Eksponensiasi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Terminologi: kuasa diganti menjadi pangkat. |
||
Baris 8:
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#Kuasa dua|basis 2]],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|basis {{sfrac|1|2}}.}}}}
Setiap kurva melewati titik {{math|(0, 1)}} karena setiap bilangan bukan nol
<div class="tright">{{Hasil perhitungan}}</div>
Baris 42:
Demikian pula, ekspresi {{math|1=''b''<sup>3</sup> = ''b'' ⋅ ''b'' ⋅ ''b''}} disebut "[[Kubus (aljabar)|kubus]] dari ''b''" atau "''b'' pangkat tiga", karena volume kubus dengan panjang rusuk {{math|''b''}} adalah {{math|''b''<sup>3</sup>}}.
Karena itu adalah [[bilangan bulat positif]], eksponen menunjukkan berapa banyak salinan dari basis yang dikalikan bersama. Misalnya, {{math|1=3<sup>5</sup> = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243}}. Basis {{math|3}} muncul {{math|5}} kali dalam perkalian, karena eksponennya adalah {{math|5}}. Maka, {{math|243}} adalah ''
Kata "terkuasa" biasanya dihilangkan, dan terkadang "
Rumus dengan eksponensial bertingkat, seperti {{math|3<sup>5<sup>7</sup></sup>}} (yang berarti {{math|3<sup>(5<sup>7</sup>)</sup>}} dan bukan {{math|(3<sup>5</sup>)<sup>7</sup>}}), disebut juga sebagai '''menara pangkat'''.
Baris 65:
=== Eksponen nol ===
Menurut definisi, setiap bilangan bukan nol
:<math>b^0=1.</math>
Baris 74:
Secara intuitif, <math>b^0</math> diartikan sebagai [[darab kosong]] dari salinan {{mvar|b}}. Jadi, persamaan <math>b^0=1</math> adalah kasus khusus dari konvensi umum untuk darab kosong.
Kasus {{math|0<sup>0</sup>}} adalah rumit. Dalam konteks dimana
===Eksponen negatif===
Baris 99:
:<math>\left(b^p\right)^q = b^{p q} .</math>
===
:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math>
Baris 134:
===Basis tertentu===
===={{anchor|Basis 10}}
{{see also|Notasi ilmiah}}
{{main|Kuasa 10}}
Dalam sistem bilangan basis sepuluh ([[desimal]]),
Eksponen dengan basis {{math|[[10 (bilangan)|10]]}} digunakan dalam [[notasi ilmiah]] untuk menyatakan bilangan besar atau kecil. Misalnya, {{val|299792458|u=m/s}} ([[kecepatan cahaya]] dalam ruang hampa), dalam [[meter per detik]]) dapat ditulis sebagai {{val|2,99792458|e=8|u=m/s}} dan kemudian [[perkiraan]] sebagai {{val|2,998|e=8|u=m/s}}.
[[Awalan SI]] berdasarkan
===={{anchor|Basis 2}}
{{main|Kuasa dua}}
====
====
Jika eksponen {{mvar|n}} positif ({{math|''n'' > 0}}),
Jikalau eksponen {{mvar|n}} negatif ({{math|''n'' < 0}}),
Ekspresi {{math|0<sup>0</sup>}} didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisikan (''lihat [[Nol untuk kuasa nol|Nol untuk pangkat nol]]'').
====
Jika {{math|''n''}} adalah bilangan bulat genap, maka {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = 1}}.
Jikalau {{math|''n''}} adalah bilangan bulat ganjil, maka nilainya adalah {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = −1}}.
Oleh karena itu,
===Eksponen besar===
[[Limit barisan]]
:{{math|''b''<sup>''n''</sup> → ∞}} sebagai {{math|''n'' → ∞}} jika {{math|''b'' > 1}}
Apabila dibaca sebagai "''b''
:{{math|''b''<sup>''n''</sup> → 0}} sebagai {{math|''n'' → ∞}} jika {{math|{{abs|''b''}} < 1}}
Setiap
:{{math|1=''b''<sup>''n''</sup> = 1}} untuk semua {{math|''n''}} jika {{math|1=''b'' = 1}}
Jika {{math|''b'' < –1}}, {{math|1=''b''<sup>''n''</sup>}}, berganti sebagai bilangan positif dan negatif besar dan {{math|''n''}} berganti sebagai genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan {{math|''n''}}.
Baris 191:
Limit lain, khususnya ekspresi yang menggunakan [[bentuk antara]], dijelaskan dalam {{section link||Kuasa limit}} dibawah.
===Fungsi
[[Berkas:Potenssi 1 3 5.svg|thumb|left|Fungsi
[[Berkas:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|Fungsi
Fungsi real dari bentuk <math>f(x) = cx^n</math>, dimana <math>c \ne 0</math>, terkadang disebut sebagai fungsi pangkat.{{citation needed|date=November 2017}} Ketika <math>n</math> adalah [[bilangan bulat]] dan <math>n \ge 1</math>, maka terdapat dua keluarga keujudan, yaitu: untuk <math>n</math> genap, dan untuk <math>n</math> ganjil. Secara umum untuk <math>c > 0</math>, bila <math>n</math> genap <math>f(x) = cx^n</math> cenderung ke arah positif [[ketakterhinggaan (matematika)|ketakterhinggaan]] dengan penambahan <math>x</math>, dan juga menuju tak hingga positif dengan turunan <math>x</math>. Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat genap memiliki bentuk umum <math>y=cx^2</math>, yang merata ditengah sebagai tingkatan <math>n</math>.<ref name="Calculus: Early Transcendentals">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=Calculus: Early Transcendentals|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref> Fungsi dengan [[simetri]] {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} seperti ini disebut [[fungsi genap]].
Ketika <math>n</math> ganjil, perilaku [[asimptotik]] <math>f(x)</math> berbalik dari <math>x</math> positif ke <math>x</math> negatif. Untuk <math>c > 0</math>, <math>f(x) = cx^n</math> juga cenderung ke arah positif [[ketakterhinggaan (matematika)|ketakterhinggaan]] dengan tingkatan <math>x</math>, tetapi menuju ketakterhinggaan negatif dengan turunan <math>x</math>. Semua grafik dari keluarga fungsi
Untuk <math>c < 0</math>, perilaku asimtotik berlawanan berlaku untuk setiap kasus.<ref name="Calculus: Early Transcendentals"/>
===Daftar
{|class="wikitable" style="text-align:right"
! ''n'' !! ''n''<sup>2</sup> !! ''n''<sup>3</sup> !! ''n''<sup>4</sup> !! ''n''<sup>5</sup> !! ''n''<sup>6</sup> !! ''n''<sup>7</sup> !! ''n''<sup>8</sup> !! ''n''<sup>9</sup> !! ''n''<sup>10</sup>
Baris 243:
== Eksponen real ==
Untuk bilangan real positif, eksponensial untuk
Di sisi lain, eksponensial ke
:<math>\left(b^r\right)^s = b^{r s}</math>
adalah benar; lihat {{section link||Kegagalan kuasa dan identitas logaritma}}. Oleh karena itu, eksponensial dengan basis yang bukan bilangan real positif umumnya dipandang sebagai [[fungsi multinilai]].
Baris 255:
dimana limitnya diambil alih nilai rasional {{mvar|r}} saja. Limit ini ada untuk setiap {{mvar|b}} positif dan setiap {{mvar|x}} real.
Misalnya, jika {{math|1=''x'' = {{pi}}}}, diwakilankan [[desimal tanpa]] {{math|1=''π'' = 3.14159... }} dan [[fungsi monoton|monotonisitas]] dari
:<math>\left[b^3, b^4\right], \left[b^{3.1}, b^{3.2}\right], \left[b^{3.14}, b^{3.15}\right], \left[b^{3.141}, b^{3.142}\right], \left[b^{3.1415}, b^{3.1416}\right], \left[b^{3.14159}, b^{3.14160}\right], \ldots</math>
Jadi, batas atas dan batas bawah interval membentuk dua [[barisan (matematika)|barisan]] yang memiliki limit yang sama, dilambangkan dengan sebagai <math>b^\pi.</math>
Baris 280:
Karena [[deret (matematika)|deret]] [[deret konvergen|konvergen]] untuk setiap [[bilangan kompleks|kompleks]] nilai {{mvar|x}} dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pula <math>e^z,</math> untuk argumen kompleks {{mvar|z}}. Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.
===
Definisi {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} sebagai fungsi eksponensial didefinisikan {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} untuk setiap bilangan real positif {{mvar|b}}, dalam hal fungsi eksponensial dan [[logaritmik]]. Secara khusus, bahwa [[logaritma natural]] {{math|ln(''x'')}} adalah [[fungsi invers|invers]] dari fungsi eksponensial {{math|''e''<sup> ''x''</sup>}} maka ia memiliki
: <math>b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}</math>
Baris 305:
:<math>b^{x+iy}=b^x b^{iy}=b^x e^{iy\ln b} =b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).</math>
==
Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-{{mvar|n}}, yaitu, dari eksponen <math>1/n,</math> dimana {{mvar|n}} adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-{{mvar|n}}, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan [[logaritma kompleks]], dan karena itu lebih mudah dipahami.
Baris 372:
Jika <math>w=\frac mn</math> adalah bilangan rasional dengan {{mvar|m}} dan {{mvar|n}} [[bilangan bulat koprima]] dengan <math>n>0,</math> maka <math>z^w</math> memiliki nilai persis {{mvar|n}}. Dalam kasus <math>m=1,</math> nilai-nilai ini sama dengan yang dijelaskan dalam [[#Akar ke-n bilangan kompleks|§akar ke-{{mvar|n}} bilangan kompleks]]. Jika {{mvar|w}} adalah bilangan bulat, maka hanya ada satu nilai yang sesuai dengan {{slink||Eksponen bilangan bulat}}.
====Komputasi====
Baris 393:
Dalam kedua contoh, semua nilai <math>z^w</math> memiliki argumen yang sama. Secara umum, ini benar jika dan hanya jika [[bagian real]] dari {{mvar|w}} adalah bilangan bulat.
====Kegagalan
Beberapa identitas untuk
{{bulleted list
Baris 442:
{{quote|Jika ''b'' adalah bilangan aljabar yang berbeda dari 0 dan 1, dan ''x'' adalah bilangan aljabar irasional, maka semua nilai ''b''<sup>''x''</sup> (banyaknya, tak hingga) adalah [[bilangan transendental|transendental]] (bukan aljabar).}}
==
Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk [[operasi asosiatif]] apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian.<ref group="nb">Lebih umum, [[asosiasi kuasa]] sudah cukup untuk definisi.</ref> Definisi <math>x^0</math> memerlukan keberadaan [[identitas perkalian]] lebih lanjut.<ref>{{cite book|author-first=Nicolas |author-last=Bourbaki|title=Algèbre|date=1970|publisher=Springer}}, I.2</ref>
Baris 473:
Jadi, jika {{mvar|G}} adalah grup, <math>x^n</math> didefinisikan untuk setiap <math>x\in G</math> dan setiap bilangan bulat {{mvar|n}}.
Himpunan dari semua
Urutan elemen memainkan peran mendasar dalam [[teori grup]]. Misalnya, urutan suatu elemen dalam grup hingga selalu merupakan pembagi dari jumlah elemen grup tersebut ("urutan" grup). Kemungkinan urutan elemen grup penting dalam studi struktur grup (lihat [[teorema Sylow]]), dan dalam [[klasifikasi grup sederhana hingga]].
Baris 484:
Jika nilradikal direduksi menjadi [[ideal nol]] (yaitu, jika <math>x\neq 0</math> menyatakan <math>x^n\neq 0</math> untuk setiap bilangan bulat positif {{mvar|n}}), ring komutatif dikatakan [[gelanggang tereduksi|tereduksi]]. Gelanggang tereduksi penting dalam [[geometri aljabar]], karena [[gelanggang koordinat]] dari [[himpunan aljabar Affin]] merupakan gelanggang tereduksi.
Lebih umum, diberikan ideal {{mvar|I}} dalam gelanggang komutatif {{mvar|R}}, himpunan elemen {{mvar|R}} yang memiliki
===Matriks dan operator linear===
Jika ''A'' adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kali ''A'' dengan ''n'' itu sendiri disebut [[kuasa matriks|pangkat matriks]]. Juga <math>A^0</math> didefinisikan sebagai matriks identitas,<ref>Bab 1, Aljabar Linear Dasar, 8E, Howard Anton</ref> dan jika ''A'' adalah invers, maka <math>A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n</math>.
Selain matriks, [[operator linear]] yang umum juga merupakan eksponen. Contohnya adalah [[turunan]] operator kalkulus, <math>d/dx</math> salah satu operator linear yang melakukan fungsi <math>f(x)</math> untuk menghasilkan fungsi baru, yaitu <math>(d/dx)f(x) = f'(x)</math>.
:<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math>
Contoh-contoh ini adalah untuk eksponen diskret dari operator linear, tetapi dalam keadaan juga diinginkan untuk mendefinisikan
===Medan hingga===
{{main|Medan hingga}}
Sebuah [[Medan (matematika)|medan]] adalah struktur aljabar dimana perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian didefinisikan dan memenuhi sifat-sifatnya yang sudah dikenal; khususnya, perkaliannya adalah [[asosiatif]], dan setiap elemen bukan nol memiliki [[perkalian invers]]. Ini menyatakan bahwa eksponen dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan dengan baik, kecuali untuk
Sebuah ''medan hingga'' adalah medan dengan elemen [[himpunan hingga|bilangan hingga]]. Jumlah elemen ini adalah [[bilangan prima]] atau [[kuasa prima|pangkat prima]]; yaitu, memiliki bentuk <math>q=p^k,</math> dimana {{mvar|p}} adalah bilangan prima, dan {{mvar|k}} adalah bilangan bulat positif. Untuk setiap {{mvar|q}} tersebut, ada medan dengan elemen {{mvar|q}}. Medan dengan elemen {{mvar|q}} semuanya adalah [[isomorfik]], yang memungkinkan, bekerja seolah-olah hanya ada satu medan dengan elemen {{mvar|q}}, dilambangkan <math>\mathbb F_q.</math>
Satu-satunya adalah
Baris 506:
untuk setiap <math>x\in \mathbb F_q.</math>
Sebuah [[elemen primitif (medan hingga)|elemen primitif]] di <math>\mathbb F_q</math> adalah elemen {{mvar|g}} seperti pada himpunan {{math|''q'' − 1}}
Dalam <math>\mathbb F_q,</math> identitas [[impian Fresman]]
Baris 515:
& x\mapsto x^p
\end{align}</math>
adalah [[peta linear|linear]] atas <math>\mathbb F_q,</math> dan merupakan [[automorfisme medan]], disebut [[automorfisme Frobenius]]. Jika <math>q=p^k,</math> medan <math>\mathbb F_q</math> memiliki {{mvar|k}} automorfisme, yang merupakan
[[Pertukaran kunci Diffie–Hellman]] adalah aplikasi eksponensial dalam Medan hingga yang banyak digunakan untuk [[komunikasi aman]]. Ini menggunakan fakta bahwa eksponensial secara komputasi tidak mahal, sedangkan operasi kebalikannya, [[logaritma diskret]], secara komputasi mahal. Lebih tepatnya, jika {{mvar|g}} adalah elemen primitif dalam <math>\mathbb F_q,</math> maka <math>g^e</math> dihitung secara efisien dengan [[eksponensial dari kuadrat]] untuk {{mvar|e}}, bahkan jika {{mvar|q}} besar, sementara tidak ada algoritma yang diketahui memungkinkan pengambilan {{mvar|e}} dari <math>g^e</math> jika nilai {{mvar|q}} adalah besar.
Baris 576:
: <math>S^N \equiv \{f \colon N \to S\}.</math>
Ini cocok dengan [[Bilangan kardinal#Eksponen kardinal|eksponen bilangan kardinal]], dalam arti bahwa {{math|1={{abs|''S''<sup>''N''</sup>}} = {{abs|''S''}}<sup>{{abs|''N''}}</sup>}}, dimana {{abs|''X''}} adalah kardinalitas ''X''. Ketika "2" didefinisikan sebagai {{math|{0, 1}}}, maka memiliki {{math|1={{abs|2<sup>''X''</sup>}} = 2<sup>{{abs|''X''}}</sup>}}, dimana 2<sup>''X''</sup>, biasanya dilambangkan dengan '''P'''(''X''), adalah [[himpunan kuasa|himpunan pangkat]] dari ''X''; masing-masing [[himpunan bagian]] ''Y'' dari ''X'' berkorespondensi secara unik dengan fungsi pada ''X'' yang mengambil nilai 1 untuk {{math|''x'' ∈ ''Y''}} dan 0 untuk {{math|''x'' ∉ ''Y''}}.<!-- (Dari sinilah istilah "himpunan kuasa" berasal. Ini membutuhkan sumber) -->
===Dalam teori kategori===
{{Main|Kategori tertutup Kartesius}}
Dalam [[kategori tertutup Kartesius]], operasi [[eksponensial (teori kategori)|eksponensial]] digunakan untuk kenaikkan objek arbitrer ke
===Dari bilangan kardinal dan ordinal===
Baris 595:
Sama seperti eksponensial bilangan asli dimotivasi oleh perkalian berulang, adalah mendefinisikan operasi berdasarkan eksponensial berulang; operasi ini terkadang disebut [[hiper-4]] atau [[tetrasi]]. Tetrasi-iterasi mengarah ke operasi lain, dan seterusnya, sebuah konsep bernama [[hiperoperasi]]. Urutan operasi ini dinyatakan oleh [[fungsi Ackermann]] dan [[notasi panah atas Knuth]]. Sama seperti eksponensial pertumbuhan cepat daripada perkalian, pertumbuhan cepat dari penambahan, tetrasi adalah pertumbuhan cepat dari eksponensial. Dinilai pada {{math|(3, 3)}}, fungsi penjumlahan, perkalian, eksponensial, dan tetrasi menghasilkan 6, 9, 27, dan {{val|7625597484987}} masing-masing pada ({{math|1== 3<sup>27</sup> = 3<sup>3<sup>3</sup></sup> = <sup>3</sup>3}}).
==Limit
[[Nol untuk kuasa nol|Nol untuk pangkat nol]] memberikan sejumlah contoh limit yang berbentuk [[bentuk tak tentu]] 0<sup>0</sup>. Limit dalam contoh ini ada, tetapi memiliki nilai yang berbeda, menunjukkan bahwa fungsi dua variabel {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} tidak memiliki limit pada titik {{math|(0, 0)}}. Apabila mempertimbangkan pada titik mana fungsi ini memiliki limit.
Lebih tepatnya, perhatikan fungsi {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = ''x''<sup>''y''</sup>}} didefinisikan pada {{math|1=''D'' = {(''x'', ''y'') ∈ '''R'''<sup>2</sup> : ''x'' > 0}.}} Kemudian {{math|''D''}} dilihat sebagai himpunan bagian dari {{math|{{overline|'''R'''}}<sup>2</sup>}} (yaitu, himpunan semua pasangan {{math|(''x'', ''y'')}} dengan {{math|''x''}}, {{math|''y''}} memiliki [[garis bilangan real diperluas]] {{math|1={{overline|'''R'''}} = [−∞, +∞]}}, dengan [[darab topologi]]), yang berisi titik-titik dimana fungsi {{math|''f''}} memiliki limit.
Faktanya, {{math|''f''}} memiliki limit di semua [[titik akumulasi]] dari {{math|''D''}}, kecuali {{math|(0, 0)}}, {{math|(+∞, 0)}}, {{math|(1, +∞)}} dan {{math|(1, −∞)}}.<ref>Nicolas Bourbaki, ''Topologie générale'', V.4.2.</ref> Dengan demikian, apabila ini untuk mendefinisikan
Dibawah definisi ini dengan kontinuitas, maka memperoleh:
Baris 608:
* {{math|1=0<sup>''y''</sup> = +∞}} dan {{math|1=(+∞)<sup>''y''</sup> = 0}}, bila {{math|−∞ ≤ ''y'' < 0}}.
Disisi lain, ketika {{math|''n''}} adalah bilangan bulat, maka
==Komputasi yang efisien dengan eksponen bilangan bulat==
Baris 637:
Rangkaian langkah ini hanya membutuhkan 8 perkalian, bukan 99.
Secara umum, jumlah operasi perkalian yang diperlukan untuk menghitung {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} dikurangi menjadi <math>\sharp n +\lfloor \log_{2} n\rfloor -1,</math> dengan menggunakan [[kuasa dengan kuadrat|pangkat dengan kuadrat]], dimana <math>\sharp n</math> menunjukkan jumlah {{math|1}} dalam [[wakilan biner]] dari {{mvar|n}}. Untuk beberapa eksponen (100 tidak termasuk di antaranya), jumlah perkalian dikurangi lebih lanjut dengan menghitung dan menggunakan [[kuasa kaidah-tambahan|pangkat kaidah-tambahan]] minimal. Menemukan barisan perkalian ''minimal'' (kaidah penambahan panjang minimal untuk eksponen) untuk {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} adalah soal yang sulit, yang saat ini tidak ada algoritma efisien yang diketahui (lihat [[Masalah jumlah himpunan bagian]]), tetapi banyak algoritma heuristik yang cukup efisien tersedia.<ref>{{Cite journal | last1 = Gordon | first1 = D. M. | doi = 10.1006/jagm.1997.0913 | title = A Survey of Fast Exponentiation Methods | journal = Journal of Algorithms | volume = 27 | pages = 129–146 | date = 1998 | url = http://www.ccrwest.org/gordon/jalg.pdf | citeseerx = 10.1.1.17.7076 }}</ref> Namun, dalam perhitungan praktis, eksponensial dengan mengkuadratkan cukup efisien, dan jauh lebih mudah diimplementasikan.
==Fungsi teriterasi==
Baris 644:
untuk setiap {{mvar|x}} dalam domain {{mvar|f}}.
Jika domain suatu fungsi {{mvar|f}} sama dengan kodomainnya, maka ia menyusun fungsi dengan sendiri dalam jumlah waktu yang berubah-ubah, dan ini mendefinisikan
Ketika perkalian didefinisikan pada kodomain fungsi, ini mendefinisikan perkalian pada fungsi, [[perkalian sesetitik]], yang menginduksi eksponensial lain. Saat menggunakan [[notasi fungsional]], dua jenis eksponensial umumnya dibedakan dengan menempatkan eksponen dari iterasi fungsional ''sebelum'' tanda kurung yang melampirkan argumen fungsi, dan menempatkan eksponen perkalian sesetitik ''setelah'' tanda kurung. Jadi <math>f^2(x)= f(f(x)),</math> dan <math>f(x)^2= f(x)\cdot f(x).</math> Ketika notasi fungsional tidak digunakan, disambiguasi yang dilakukan dengan menempatkan simbol komposisi sebelum eksponen; misalnya <math>f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,</math> dan <math>f^3=f\cdot f\cdot f.</math> Untuk alasan historis, eksponen dari perkalian berulang ditempatkan sebelum argumen untuk beberapa fungsi tertentu, biasanya [[fungsi trigonometri]]. Jadi, <math>\sin^2 x</math> dan <math>\sin^2(x)</math> berarti keduanya <math>\sin(x)\cdot\sin(x)</math> dan bukan <math>\sin(\sin(x)),</math> yang jarang dipertimbangkan. Secara historis, beberapa varian notasi ini digunakan oleh penulis yang berbeda.<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>
|