Eksponensiasi: Perbedaan antara revisi

{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#Kuasa dua|basis 2]],}}}}

{{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|basis {{sfrac|1|2}}.}}}}

<div class="tright">{{Hasil perhitungan}}</div>

 

Demikian pula, ekspresi {{math|1=''b''³ = ''b'' ⋅ ''b'' ⋅ ''b''}} disebut "[[Kubus (aljabar)|kubus]] dari ''b''" atau "''b'' pangkat tiga", karena volume kubus dengan panjang rusuk {{math|''b''}} adalah {{math|''b''³}}.

 

 

 

Rumus dengan eksponensial bertingkat, seperti {{math|3^5⁷}} (yang berarti {{math|3^(5⁷)}} dan bukan {{math|(3⁵)⁷}}), disebut juga sebagai '''menara pangkat'''.

 

=== Eksponen nol ===

:<math>b^0=1.</math>

 

Secara intuitif, <math>b^0</math> diartikan sebagai [[darab kosong]] dari salinan {{mvar|b}}. Jadi, persamaan <math>b^0=1</math> adalah kasus khusus dari konvensi umum untuk darab kosong.

 

 

===Eksponen negatif===

:<math>\left(b^p\right)^q = b^{p q} .</math>

 

:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math>

 

 

===Basis tertentu===

{{see also|Notasi ilmiah}}

{{main|Kuasa 10}}

 

Eksponen dengan basis {{math|[[10 (bilangan)|10]]}} digunakan dalam [[notasi ilmiah]] untuk menyatakan bilangan besar atau kecil. Misalnya, {{val|299792458|u=m/s}} ([[kecepatan cahaya]] dalam ruang hampa), dalam [[meter per detik]]) dapat ditulis sebagai {{val|2,99792458|e=8|u=m/s}} dan kemudian [[perkiraan]] sebagai {{val|2,998|e=8|u=m/s}}.

 

 

{{main|Kuasa dua}}

 

 

 

 

 

 

 

Jika {{math|''n''}} adalah bilangan bulat genap, maka {{math|1=(−1)^''n'' = 1}}.

 

Jikalau {{math|''n''}} adalah bilangan bulat ganjil, maka nilainya adalah {{math|1=(−1)^''n'' = −1}}.

 

 

===Eksponen besar===

:{{math|''b''^''n'' → ∞}} sebagai {{math|''n'' → ∞}} jika {{math|''b'' > 1}}

 

 

:{{math|''b''^''n'' → 0}} sebagai {{math|''n'' → ∞}} jika {{math|{{abs|''b''}} < 1}}

 

:{{math|1=''b''^''n'' = 1}} untuk semua {{math|''n''}} jika {{math|1=''b'' = 1}}

 

 

Jika {{math|''b'' < –1}}, {{math|1=''b''^''n''}}, berganti sebagai bilangan positif dan negatif besar dan {{math|''n''}} berganti sebagai genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan {{math|''n''}}.

Limit lain, khususnya ekspresi yang menggunakan [[bentuk antara]], dijelaskan dalam {{section link||Kuasa limit}} dibawah.

 

 

Fungsi real dari bentuk <math>f(x) = cx^n</math>, dimana <math>c \ne 0</math>, terkadang disebut sebagai fungsi pangkat.{{citation needed|date=November 2017}} Ketika <math>n</math> adalah [[bilangan bulat]] dan <math>n \ge 1</math>, maka terdapat dua keluarga keujudan, yaitu: untuk <math>n</math> genap, dan untuk <math>n</math> ganjil. Secara umum untuk <math>c > 0</math>, bila <math>n</math> genap <math>f(x) = cx^n</math> cenderung ke arah positif [[ketakterhinggaan (matematika)|ketakterhinggaan]] dengan penambahan <math>x</math>, dan juga menuju tak hingga positif dengan turunan <math>x</math>. Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat genap memiliki bentuk umum <math>y=cx^2</math>, yang merata ditengah sebagai tingkatan <math>n</math>.<ref name="Calculus: Early Transcendentals">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=Calculus: Early Transcendentals|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref> Fungsi dengan [[simetri]] {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} seperti ini disebut [[fungsi genap]].

 

 

Untuk <math>c < 0</math>, perilaku asimtotik berlawanan berlaku untuk setiap kasus.<ref name="Calculus: Early Transcendentals"/>

 

{|class="wikitable" style="text-align:right"

! ''n'' !! ''n''² !! ''n''³ !! ''n''⁴ !! ''n''⁵ !! ''n''⁶ !! ''n''⁷ !! ''n''⁸ !! ''n''⁹ !! ''n''¹⁰

 

== Eksponen real ==

 

:<math>\left(b^r\right)^s = b^{r s}</math>

adalah benar; lihat {{section link||Kegagalan kuasa dan identitas logaritma}}. Oleh karena itu, eksponensial dengan basis yang bukan bilangan real positif umumnya dipandang sebagai [[fungsi multinilai]].

dimana limitnya diambil alih nilai rasional {{mvar|r}} saja. Limit ini ada untuk setiap {{mvar|b}} positif dan setiap {{mvar|x}} real.

 

:<math>\left[b^3, b^4\right], \left[b^{3.1}, b^{3.2}\right], \left[b^{3.14}, b^{3.15}\right], \left[b^{3.141}, b^{3.142}\right], \left[b^{3.1415}, b^{3.1416}\right], \left[b^{3.14159}, b^{3.14160}\right], \ldots</math>

Jadi, batas atas dan batas bawah interval membentuk dua [[barisan (matematika)|barisan]] yang memiliki limit yang sama, dilambangkan dengan sebagai <math>b^\pi.</math>

Karena [[deret (matematika)|deret]] [[deret konvergen|konvergen]] untuk setiap [[bilangan kompleks|kompleks]] nilai {{mvar|x}} dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pula <math>e^z,</math> untuk argumen kompleks {{mvar|z}}. Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.

 

Definisi {{math|''e''^''x''}} sebagai fungsi eksponensial didefinisikan {{math|''b''^''x''}} untuk setiap bilangan real positif {{mvar|b}}, dalam hal fungsi eksponensial dan [[logaritmik]]. Secara khusus, bahwa [[logaritma natural]] {{math|ln(''x'')}} adalah [[fungsi invers|invers]] dari fungsi eksponensial {{math|''e''^''x''}} maka ia memiliki

: <math>b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}</math>

:<math>b^{x+iy}=b^x b^{iy}=b^x e^{iy\ln b} =b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).</math>

 

 

Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-{{mvar|n}}, yaitu, dari eksponen <math>1/n,</math> dimana {{mvar|n}} adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-{{mvar|n}}, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan [[logaritma kompleks]], dan karena itu lebih mudah dipahami.

Jika <math>w=\frac mn</math> adalah bilangan rasional dengan {{mvar|m}} dan {{mvar|n}} [[bilangan bulat koprima]] dengan <math>n>0,</math> maka <math>z^w</math> memiliki nilai persis {{mvar|n}}. Dalam kasus <math>m=1,</math> nilai-nilai ini sama dengan yang dijelaskan dalam [[#Akar ke-n bilangan kompleks|§akar ke-{{mvar|n}} bilangan kompleks]]. Jika {{mvar|w}} adalah bilangan bulat, maka hanya ada satu nilai yang sesuai dengan {{slink||Eksponen bilangan bulat}}.

 

 

====Komputasi====

Dalam kedua contoh, semua nilai <math>z^w</math> memiliki argumen yang sama. Secara umum, ini benar jika dan hanya jika [[bagian real]] dari {{mvar|w}} adalah bilangan bulat.

 

 

{{bulleted list

{{quote|Jika ''b'' adalah bilangan aljabar yang berbeda dari 0 dan 1, dan ''x'' adalah bilangan aljabar irasional, maka semua nilai ''b''^''x'' (banyaknya, tak hingga) adalah [[bilangan transendental|transendental]] (bukan aljabar).}}

 

Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk [[operasi asosiatif]] apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian.<ref group="nb">Lebih umum, [[asosiasi kuasa]] sudah cukup untuk definisi.</ref> Definisi <math>x^0</math> memerlukan keberadaan [[identitas perkalian]] lebih lanjut.<ref>{{cite book|author-first=Nicolas |author-last=Bourbaki|title=Algèbre|date=1970|publisher=Springer}}, I.2</ref>

 

Jadi, jika {{mvar|G}} adalah grup, <math>x^n</math> didefinisikan untuk setiap <math>x\in G</math> dan setiap bilangan bulat {{mvar|n}}.

 

 

Urutan elemen memainkan peran mendasar dalam [[teori grup]]. Misalnya, urutan suatu elemen dalam grup hingga selalu merupakan pembagi dari jumlah elemen grup tersebut ("urutan" grup). Kemungkinan urutan elemen grup penting dalam studi struktur grup (lihat [[teorema Sylow]]), dan dalam [[klasifikasi grup sederhana hingga]].

Jika nilradikal direduksi menjadi [[ideal nol]] (yaitu, jika <math>x\neq 0</math> menyatakan <math>x^n\neq 0</math> untuk setiap bilangan bulat positif {{mvar|n}}), ring komutatif dikatakan [[gelanggang tereduksi|tereduksi]]. Gelanggang tereduksi penting dalam [[geometri aljabar]], karena [[gelanggang koordinat]] dari [[himpunan aljabar Affin]] merupakan gelanggang tereduksi.

 

 

===Matriks dan operator linear===

 

 

:<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math>

 

 

===Medan hingga===

{{main|Medan hingga}}

 

 

Satu-satunya adalah

untuk setiap <math>x\in \mathbb F_q.</math>

 

 

Dalam <math>\mathbb F_q,</math> identitas [[impian Fresman]]

& x\mapsto x^p

\end{align}</math>

 

[[Pertukaran kunci Diffie–Hellman]] adalah aplikasi eksponensial dalam Medan hingga yang banyak digunakan untuk [[komunikasi aman]]. Ini menggunakan fakta bahwa eksponensial secara komputasi tidak mahal, sedangkan operasi kebalikannya, [[logaritma diskret]], secara komputasi mahal. Lebih tepatnya, jika {{mvar|g}} adalah elemen primitif dalam <math>\mathbb F_q,</math> maka <math>g^e</math> dihitung secara efisien dengan [[eksponensial dari kuadrat]] untuk {{mvar|e}}, bahkan jika {{mvar|q}} besar, sementara tidak ada algoritma yang diketahui memungkinkan pengambilan {{mvar|e}} dari <math>g^e</math> jika nilai {{mvar|q}} adalah besar.

: <math>S^N \equiv \{f \colon N \to S\}.</math>

 

 

===Dalam teori kategori===

{{Main|Kategori tertutup Kartesius}}

 

===Dari bilangan kardinal dan ordinal===

Sama seperti eksponensial bilangan asli dimotivasi oleh perkalian berulang, adalah mendefinisikan operasi berdasarkan eksponensial berulang; operasi ini terkadang disebut [[hiper-4]] atau [[tetrasi]]. Tetrasi-iterasi mengarah ke operasi lain, dan seterusnya, sebuah konsep bernama [[hiperoperasi]]. Urutan operasi ini dinyatakan oleh [[fungsi Ackermann]] dan [[notasi panah atas Knuth]]. Sama seperti eksponensial pertumbuhan cepat daripada perkalian, pertumbuhan cepat dari penambahan, tetrasi adalah pertumbuhan cepat dari eksponensial. Dinilai pada {{math|(3, 3)}}, fungsi penjumlahan, perkalian, eksponensial, dan tetrasi menghasilkan 6, 9, 27, dan {{val|7625597484987}} masing-masing pada ({{math|1== 3²⁷ = 3^3³ = ³3}}).

 

 

Lebih tepatnya, perhatikan fungsi {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = ''x''^''y''}} didefinisikan pada {{math|1=''D'' = {(''x'', ''y'') ∈ '''R'''² : ''x'' > 0}.}} Kemudian {{math|''D''}} dilihat sebagai himpunan bagian dari {{math|{{overline|'''R'''}}²}} (yaitu, himpunan semua pasangan {{math|(''x'', ''y'')}} dengan {{math|''x''}}, {{math|''y''}} memiliki [[garis bilangan real diperluas]] {{math|1={{overline|'''R'''}} = [−∞, +∞]}}, dengan [[darab topologi]]), yang berisi titik-titik dimana fungsi {{math|''f''}} memiliki limit.

 

 

Dibawah definisi ini dengan kontinuitas, maka memperoleh:

* {{math|1=0^''y'' = +∞}} dan {{math|1=(+∞)^''y'' = 0}}, bila {{math|−∞ ≤ ''y'' < 0}}.

 

 

 

==Komputasi yang efisien dengan eksponen bilangan bulat==

Rangkaian langkah ini hanya membutuhkan 8 perkalian, bukan 99.

 

 

==Fungsi teriterasi==

untuk setiap {{mvar|x}} dalam domain {{mvar|f}}.

 

 

Ketika perkalian didefinisikan pada kodomain fungsi, ini mendefinisikan perkalian pada fungsi, [[perkalian sesetitik]], yang menginduksi eksponensial lain. Saat menggunakan [[notasi fungsional]], dua jenis eksponensial umumnya dibedakan dengan menempatkan eksponen dari iterasi fungsional ''sebelum'' tanda kurung yang melampirkan argumen fungsi, dan menempatkan eksponen perkalian sesetitik ''setelah'' tanda kurung. Jadi <math>f^2(x)= f(f(x)),</math> dan <math>f(x)^2= f(x)\cdot f(x).</math> Ketika notasi fungsional tidak digunakan, disambiguasi yang dilakukan dengan menempatkan simbol komposisi sebelum eksponen; misalnya <math>f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,</math> dan <math>f^3=f\cdot f\cdot f.</math> Untuk alasan historis, eksponen dari perkalian berulang ditempatkan sebelum argumen untuk beberapa fungsi tertentu, biasanya [[fungsi trigonometri]]. Jadi, <math>\sin^2 x</math> dan <math>\sin^2(x)</math> berarti keduanya <math>\sin(x)\cdot\sin(x)</math> dan bukan <math>\sin(\sin(x)),</math> yang jarang dipertimbangkan. Secara historis, beberapa varian notasi ini digunakan oleh penulis yang berbeda.<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>