <math>g^e</math> jika nilai {{mvar|q}} adalah besar.
Baris 576:
: <math>S^N \equiv \{f \colon N \to S\}.</math>
 
Ini cocok dengan [[Bilangan kardinal#Eksponen kardinal|eksponen bilangan kardinal]], dalam arti bahwa {{math|1={{abs|''S''<sup>''N''</sup>}} = {{abs|''S''}}<sup>{{abs|''N''}}</sup>}}, dimana {{abs|''X''}} adalah kardinalitas ''X''. Ketika "2" didefinisikan sebagai {{math|{0, 1}}}, maka memiliki {{math|1={{abs|2<sup>''X''</sup>}} = 2<sup>{{abs|''X''}}</sup>}}, dimana 2<sup>''X''</sup>, biasanya dilambangkan dengan '''P'''(''X''), adalah [[himpunan kuasa|himpunan pangkat]] dari ''X''; masing-masing [[himpunan bagian]] ''Y'' dari ''X'' berkorespondensi secara unik dengan fungsi pada ''X'' yang mengambil nilai 1 untuk {{math|''x'' ∈ ''Y''}} dan 0 untuk {{math|''x'' ∉ ''Y''}}.<!-- (Dari sinilah istilah "himpunan kuasa" berasal. Ini membutuhkan sumber) -->
 
===Dalam teori kategori===
{{Main|Kategori tertutup Kartesius}}
Dalam [[kategori tertutup Kartesius]], operasi [[eksponensial (teori kategori)|eksponensial]] digunakan untuk kenaikkan objek arbitrer ke kuasapangkat objek lain. Ini menggeneralisasi [[darab Kartesius]] dalam kategori himpunan. Jika 0 adalah [[objek awal]] dalam kategori tertutup Kartesius, maka [[objek eksponensial]] 0<sup>0</sup> adalah isomorfik ke objek terminal 1.
 
===Dari bilangan kardinal dan ordinal===
Baris 595:
Sama seperti eksponensial bilangan asli dimotivasi oleh perkalian berulang, adalah mendefinisikan operasi berdasarkan eksponensial berulang; operasi ini terkadang disebut [[hiper-4]] atau [[tetrasi]]. Tetrasi-iterasi mengarah ke operasi lain, dan seterusnya, sebuah konsep bernama [[hiperoperasi]]. Urutan operasi ini dinyatakan oleh [[fungsi Ackermann]] dan [[notasi panah atas Knuth]]. Sama seperti eksponensial pertumbuhan cepat daripada perkalian, pertumbuhan cepat dari penambahan, tetrasi adalah pertumbuhan cepat dari eksponensial. Dinilai pada {{math|(3, 3)}}, fungsi penjumlahan, perkalian, eksponensial, dan tetrasi menghasilkan 6, 9, 27, dan {{val|7625597484987}} masing-masing pada ({{math|1== 3<sup>27</sup> = 3<sup>3<sup>3</sup></sup> = <sup>3</sup>3}}).
 
==Limit kuasapangkat==
[[Nol untuk kuasa nol|Nol untuk pangkat nol]] memberikan sejumlah contoh limit yang berbentuk [[bentuk tak tentu]] 0<sup>0</sup>. Limit dalam contoh ini ada, tetapi memiliki nilai yang berbeda, menunjukkan bahwa fungsi dua variabel {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} tidak memiliki limit pada titik {{math|(0, 0)}}. Apabila mempertimbangkan pada titik mana fungsi ini memiliki limit.
 
Lebih tepatnya, perhatikan fungsi {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = ''x''<sup>''y''</sup>}} didefinisikan pada {{math|1=''D'' = {(''x'', ''y'') ∈ '''R'''<sup>2</sup> : ''x'' > 0}.}} Kemudian {{math|''D''}} dilihat sebagai himpunan bagian dari {{math|{{overline|'''R'''}}<sup>2</sup>}} (yaitu, himpunan semua pasangan {{math|(''x'', ''y'')}} dengan {{math|''x''}}, {{math|''y''}} memiliki [[garis bilangan real diperluas]] {{math|1={{overline|'''R'''}} = [−∞, +∞]}}, dengan [[darab topologi]]), yang berisi titik-titik dimana fungsi {{math|''f''}} memiliki limit.
 
Faktanya, {{math|''f''}} memiliki limit di semua [[titik akumulasi]] dari {{math|''D''}}, kecuali {{math|(0, 0)}}, {{math|(+∞, 0)}}, {{math|(1, +∞)}} dan {{math|(1, −∞)}}.<ref>Nicolas Bourbaki, ''Topologie générale'', V.4.2.</ref> Dengan demikian, apabila ini untuk mendefinisikan kuasapangkat {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} dengan kontinuitas {{math|0 ≤ ''x'' ≤ +∞}}, {{math|−∞ ≤ y ≤ +∞}}, kecuali untuk 0<sup>0</sup>, (+∞)<sup>0</sup>, 1<sup>+∞</sup> dan 1<sup>−∞</sup>, yang tetap bentuk tak tentu.
 
Dibawah definisi ini dengan kontinuitas, maka memperoleh:
Baris 608:
* {{math|1=0<sup>''y''</sup> = +∞}} dan {{math|1=(+∞)<sup>''y''</sup> = 0}}, bila {{math|−∞ ≤ ''y'' < 0}}.
 
Kuasapangkat ini diperoleh dengan mengambil limit {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} untuk nilai ''positif'' dari {{math|''x''}}. Metode ini tidak mengizinkan definisi {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} ketika {{math|''x'' < 0}}, karena pasangan {{math|(''x'', ''y'')}} dengan {{math|''x'' < 0}} bukan merupakan titik akumulasi dari {{math|''D''}}.
 
Disisi lain, ketika {{math|''n''}} adalah bilangan bulat, maka kuasapangkat {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} bermakna untuk semua nilai {{math|''x''}}, termasuk yang negatif. Maka, ini membuat definisi {{math|1=0<sup>''n''</sup> = +∞}} yang diperoleh diatas untuk {{math|''n''}} negatif menjadi bermasalah ketika nilainya adalah {{math|''n''}}, karena dalam kasus ini {{math|''x''<sup>''n''</sup> → +∞}} karena {{math|''x''}} cenderung {{math|0}} melalui nilai positif, tetapi bukan nilai negatif.
 
==Komputasi yang efisien dengan eksponen bilangan bulat==
Baris 637:
Rangkaian langkah ini hanya membutuhkan 8 perkalian, bukan 99.
 
Secara umum, jumlah operasi perkalian yang diperlukan untuk menghitung {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} dikurangi menjadi <math>\sharp n +\lfloor \log_{2} n\rfloor -1,</math> dengan menggunakan [[kuasa dengan kuadrat|pangkat dengan kuadrat]], dimana <math>\sharp n</math> menunjukkan jumlah {{math|1}} dalam [[wakilan biner]] dari {{mvar|n}}. Untuk beberapa eksponen (100 tidak termasuk di antaranya), jumlah perkalian dikurangi lebih lanjut dengan menghitung dan menggunakan [[kuasa kaidah-tambahan|pangkat kaidah-tambahan]] minimal. Menemukan barisan perkalian ''minimal'' (kaidah penambahan panjang minimal untuk eksponen) untuk {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} adalah soal yang sulit, yang saat ini tidak ada algoritma efisien yang diketahui (lihat [[Masalah jumlah himpunan bagian]]), tetapi banyak algoritma heuristik yang cukup efisien tersedia.<ref>{{Cite journal | last1 = Gordon | first1 = D. M. | doi = 10.1006/jagm.1997.0913 | title = A Survey of Fast Exponentiation Methods | journal = Journal of Algorithms | volume = 27 | pages = 129–146 | date = 1998 | url = http://www.ccrwest.org/gordon/jalg.pdf | citeseerx = 10.1.1.17.7076 }}</ref> Namun, dalam perhitungan praktis, eksponensial dengan mengkuadratkan cukup efisien, dan jauh lebih mudah diimplementasikan.
 
==Fungsi teriterasi==
Baris 644:
untuk setiap {{mvar|x}} dalam domain {{mvar|f}}.
 
Jika domain suatu fungsi {{mvar|f}} sama dengan kodomainnya, maka ia menyusun fungsi dengan sendiri dalam jumlah waktu yang berubah-ubah, dan ini mendefinisikan kuasapangkat ke-{{mvar|n}} dari fungsi di bawah komposisi, biasanya disebut ''iterasi ke-{{mvar|n}}'' dari fungsi tersebut. Jadi <math>f^n</math> secara umum menunjukkan iterasi ke-{{mvar|n}} dari {{mvar|f}}; misalnya, <math>f^3(x)</math> berarti <math>f(f(f(x))).</math><ref name="Peano_1903"/>
 
Ketika perkalian didefinisikan pada kodomain fungsi, ini mendefinisikan perkalian pada fungsi, [[perkalian sesetitik]], yang menginduksi eksponensial lain. Saat menggunakan [[notasi fungsional]], dua jenis eksponensial umumnya dibedakan dengan menempatkan eksponen dari iterasi fungsional ''sebelum'' tanda kurung yang melampirkan argumen fungsi, dan menempatkan eksponen perkalian sesetitik ''setelah'' tanda kurung. Jadi <math>f^2(x)= f(f(x)),</math> dan <math>f(x)^2= f(x)\cdot f(x).</math> Ketika notasi fungsional tidak digunakan, disambiguasi yang dilakukan dengan menempatkan simbol komposisi sebelum eksponen; misalnya <math>f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,</math> dan <math>f^3=f\cdot f\cdot f.</math> Untuk alasan historis, eksponen dari perkalian berulang ditempatkan sebelum argumen untuk beberapa fungsi tertentu, biasanya [[fungsi trigonometri]]. Jadi, <math>\sin^2 x</math> dan <math>\sin^2(x)</math> berarti keduanya <math>\sin(x)\cdot\sin(x)</math> dan bukan <math>\sin(\sin(x)),</math> yang jarang dipertimbangkan. Secara historis, beberapa varian notasi ini digunakan oleh penulis yang berbeda.<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>