Aturan sinus: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Hadithfajri (bicara | kontrib) |
Mengatur posisi sub-subjudul dan mengganti subjudul "Bunyi Teorema" menjadi "Hubungan dengan lingkaran luar segitiga". Konten dalam edit ini adalah alih bahasa dari artikel Wikipedia Bahasa Inggris en:Law_of_sines (oldid 1059829524); Lihat sejarahnya untuk atribusi. |
||
Baris 1:
:''Untuk kegunaan lain, lihat [[Sinus (disambiguasi)]].''
{{multiple image|direction=horizontal|total_width=350|title=Law of Sines|image1=Triangle and circumcircle with notations.png|caption1=Dengan [[lingkaran luar]]|image2=Law of sines (simple).svg|caption2=Tanpa lingkaran luar|footer=Segitiga yang diberi label menyesuaikan dengan aturan sinus. Nilai sudut α, β dan γ masing-masing berasosiasi dengan titik sudut A, B, dan C. Huruf kecil a, b, dan c adalah panjang dari sisi yang menghadap sudut-sudut tersebut. (sisi a menghadap sudut α, dst.)}}Dalam [[trigonometri]], '''aturan sinus''', '''rumus sinus''', atau '''hukum sinus''' adalah sebuah persamaan yang memperbandingan panjang sisi-sisi segitiga terhadap [[Sinus (trigonometri)|sinus]] sudut-sudutnya. Aturan ini menyatakan bahwa<math display="block"> \frac{a}{\sin{\alpha}} \,=\, \frac{b}{\sin{\beta}} \,=\, \frac{c}{\sin{\gamma}} \,=\, 2R, </math>dengan {{math|''a'', ''b''}}, dan {{math|''c''}} menyatakan panjang-panjang sisi dari segitiga, dan {{math|''α'', ''β''}}, dan {{math|''γ''}} adalah besar sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut (lihat gambar sebagai ilustrasi), sedangkan {{math|''R''}} adalah [[radius]] dari lingkaran luar segitiga. Jika radius lingkaran tidak digunakan, aturan sinus terkadang dinyatakan dalam bentuk<math display="block"> \frac{\sin{\alpha}}{a} \,=\, \frac{\sin{\beta}}{b} \,=\, \frac{\sin{\gamma}}{c}. </math>Aturan sinus berguna untuk menghitung sisi yang belum diketahui dari suatu segitiga apabila besar dua sudut dan panjang satu sisinya diketahui. Ini adalah masalah yang umum terjadi ketika melakukan [[triangulasi]]. Rumus ini juga dapat digunakan bila diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang tak diapit kedua sisi tersebut. Dalam kasus ini, data mungkin tidak dapat menghasilkan segitiga yang unik, sehingga rumus dapat memberikan dua nilai yang mungkin untuk sudut yang diapit. Aturan sinus juga dapat dipakai untuk menghitung jari-jari lingkaran luar segitiga.
Aturan sinus adalah salah satu dari dua persamaan trigonometrik yang umum digunakan untuk menentukan besar panjang dan sudut pada segitiga, persamaan lain yang digunakan adalah [[aturan kosinus]].
Aturan sinus dapat diperumum ke dimensi yang lebih tinggi, yakni pada permukaan dengan kurvatur yang bernilai konstan.<ref name="mathworld">{{cite web|title=Generalized law of sines|url=http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedLawofSines.html|website=mathworld}}</ref>
==
Hukum sinus bagi [[Trigonometri bola|segitiga yang terletak pada bola]] ditemukan pada abad ke-10. Penemuan ini banyak diatribusikan kepada [[Abu-Mahmud Khojandi]], [[Abul Wafa Muhammad Al Buzjani]], [[Nasir al-Din al-Tusi|Nashiruddin ath-Thusi]], dan [[Abu Nashr Mansur]].<ref name="Sesiano">Sesiano hanya mencatat al-Wafa sebagai seorang kontributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, dalam {{citation|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics|first1=Helaine|last1=Selin|first2=Ubiratan|last2=D'Ambrosio|year=2000|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=1-4020-0260-2}}
[[Berkas:Triangle and circumcircle with notations.png|jmpl|Segitiga ABC dengan sisi a, b, c; sudut segitiga A, B, C; luas segitiga S; dan jari-jari lingkaran luar R.]]▼
Untuk sebarang segitiga ABC dengan sudut A, B dan C, dengan sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut masing-masing a, b dan c (ditulis dengan huruf kecil), berlaku:▼
:<math>{a \over \sin A }={b \over \sin B }={c \over \sin C } = 2R.</math>▼
di mana R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga ABC.▼
"... .Spherical geometry was based on Menelaus's Spherics (and, in particular, its theorem IIIJ.1) and gave rise through Abu'l-Wafii' al-Buzjani (940-997/8) to the law of sines for spherical triangles,
Dapat ditunjukkan bahwa▼
:<math>\begin{align}▼
2R &= \frac{abc} {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \\▼
&= \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4) }}▼
\end{align}</math>▼
di mana <math>s</math> [[Semiperimeter|setengah keliling lingkaran]]▼
:<math>s = \frac{(a+b+c)} {2}</math>▼
== Bukti ==▼
<math>\frac{\sin a}{\sin \alpha} = \frac{\sin b}{\sin \beta} = \frac{\sin c}{\sin \gamma}</math>
where <math>a,\,b,\,c</math> are the sides and <math>\alpha,\,\beta,\,\gamma</math> the opposite angles</ref>
Pada abad ke-11, buku [[Ibn Muʿādh al-Jayyānī]]' mengandung hukum sinus secara umum.<ref name="MacTutor Al-Jayyani">{{MacTutor|id=Al-Jayyani|title=Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|date=1997|url=https://www.worldcat.org/oclc/37996126|title=Histoire des sciences arabes|location=Paris|isbn=2-02-030355-8|others=Rushdī Rāshid, Régis Morelon|oclc=37996126}}</ref> Hukum sinus pada bidang [datar] kemudian dinyatakan oleh [[Nasir al-Din al-Tusi|Nashiruddin ath-Thusi]] pada abad ke-13.<ref name=":0" /> Dalam karyanya ''Tentang Gambar Sektor'', <!-- Bahasa Inggris: On the Sector Figure. Saya menerjemahkan dengan menggunakan asumsi Sector memiliki artian yang sama dengan definisi kata "sektor" di KBBI, "tembereng tajam". Tolong koreksi. --Kekavigi -->ia menuliskan hukum sinus untuk bidang datar dan untuk permukaan bola, dan memberikan rumus untuk kedua hukum ini.<ref>{{cite book|last=Berggren|first=J. Lennart|year=2007|title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-11485-9|page=518|chapter=Mathematics in Medieval Islam}}</ref>
Pada abad ke-15, matematikawan Jerman [[Regiomontanus]] menggunakan hukum sinus sebagai fondasi solusi tentang masalah yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Solusi yang tertulis pada Buku IV-nya pada gilirannya menjadi dasar solusi masalah yang berkaitan dengan segitiga secara umum.<ref>Glen Van Brummelen (2009). "''[https://books.google.com/books?id=bHD8IBaYN-oC&pg=&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry]''". Princeton University Press. p.259. {{isbn|0-691-12973-8}}</ref>
▲== Bukti ==
<div style="float:right;margin:0 0 1em 1em;">[[Berkas:Law of sines proof.png]]</div>
Perhatikan segitiga dengan sisi ''a'', ''b'', dan ''c'', dan sudut yang berhadapan ''A'', ''B'', dan ''C''. Tarik garis tinggi ''h'' dari sudut ''C'' ke sisi ''c'' sehingga segitiga ''ABC'' terbagi menjadi dua segitiga siku-siku.
Baris 37 ⟶ 36:
:<math>\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}</math>
== Masalah dengan solusi yang ambigu ==
Ketika menggunakan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi suatu segitiga, kasus ambigu dapat terjadi ketika dua segitiga dapat dibuat dari data yang tersedia (dengan kata lain, akan menghasilkan dua solusi berbeda). Pada ilustrasi berikut, dua segitiga yang dimaksud adalah segitiga {{math|''ABC''}} dan {{math|''ABC′''}}.
: [[Berkas:PictureAmbitext_(Greek_angles).svg|pus|nirbing]]
Untuk sembarang segitiga, kondisi-kondisi berikut perlu dipenuhi agar masalah memiliki solusi yang ambigu:
* Informasi yang tersedia tentang segitiga hanyalah sudut {{math|''α''}} dan panjang {{math|''a''}} dan {{math|''c''}}.
* Sudut {{math|''α''}} lancip (yakni, besar sudut {{math|''α''}} < 90°).
* Sisi {{math|''a''}} lebih pendek daripada sisi {{math|''c''}} (yakni, besar {{math|''a'' < ''c''}}).
* Sisi {{math|''a''}} lebih panjang daripada ketinggian {{math|''h''}} ketika diukur dari titik {{math|''B''}} (artinya {{math|''a'' > ''h''}}), dengan nilai {{math|1=''h'' = ''c'' sin ''α''}}.
Jika semua kondisi tersebut terpenuhi, maka sudut {{math|''β''}} dan {{math|''β′''}} menghasilkan dua segitiga yang valid tapi berbeda, mengartikan dua persamaan berikut benar:<math display="block"> {\gamma}' = \arcsin\frac{c \sin{\alpha}}{a} \quad \text{atau} \quad {\gamma} = \pi - \arcsin\frac{c \sin{\alpha}}{a}.</math>Dari persamaan di atas, dapat ditentukan besar sudut {{math|''β''}} dan panjang sisi {{math|''b''}}, atau besar sudut {{math|''β′''}} dan panjang sisi {{math|''b′''}}, jika diperlukan.
== Contoh ==
[[Berkas:Law_of_sines_(example_01).svg|ka|jmpl|Contoh 1]]
Diberikan informasi: panjang sisi {{math|1=''a'' = 20}}, sisi {{math|1=''c'' = 24}}, dan sudut {{math|1=''γ'' = 40°}}, sedangkan nilai sudut {{math|''α''}} ingin dicari. Menggunakan aturan sinus, disimpulkan bahwa<math display="block">\frac{\sin \alpha}{20} = \frac{\sin (40^\circ)}{24}.</math> Sehingga dengan menggunakan invers dari fungsi sinus, [[arcsinus]], didapatkan <math display="block"> \alpha = \arcsin\left( \frac{20\sin (40^\circ)}{24} \right) \approx 32.39^\circ. </math>Solusi lain dari arcsin adalah nilai {{math|1=''α'' = 147.61°}}. Namun ini tidak digunakan karena akan menghasilkan solusi dengan total sudut segitiga {{math|''α'' + ''β'' + ''γ'' > 180°}}.
== Hubungan dengan lingkaran luar segitiga ==
▲[[Berkas:Triangle and circumcircle with notations.png|jmpl|Segitiga ABC dengan sisi a, b, c; sudut segitiga A, B, C; luas segitiga S; dan jari-jari lingkaran luar R.]]
▲Untuk sebarang segitiga ABC dengan sudut A, B dan C, dengan sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut masing-masing a, b dan c (ditulis dengan huruf kecil), berlaku:
▲:<math>{a \over \sin A }={b \over \sin B }={c \over \sin C } = 2R.</math>
▲di mana R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga ABC.
▲Dapat ditunjukkan bahwa
▲:<math>\begin{align}
▲2R &= \frac{abc} {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \\
▲&= \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4) }}
▲\end{align}</math>
▲di mana <math>s</math> [[Semiperimeter|setengah keliling lingkaran]]
▲:<math>s = \frac{(a+b+c)} {2}</math>
== Lihat pula ==
* [[Triangulasi]]
| |||