Eksponensiasi: Perbedaan antara revisi

{{nobr|{{legend-line|inline=yes|green solid 2px|[[#KuasaPangkat sepuluh|basis 10]],}}}}

{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#KuasaPangkat dua|basis 2]],}}}}

Kata "terkuasapangkat" biasanyaterkadang dihilangkan, dan terkadang "pangkat" juga, jadi {{math|3⁵}} dapat dibaca "3 ke 5", atau "3 ke 5 ". Oleh karena itu, eksponensialeksponensiasi {{math|''b''^''n''}} dinyatakan sebagai "''b'' untuk pangkat ''n''", "''b'' untuk pangkat ke-''n''", "''b'' untuk ke-''n''", atau disingkat juga sebagai "''b'' untuk ''n'' ".

Kasus {{math|0⁰}} adalah rumit. Dalam konteks dimana pangkat bilangan bulat yang dipertimbangkan, nilai {{math|0}} umumnya ditetapkan ke <math>0^0,</math> namun, jika tidak, pilihannya adalah apakah akan menetapkan nilai, dan nilai apa yang akan ditetapkan mungkin bergantung pada konteks. <div class="rellink boilerplate seealso">Untuk detail selengkapnya, lihat [[Nol ke kuasapangkat nol|Nol ke pangkat nol]].</div>

===={{anchor|Basis 10}}pangkatPangkat sepuluh====

{{main|KuasaPangkat 10}}

===={{anchor|Basis 2}}pangkatPangkat dua ====

{{main|KuasaPangkat dua}}

pangkat {{math|2}} muncul dalam [[teori himpunan]], karena himpunan dengan anggota {{math|''n''}} memiliki [[himpunan kuasa|himpunan pangkat]], himpunan dari semua [[himpunan bagian]]-nya, yang memiliki anggota {{math|2^''n''}}.

Ekspresi {{math|0⁰}} didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisikan (''lihat [[Nol untuk kuasa nol|Nol untuk pangkat nol]]'').

Oleh karena itu, pangkat {{math|−1}} berguna untuk menyatakan sebagai [[urutan]] bergantian. Untuk diskusi serupa tentang pangkat bilangan kompleks {{math|''i''}}, lihat {{section link||KuasaPangkat bilangan kompleks}}.

Limit lain, khususnya ekspresi yang menggunakan [[bentuk antara]], dijelaskan dalam {{section link||KuasaPangkat limit}} dibawah.

Lihat {{slink||Eksponen real dengan basis negatif}} dan {{slink||KuasaPangkat bilangan kompleks}} untuk detail tentang cara menangani masalah ini.

Untuk bilangan real positif, eksponensial untuk pangkat real dapat didefinisikan dalam dua cara yang setara, baik dengan memperluas pangkat rasional ke real dengan kontinuitas ({{slink||Limit eksponen rasional}}, dibawah), atau dalam hal [[logaritma]] dari basis dan [[fungsi eksponensial]] ({{section link||KuasaPangkat melalui logaritma}}, dibawah). Hasilnya bilangan real positif, dan [[#Identitas dan sifat|identitas dan sifat]] yang ditunjukkan atas untuk eksponen bilangan bulat tetap benar dengan definisi ini untuk eksponen real. Definisi kedua lebih umum digunakan, karena digeneralisasikan secara langsung ke [[bilangan kompleks|kompleks]] eksponen.

adalah benar; lihat {{section link||Kegagalan kuasapangkat dan identitas logaritma}}. Oleh karena itu, eksponensial dengan basis yang bukan bilangan real positif umumnya dipandang sebagai [[fungsi multinilai]].

<math DISPLAY=inline>\left(b^z\right)^t</math> tidak didefinisikan, karena {{math|''b''^''z''}} bukan bilangan real. Jika suatu arti diberikan pada eksponen bilangan kompleks (lihat {{slink||KuasaPangkat bilangan kompleks}}, dibawah), secara umum,

# <math>\left(e^{1 + 2\pi i n}\right)^{1 + 2 \pi i n} = e\qquad</math> (mengambil ke-<math>(1 + 2 \pi i n)</math> kuasapangkat kedua sisi)

Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk [[operasi asosiatif]] apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian.<ref group="nb">Lebih umum, [[asosiasi kuasapangkat]] sudah cukup untuk definisi.</ref> Definisi <math>x^0</math> memerlukan keberadaan [[identitas perkalian]] lebih lanjut.<ref>{{cite book|author-first=Nicolas |author-last=Bourbaki|title=Algèbre|date=1970|publisher=Springer}}, I.2</ref>

Jika ''A'' adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kali ''A'' dengan ''n'' itu sendiri disebut [[kuasa matriks|pangkat matriks]]. Juga <math>A^0</math> didefinisikan sebagai matriks identitas,<ref>Bab 1, Aljabar Linear Dasar, 8E, Howard Anton</ref> dan jika ''A'' adalah invers, maka <math>A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n</math>.

Sebuah ''medan hingga'' adalah medan dengan elemen [[himpunan hingga|bilangan hingga]]. Jumlah elemen ini adalah [[bilangan prima]] atau [[kuasa prima|pangkat prima]]; yaitu, memiliki bentuk <math>q=p^k,</math> dimana {{mvar|p}} adalah bilangan prima, dan {{mvar|k}} adalah bilangan bulat positif. Untuk setiap {{mvar|q}} tersebut, ada medan dengan elemen {{mvar|q}}. Medan dengan elemen {{mvar|q}} semuanya adalah [[isomorfik]], yang memungkinkan, bekerja seolah-olah hanya ada satu medan dengan elemen {{mvar|q}}, dilambangkan <math>\mathbb F_q.</math>

Ini cocok dengan [[Bilangan kardinal#Eksponen kardinal|eksponen bilangan kardinal]], dalam arti bahwa {{math|1={{abs|''S''^''N''}} = {{abs|''S''}}^{{{abs|''N''}}}}}, dimana {{abs|''X''}} adalah kardinalitas ''X''. Ketika "2" didefinisikan sebagai {{math|{0, 1}}}, maka memiliki {{math|1={{abs|2^''X''}} = 2^{{{abs|''X''}}}}}, dimana 2^''X'', biasanya dilambangkan dengan '''P'''(''X''), adalah [[himpunan kuasa|himpunan pangkat]] dari ''X''; masing-masing [[himpunan bagian]] ''Y'' dari ''X'' berkorespondensi secara unik dengan fungsi pada ''X'' yang mengambil nilai 1 untuk {{math|''x'' ∈ ''Y''}} dan 0 untuk {{math|''x'' ∉ ''Y''}}.<!-- (Dari sinilah istilah "himpunan kuasa" berasal. Ini membutuhkan sumber) -->

[[Nol untuk kuasa nol|Nol untuk pangkat nol]] memberikan sejumlah contoh limit yang berbentuk [[bentuk tak tentu]] 0⁰. Limit dalam contoh ini ada, tetapi memiliki nilai yang berbeda, menunjukkan bahwa fungsi dua variabel {{math|''x''^''y''}} tidak memiliki limit pada titik {{math|(0, 0)}}. Apabila mempertimbangkan pada titik mana fungsi ini memiliki limit.

Secara umum, jumlah operasi perkalian yang diperlukan untuk menghitung {{math|''b''^''n''}} dikurangi menjadi <math>\sharp n +\lfloor \log_{2} n\rfloor -1,</math> dengan menggunakan [[kuasa dengan kuadrat|pangkat dengan kuadrat]], dimanadengan <math>\sharp n</math> menunjukkan jumlah {{math|1}} dalam [[wakilan biner]] dari {{mvar|n}}. Untuk beberapa eksponen (100 tidak termasuk di antaranya), jumlah perkalian dikurangi lebih lanjut dengan menghitung dan menggunakan [[kuasa kaidah-tambahan|pangkat kaidah-tambahan]] minimal. Menemukan barisan perkalian ''minimal'' (kaidah penambahan panjang minimal untuk eksponen) untuk {{math|''b''^''n''}} adalah soal yang sulit, yang saat ini tidak ada algoritma efisien yang diketahui (lihat [[Masalah jumlah himpunan bagian]]), tetapi banyak algoritma heuristik yang cukup efisien tersedia.<ref>{{Cite journal | last1 = Gordon | first1 = D. M. | doi = 10.1006/jagm.1997.0913 | title = A Survey of Fast Exponentiation Methods | journal = Journal of Algorithms | volume = 27 | pages = 129–146 | date = 1998 | url = http://www.ccrwest.org/gordon/jalg.pdf | citeseerx = 10.1.1.17.7076 }}</ref> Namun, dalam perhitungan praktis, eksponensial dengan mengkuadratkan cukup efisien, dan jauh lebih mudah diimplementasikan.

* [[Nol untuk kuasapangkat nol]]