Bilangan bulat: Perbedaan antara revisi

Himpunan bilangan bulat dapat diurutkan, secara alami dari nilai terkecil hingga terbesar: ... −3<math>\cdots < −2-3 < −1-2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...\cdots</math>. Dua bilangan bulat dibandingkan dengan lambang-lambang yaitu lebih dari, kurang dari, lebih dari atau sama dengan, atau kurang dari atau sama dengan, masing-masing dilambangkan sebagai <math>></math>, <math><</math>, <math>\ge</math>, dan <math>\le</math>. Bilangan bulat disebut ''bilangan positif'' jika nilainya <math>> 0</math> dan disebut ''bilangan negatif'' jika nilainya <math>< 0</math>. Sedangkan penggunaan tanda <math>\le</math> menyatakan bahwa bilangan ''tidak positif'', dan penggunaan tanda <math>\ge</math> menyatakan bahwa bilangan ''tidak negatif''.<ref>{{Cite book|last=Abdussakir|first=|date=2014|url=https://core.ac.uk/download/pdf/158624685.pdf|title=Matematika dalam Al-Qur'an|location=Malang|publisher=UIN-Maliki Press|isbn=978-602-958-440-0|pages=83|url-status=live}}</ref>

Dalam pengajaran di sekolah, bilangan bulat umumnya didefinisikan secara intuitif sebagai kumpulan [[bilangan asli]], angka nol, dan negatif dari kumpulan bilangan asli (maksudnya <math>\{-1, -2, -3, \dots \}</math>). Namun, definisi ini memerlukan banyak kasus (setiap operasi perlu didefinisikan untuk setiap kombinasi jenis bilangan) dan menyulitkan untuk membuktikan bahwa bilangan bulat memenuhi berbagai rumus aritmetika.<ref>{{cite book|last=Mendelson|first=Elliott|year=2008|url=https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC&pg=PA86|title=Number Systems and the Foundations of Analysis|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-45792-5|series=Dover Books on Mathematics|page=86|access-date=2016-02-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20161208233040/https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC&pg=PA86|archive-date=2016-12-08|url-status=live}}.</ref> Karena itu, matematika yang modern menggunakan definisi yang lebih lebih abstrak,<ref>Ivorra Castillo: ''Álgebra''</ref> yang memungkinkan operasi-operasi aritmetika didefinisikan tanpa perlu membaginya dalam kasus-kasus.<ref>{{cite book|last=Frobisher|first=Len|year=1999|url=https://books.google.com/books?id=KwJQIt4jQHUC&pg=PA126|title=Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School|publisher=Nelson Thornes|isbn=978-0-7487-3515-0|series=The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series|page=126|access-date=2016-02-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20161208121843/https://books.google.com/books?id=KwJQIt4jQHUC&pg=PA126|archive-date=2016-12-08|url-status=live}}.</ref> Bilangan bulat selanjutnya dikonstruksi (didefinisikan) secara formal sebagai [[Kelas ekuivalen|kelas-kelas ekuivalensi]] dari [[pasangan terurut]] bilangan asli {{<math|>(''a'', ''b'')}}</math>.<ref name="Campbell-1970-p83">{{cite book|author=Campbell, Howard E.|year=1970|url=https://archive.org/details/structureofarith00camp/page/83|title=The structure of arithmetic|publisher=Appleton-Century-Crofts|isbn=978-0-390-16895-5|page=[https://archive.org/details/structureofarith00camp/page/83 83]|url-access=registration}}</ref>

Pasangan {{<math|>(''a'', ''b'')}}</math> dapat dianggap sebagai hasil dari mengurangi {{<math|''>b''}}</math> dari {{<math|''>a''}}</math>.<ref name="Campbell-1970-p83" /> Untuk memastikan bahwa {{nowrap|1 − 2}} dan {{nowrap|4 − 5}} menghasilkan bilangan yang sama, [[relasi ekuivalensi]] {{math|~}} didefinisikan pada pasangan-pasangan ini dengan aturan:

: <math>a + d = b + c. </math>.

Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat selanjutnya dapat didefinisikan dalam operasi ekuivalensi pada bilangan asli.<ref name="Campbell-1970-p83" /> Dengan menggunakan notasi {{<math|>[(''a'',''b'')]}}</math> untuk menyatakan kelas ekuivalensi yang memiliki {{<math|>(''a'',''b'')}}</math> sebagai anggota, dapat dituliskan:

: <math>[(a,b)] + [(c,d)] := [(a+c,b+d)].</math>.

: <math>[(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].</math>.

: <math>-[(a,b)] := [(b,a)].</math>.

: <math>[(a,b)] - [(c,d)] := [(a+d,b+c)].</math>.

: <math>[(a,b)] < [(c,d)]</math> [[jika dan hanya jika]] <math>a+d < b+c.</math>.

Lebih lanjut, setiap kelas ekuivalen memiliki satu anggota unik yang berbentuk {{<math|>(''n'',0)}}</math> atau {{<math|>(0,''n'')}}</math> (atau keduanya secara bersamaan). Sehingga pada gilirannya, kelas {{<math|>[(''n'',0)]}}</math> dapat diwakilkan oleh bilangan asli {{<math|''>n''}}</math>, sedangkan kelas {{<math|>[(0,''n'')]}}</math> diwakilkan oleh bilangan {{<math|−''>-n''}}</math>. Angka {{<math|−0>-0 {{=}} 0}}</math> mewakiliki kelas {{<math|>[(0,0)]}}</math>. Secara umum, kelas {{<math|>[(''a'',''b'')]}}</math> diwakili oleh bilangan bulat

: <math>\begin{cases} a - b, & \mbox{jika } a \ge b \\ -(b - a), & \mbox{jika } a < b.
\end{cases}</math>

Cara konstruksi bilangan bulat seperti di atas menghasilkan [[Representasi grup|representasi]] bilangan bulat sebagai {{<math|>\{...\dots, −2-2, −1-1, 0, 1, 2,\dots\}</math> ...}}}yang familiar. Berikut beberapa contoh bilangan bulat dan kelas ekuivalen yang diwakilinya:

-2 &= [(0,2)] &= [(1,3)] &= \cdots & &= [(k,k+2)].

: <math>f(x) = \begin{cases} -2x, & \mbox{jika } x \leq 0\\ 2x-1, & \mbox{jika } x > 0, \end{cases} </math>

: {{<math|>\{{mset|...\dots (−4-4,8), (−3-3,6), (−2-2,4), (−1-1,2), (0,0), (1,1), (2,3), (3,5), ...}}}\dots \}</math>.

: <math>\begin{cases}g(2x) = -x\\g(2x-1)=x, \end{cases} </math>

: {{<math|>\{{mset|(0, 0), (1, 1), (2, −1-1), (3, 2), (4, −2-2), (5, −3-3),\dots ...}}}\}</math>.