Revisi per 21 Desember 2021 07.14 sunting Dedhert.Jr (bicara \| kontrib) 16.176 suntingan →‎Notasi: memperbaiki catatan kaki Tag: VisualEditor ← Revisi sebelumnya		Revisi per 21 Desember 2021 07.18 sunting balikkan Dedhert.Jr (bicara \| kontrib) 16.176 suntingan →‎Sifat-sifat aljabar Tag: VisualEditor Revisi selanjutnya →
Baris 37: Semua sifat pada tabel (kecuali baris terakhir), ketika digunakan bersama-sama, mengartikan bahwa <math>\mathbb{Z}</math> dengan penjumlahan dan perkalian membentuk suatu [[Gelanggang komutatif\|gelangang komutatif]] dengan [[elemen identitas]]. Gelanggang ini adalah fondasi semua objek [[struktur aljabar]]. Walaupun pembagian yang umum tidak terdefinisi pada <math>\mathbb{Z}</math>, operasi pembagian "dengan sisa" dapat didefinisikan. Pembagian ini disebut [[pembagian Euklides]], dan memiliki sifat penting berikut: untuk sembarang dua bilangan bulat. Walaupun pembagian yang umum tidak terdefinisi di <math>\mathbb{Z}</math>, operasi pembagian "dengan sisa" dapat didefinisikan. Pembagian ini disebut [[pembagian Euklides]], dan memiliki sifat penting berikut: untuk sembarang dua bilangan bulat {{math\|''a''}} dan {{math\|''b''}} dengan {{math\|''b'' ≠ 0}}, akan ada bilangan bulat unik {{math\|''q''}} dan {{math\|''r''}} yang memenuhi {{math\|''a'' {{=}} ''q'' × ''b'' + ''r''}} dan {{math\|0 ≤ ''r'' < {{!}}''b''{{!}}}}, dengan notasi {{math\|{{!}}''b''{{!}}}} berarti [[Nilai absolut\|nilai mutlak]] dari {{math\|''b''}}. Bilangan {{math\|''q''}} disebut ''hasil bagi'' dan {{math\|''r''}} disebut ''sisa pembagian'' {{math\|''a''}} oleh {{math\|''b''}}. [[Algoritme Euklides]] menggunakan serangkaian operasi pembagian Euklides untuk menghitung [[faktor persekutuan terbesar]]. == Sifat keterurutan == Himpunan bilangan bulat dapat diurutkan, secara alami dari nilai terkecil hingga terbesar: ~~...~~ <math>\cdots < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < \cdots</math>. Dua bilangan bulat dibandingkan dengan lambang-lambang yaitu lebih dari, kurang dari, lebih dari atau sama dengan, atau kurang dari atau sama dengan, masing-masing dilambangkan sebagai <math>></math>, <math><</math>, <math>\ge</math>, dan <math>\le</math>. Bilangan bulat disebut ''bilangan positif'' jika nilainya <math>> 0</math> dan disebut ''bilangan negatif'' jika nilainya <math>< 0</math>. Sedangkan penggunaan tanda <math>\le</math> menyatakan bahwa bilangan ''tidak positif'', dan penggunaan tanda <math>\ge</math> menyatakan bahwa bilangan ''tidak negatif''.<ref>{{Cite book\|last=Abdussakir\|first=\|date=2014\|url=https://core.ac.uk/download/pdf/158624685.pdf\|title=Matematika dalam Al-Qur'an\|location=Malang\|publisher=UIN-Maliki Press\|isbn=978-602-958-440-0\|pages=83\|url-status=live}}</ref> Pengurutan bilangan bulat kompatibel dengan sifat-sifat aljabar, dalam artian: Baris 96: == Kardinalitas == [[Kardinalitas]] dari himpunan bilangan bulat sama dengan {{math\|ℵ{{sub\|0}}}} ([[Bilangan alef#Alef-nol\|alef-nol]]). Pernyataan ini dapat ditunjukkan dengan membuat suatu fungsi [[bijeksi]] dari <math>\mathbb{Z}</math> ke himpunan [[bilangan cacah]] <math>\mathbb{N}= \{0, 1, 2, ...\}.</math>. Fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai : <math>f(x) = \begin{cases} -2x, & \mbox{jika } x \leq 0\\ 2x-1, & \mbox{jika } x > 0 \end{cases} </math> Baris 116: Dalam [[ilmu komputer]], integer (Bahasa Inggris untuk kata "bilangan bulat") umumnya merupakan suatu [[tipe data]] primitif di [[Bahasa pemrograman\|bahasa-bahasa pemrograman]]. Namun, tipe data integer hanya dapat merepresentasikan [[Himpunan bagian\|subset]] dari semua bilangan bulat, karena komputer memiliki kapasitas yang terbatas. Sebagai contoh, tipe data ''integer'' dalam bahasa pemrograman [[Pascal (bahasa pemrograman)\|Pascal]] hanya mampu menyimpan bilangan bulat yang bernilai diantara <math>-32768</math> sampai <math>32767</math>. Pada representasi ''two's complement'' yang umum digunakan, [[Tanda (matematika)\|tanda]] hanya didefinisikan untuk membedakan "bilangan negatif" dan "bilangan tak negatif", bukan "bilangan negatif, positif, dan 0" (walaupun, sebenarnya komputer juga dapat menentukan apakah suatu nilai integer benar-benar bernilai positif). Pada beberapa bahasa pemrograman, aproksimasi bilangan bulat dengan panjang [digit] konstan (''fixed-length integer'') umumnya diwakili oleh tipe data ''int'' atau Integer (seperti pada [[Algol68]], [[C (bahasa pemrograman)\|C]], [[Java (programming language)\|Java]], [[Object Pascal\|Delphi]], dll.). Representasi bilangan bulat dengan panjang [[digit]] fleksibel (''{{Lang-en\|variable-length integer representation''}}), seperti tipe data [[Bignum\|bignums]], dapat menyimpan sembarang bilangan bulat asalkan dapat disimpan di memori komputer. Implementasi lain dari tipe data integer menggunakan ukuran yang konstan/tetap, sehingga hanya dapat menyimpan nilai bilangan bulat dalam suatu [[Selang (matematika)\|selang]] tertentu. Ukuran yang dipakai umumnya merupakan banyaknya bits (4, 8, 16, dst.) atau panjang digit desimal yang mudah diingat (misalnya, 9 digit atau 10 digit). == Dalam teori bilangan ==

Bilangan bulat: Perbedaan antara revisi