Matriks uniter: Perbedaan antara revisi

* <math>\mathbf U</math> juga merupakan [[matriks normal]], karena <math>\mathbf U^* \mathbf U = \mathbf U \mathbf U^*</math>.

* Sebagai akibat dari [[teorema spektral]], <math>\mathbf U</math> dapat [[Matriks terdiagonalkan|diagonalkan]]; dengan kata lain, <math>\mathbf U</math> [[Matriks serupa|serupa]] secara uniter dengan suatu [[matriks diagonal]].. Hal ini mengartikan <math>\mathbf U</math> memiliki faktorisasi berbentuk <math>\mathbf {U=VDV}^*</math>, dengan <math>\mathbf V</math> berupa matriks uniter, dan <math>\mathbf D</math> berupa matriks diagonal dan uniter.

* [[Nilai dan vektor eigen|Ruang eigen]] dari <math>\mathbf U</math> bersifat ortogonal.

* <math>\mathbf U</math> dapat ditulis sebagai <math>\mathbf U = e^{i\mathbf H}</math>, dengan <math>e</math> menyatakan [[eksponensiasi matriks]], <math>i</math> adalah unit imajiner, dan <math>\mathbf H</math> berupa [[matriks Hermite]].

 

Matriks <math>\mathbf U</math> juga dapat dituliskan dalam bentuk alternatif berikut:

e^{i\varphi_1} \cos \theta & e^{i\varphi_2} \sin \theta \\

-e^{-i\varphi_2} \sin \theta & e^{-i\varphi_1} \cos \theta \\

yang, dengan memperkenalkan variabel <math>\varphi_1 = \psi + \Delta</math> dan <math>\varphi_1 = \psi - \Delta</math>, akan memiliki faktorisasi berbentuk:

 

e^{i\psi} & 0 \\

0 & e^{-i\psi}

Ekspresi tersebut memperjelas hubungan antara matriks uniter berukuran {{nowrap|2 × 2}} dan [[matriks ortogonal]] dengan sudut {{mvar|θ}}. Bentuk faktorisasi lain adalah<ref>{{Cite journal|last=Führ|first=Hartmut|last2=Rzeszotnik|first2=Ziemowit|year=2018|title=A note on factoring unitary matrices|journal=Linear Algebra and Its Applications|volume=547|pages=32–44|doi=10.1016/j.laa.2018.02.017|issn=0024-3795}}</ref>

 

\cos \alpha & -\sin \alpha \\

\sin \alpha & \cos \alpha \\