|
== Jumlah dan selisih sudut ==
[[Berkas:TrigSumFormula.svg|jmpl|Ilustrasi rumus jumlah sudut melalui geometri.]]Jumlah dan selisih suatu sudut dirumuskan sebagai<ref>{{Cite web|date=2015-10-31|title=7.2: Sum and Difference Identities|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Precalculus/Precalculus_(OpenStax)/07%3A_Trigonometric_Identities_and_Equations/7.02%3A_Sum_and_Difference_Identities|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2021-12-02}}</ref>
:{{NumBlk|::|<math> \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta </math>|{{EquationRef|2.1}}}}
:{{NumBlk|::|<math> \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta </math>|{{EquationRef|2.2}}}}
:{{NumBlk|::|<math> \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} </math>|{{EquationRef|2.3}}}}:{{NumBlk|::|<math> \cot(\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \pm 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha} </math>|{{EquationRef|2.4}}}}Pada rumus-rumus di atas, dapat dibuktikannya secara aljabar dengan cara mengeksploitasikan suatu [[Daftar identitas trigonometri#Refleksi sudut|identitas-identitas sudut komplementer]] tersebut. Secara geometri, diberikan <math>OQA</math> adalah [[segitiga siku-siku]], <math>OQ \bot PQ</math> sehingga <math>OPQ</math> juga merupakan segitiga siku-siku. Gambar garis vertikal dari titik <math>P</math> ke titik <math>B</math>, yang terletak di pertengahan garis <math>OA</math>. Misalkan <math>R</math> adalah titik di garis pertengahan <math>PB</math> (tetapi tidak terletak di pertengahan garis <math>OQ</math> sehingga <math>R</math> bukanlah titik perpotongan pada kedua garis <math>OQ</math> dan <math>PB</math>) sehingga <math>PQR</math> adalah segitiga dengan <math>\angle PRQ</math> adalah siku-siku.
=== Bukti melalui aljabarSinus ===
Ini'''Secara aljabar''', dapat dibuktikan menggunakan sifat <math>\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan <math>\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math>, serta menggunakan (2.2). ▼Pada rumus-rumus di atas, dapat dibuktikannya secara aljabar dengan cara mengeksploitasikan suatu [[Daftar identitas trigonometri#Refleksi sudut|identitas-identitas sudut komplementer]] tersebut.
▲Ini dapat menggunakan sifat <math>\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan <math>\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math>, serta menggunakan (2.2).
:<math>\begin{aligned}
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta- \sin \beta \cos \alpha</math>.
==== Kosinus ====
Lagi'''Secara aljabar''', lagi-lagi, gunakan sifat identitas komplementer, yakni <math>\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan juga memerlukan (2.1).
:<math>\begin{aligned}
Hal yang seruap untuk membuktikan <math>\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta</math>.
==== Tangen ====
Ini'''Secara aljabar''', tidak dapat menggunakan identitas sudut komplementer, melainkan menggunakan (1.4) beserta (2.1) dan (2.2), lalu membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan <math>\cos \alpha \cos \beta</math>.
:<math>\begin{align}
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}</math>.
==== Kotangen ====
Ini dilakukan dengan cara yang serupa, cukup membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan <math>\sin \alpha \sin \beta</math>.
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\cot(\alpha - \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \beta - \cot \alpha}</math>.
===='''Secara Kotangengeometri''',<ref>{{Cite web|title=Proof of cot(A+B) {{!}} cot(x+y) formula in Geometric Method|url=https://www.mathdoubts.com/cot-angle-sum-identity-proof/|website=www.mathdoubts.com|language=en|access-date=2021-12-11}}</ref> ====▼
=== Bukti melalui geometri ===
==== Sinus ====
[[Berkas:TrigSumFormula.svg|jmpl|Ilustrasi rumus jumlah sudut melalui geometri.]]
==== Kosinus ====
==== Tangen ====
▲==== Kotangen<ref>{{Cite web|title=Proof of cot(A+B) {{!}} cot(x+y) formula in Geometric Method|url=https://www.mathdoubts.com/cot-angle-sum-identity-proof/|website=www.mathdoubts.com|language=en|access-date=2021-12-11}}</ref> ====
Misal <math>ABC</math> adalah segitiga siku-siku. Titik <math>I</math> dan <math>J</math> masing-masing berada di garis <math>AB</math> (sebagai hipotenusa) dan <math>BC</math>.(sebagai sisi segitiga) sehingga <math>AJ</math> dan <math>IJ</math> tegak lurus. Begitu pula dengan titik <math>K</math> adalah titik di pertengahan garis <math>AC</math> sehingga <math>JK</math> dan <math>AC</math> juga tegak lurus. Misalkan pula <math>L</math> adalah titik di pertengahan garis <math>JK</math> (tetapi tidak terletak di <math>AJ</math> sehingga <math>L</math> bukanlah titik perpotongan kedua garis tersebut). Maka, <math>IJL</math> adalah segitiga siku-siku.
{{div col|colwdith=22em}}
:Sekarang, misalkan <math>\angle AKL = \alpha</math> dan <math>\angle AJI = \beta</math>, maka <math>\angle BAC = \alpha + \beta</math> sehingga
::<math>\cot(\alpha + \beta) = \frac{AK}{JK}</math>.
:Disini, terdapat <math>AK = AC - KC</math>, <math>JK = JL + LK</math>, dan <math>JC = LK</math> sehingga
::<math>\cot(\alpha + \beta) = \frac{AC - KC}{JL + LK} = \frac{AC - KC}{JL + JC}</math>.
:Karena
::<math>\cot \alpha = \frac{AC}{JC} \iff AC = JC \cot \alpha</math>,
:maka
::<math>\cot(\alpha + \beta) = \frac{JC \cot \alpha - KC}{JL + JC}</math>.
{{div col end}}
Targetnya adalah mencari <math>\cot \alpha</math> pada segitiga <math>IJL</math>. Untuk memulainya, perlu berfokus pada sudut, bahwa <math>\angle JAC = \angle AJL = \alpha</math>. Karena garis <math>AJ</math> dan <math>IJ</math> tegak lurus, maka <math>\angle AJI</math> sudut siku-siku. Juga, <math>IJL</math> adalah segitiga siku-siku sehingga <math>\angle ILJ</math> adalah sudut siku-siku, yakni <math>90^\circ</math> derajat atau <math>\tfrac{\pi}{2}</math> radian.
:<math>\begin{align}
\angle AJI &= \angle AJL + \angle LIJ \\
\frac{\pi}{2} &= \alpha + \angle LIJ \\
\angle LIJ &= \frac{\pi}{2} - \alpha
\end{align}
\left|
\begin{align}
\angle ILJ + \angle IJL + \angle LIJ &= \pi \\
\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \alpha + \angle LIJ &= \pi \\
\pi - \alpha + \angle LIJ &= \pi \\
\angle LIJ &= \alpha
\end{align}
\right|
\begin{align}
\cot \alpha &= \frac{IL}{JL} \\
IL &= JL \cot \alpha
\end{align}</math>
Sebagai catatan, bahwa <math>KC = JL</math>. Dengan demikian, persamaan di atas dapat dimodifikasikan sebagai
:<math>\cot(\alpha + \beta) = \frac{JC \cot \alpha - KC}{JL \cot \alpha + JC}
= \frac{JL\left(\frac{JC}{JL} \cot \alpha - \frac{KC}{JL}\right)}{JL \left(\cot \alpha + \frac{JC}{JL}\right)}
= \frac{\frac{JC}{JL} \cot \alpha - 1}{\cot \alpha + \frac{JC}{JL}}
</math>
Hanya perlu mencari <math>\sin \alpha</math> pada segitiga siku-siku <math>ABC</math> dan <math>IJL</math> untuk melengkapi potongan-potongan bukti ini. Arkian, cari rumus untuk <math display="inline">\frac{JC}{JL}</math> dan <math>\cot \beta</math>, kemudian substitusi ke persamaan jumlah sudut kotangen.
:<math>\left.
\begin{align}
\sin \alpha &= \frac{JC}{AJ} \\
&= \frac{JL}{IJ} \\
\frac{JC}{AJ} &= \frac{JL}{IJ} \\
\frac{JC}{JL} &= \frac{AJ}{IJ} \\
\end{align}
\qquad
\right|
\left.
\qquad
\begin{align}
\cot(\alpha + \beta) &= \frac{\frac{AJ}{IJ} \cot \alpha - 1}{\cot \alpha + \frac{AJ}{IJ}} \\
\cot \beta &= \frac{AI}{IJ} \\
\cot(\alpha + \beta) &= \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta} \qquad \blacksquare
\end{align}
\right.
</math>
== Rujukan ==
| 