Wikipedia

Pi: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.317 suntingan
memperbaiki templat tentang konstanta matematika, pi.
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.317 suntingan
→Bilangan dan analisis kompleks: menjelaskan maksud isi bagian. Juga, perbaikian referensi
Baris 44:
Beberapa [[Pendekatan π|pendekatan ''pi'']] meliputi:
* '''Bilangan bulat''': [[3 (angka)|3]]
* '''Pecahan''': Pendekatan pecahan meliputi: (diurutkan berdasarkan kenaikan akurasi) {{sfrac|22|7}}, {{sfrac|333|106}}, {{sfrac|355|113}}, {{sfrac|52163|16604}}, {{sfrac|103993|33102}}, dan {{sfrac|245850922|78256779}}.<ref name="{{Sfn|Eymard, 1999Pierre, 78"Lafon, />Jean Pierre|1999|p=78}} (Disarikan dari {{OEIS2C|id=A063674}} and {{OEIS2C|id=A063673}}.)
* '''Desimal''': Limapuluh desimal pertama adalah {{gaps|3,14159|26535|89793|23846|26433|83279|50288|41971|69399|37510...}}<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=240}}</ref> {{OEIS2C|id=A000796}}
* '''[[Sistem bilangan biner|Biner]]''': Pendekatan [[Radiks|basis]] 2 hingga 48 digit adalah {{gaps|11,0010|0100|0011|1111|0110|1010|1000|1000|1000|0101|1010|0011...}}
Baris 71:
Astronom India [[Aryabhata]] menggunakan nilai 3,1416 dalam [[Āryabhaṭīya]] (tahun 499).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=179}}</ref> [[Fibonacci]] pada tahun &nbsp;1220 menghitung nilai {{pi}} dan mendapatkan hasil 3,1418 menggunakan metode poligon.<ref name="Arndt_e">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=180}}</ref>
 
Astronom Persia [[Jamshīd al-Kāshī]] menghasilkan 16 digit nilai {{pi}} pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3×2<sup>28</sup>,<ref>{{cite journal| first1=Mohammad K. | last1=Azarian | title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary | journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences | volume=22 | issue=2 | year=2010 | pages=64–85 | url=<!-- http://www.xs4all.nl/~nirmala/Azarian2.pdf -->[{{cite journal | first1=Mohammad K. | last1=Azarian | title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary | journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences | volume=22 | issue=2 | year=2010 | pages=64–85 | url=<!-- http://www.xs4all.nl/~nirmala/Azarian2.pdf -->[http://nirmala.home.xs4all.nl/Azarian2.pdf]{{dead link|date=June 2013}} | format=PDF | separator=, | ref=harv }}{{Pranala mati|date=Maret 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}]{{dead link|date=June 2013}} | format=PDF | separator=,| ref=harv}}</ref><ref>{{cite web|author=O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. | year=1999 | title=Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi | work=[[MacTutor History of Mathematics archive]] | url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html | accessdate=Augustus 11, 2012 | separator=,}}</ref>. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun.<ref name="Arndt_f">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=182}}</ref> Matematikawan Prancis [[François Viète]] pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×2<sup>17</sup>.<ref name="Arndt_f" /> Matematikawan [[Flandria]] mencapai 15 digit desimal pada tahun 1593.<ref name="Arndt_f" /> Pada tahun 1596, matematikawan Belanda [[Ludolph van Ceulen]] mencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=182–183}}</ref> Ilmuwan Belanda [[Willebrord Snellius]] mencapai 34 digit pada tahun 1621,<ref name="Arndt_g">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=183}}</ref> dan astronom Austria [[Christoph Grienberger]] mencapai 38 digit pada tahun 1630,<ref>{{cite book|first=Christophorus|last=Grienbergerus|authorlink=[[Christoph Grienberger|language=Latin|year=1630|title={{lang|la|ElementaGrienberger, Trigonometrica|nocat=true}}|url=Christoph]] (1960), ''[https://web.archive.org/web/20140201234124/http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf|format= Elementa Trigonometrica]'' (PDF|access-date=2013-08-06|archive-date=2014-02-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20140201234124/) (dalam bahasa Latin) Diarsipkan dari [http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf|dead-url=yes}} aslinya] (PDF) pada tanggal 1 Februari 2014. Pendekatannya adalah 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref><ref group="n">Nilai evaluasinya sebesar 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < {{pi}} < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref> adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.<ref name="Arndt_g" />
 
=== Deret tak hingga ===
Baris 226:
 
=== Bilangan dan analisis kompleks ===
[[Berkas:Euler's formulas_formula.svg|jmpl|altal=A diagram of a unit circle centered at the origin in the complex plane, including a ray from the center of the circle to its edge, with the triangle legs labeled with sine and cosine functions.|jmpl|Asosiasi antara daya<math>e</math> imajiner denganpangkat [[bilangan {{math|''e''}}imajiner]] dan [[Titik (geometri)|titik-titik]] pada [[satuan lingkaran]] yang berpusat pada [[Pusat (matematika)|pusat]] [[bidang kompleks]] dinyatakan oleh [[formularumus Euler]].]]
Suatu [[Bilanganbilangan kompleks]] apapun, sebutkatakan saja {{<math|''>z''}}</math>, dapat dinyatakan menggunakan pasangan [[bilangan nyatareal]]. Dalam [[Sistem koordinat polar#Bilangan kompleks|sistem koordinat polar]], satu bilangan (jari-jari (atau ''<math>r'')</math> digunakan untuk menyatakan jarak {{<math|''>z''}}</math> dari [[PusatTitik (matematika)nol|titik pusat]] ke pusat [[bidang kompleks]]. sedangkanSedangkan (sudut atau(dilambangkan {{<math|φ}}>\varphi</math>) menyatakan a [[putaran]] berlawanan arah jarum jam dari garis nyatabilangan positifreal sebagai berikutpositif:<ref>{{harvnb|Ayers|1964|p=100}}</ref>▼
 
: <math>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi),</math>,▼
▲[[Bilangan kompleks]] apapun, sebut saja {{math|''z''}}, dapat dinyatakan menggunakan pasangan [[bilangan nyata]]. Dalam [[Sistem koordinat polar#Bilangan kompleks|sistem koordinat polar]], satu bilangan (jari-jari atau ''r'') digunakan untuk menyatakan jarak {{math|''z''}} dari [[Pusat (matematika)|pusat]] [[bidang kompleks]] sedangkan (sudut atau {{math|φ}}) menyatakan a [[putaran]] berlawanan arah jarum jam dari garis nyata positif sebagai berikut:<ref>{{harvnb|Ayers|1964|p=100}}</ref>
▲:<math>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi),</math>
 
dengan {{<math|''>i''}}</math> adalah [[satuanunit imajiner]] dari {{math|''i''<supmath>i^2</sup>}} = −1-1</math>. SetingnyaKemunculan penggunaan {{<math>\pi}}</math> dalam [[analisis kompleks]] dapat dihubungkan dengan perilaku [[fungsi eksponentialeksponensial]] variabel kompleks, yang dijelaskan oleh [[formularumus Euler]]:<ref name="EFEF2">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|p=592}}</ref>
:<math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi,</math>▼
 
▲: <math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi,</math>,
dengan [[E (tetapan matematika)|tetapan {{math|''e''}}]] adalah basis [[logaritma natural]]. Formula ini menghasilkan hubungan antara daya imajiner {{math|''e''}} dan titik-titik pada [[satuan lingkaran]] yang berpusat pada pusat bidang kompleks. Pengaturan {{math|''φ''}} = {{pi}} dalam formula Euler menghasilkan [[identitas Euler]], disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima tetapan matematika paling penting:<ref name="EF" /><ref>{{cite|author=Maor, Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=Princeton University Press|year=2009|page=160|ISBN=978-0-691-14134-3}} ("lima tetapan terpenting").</ref>▼
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0.</math>▼
 
▲dengan [[E (tetapankonstanta matematika)|tetapankonstanta {{math|''e''}}]] adalah basis [[logaritma natural]]. FormulaRumus ini menghasilkan hubungan antara daya<math>e</math> pangkat bilangan imajiner {{math|''e''}} dan titik-titik pada [[satuan lingkaran]] yang berpusat pada pusat bidang kompleks. PengaturanSubstitusi {{<math|''φ''}}>\varphi = {{\pi}}</math> dalam formularumus Euler menghasilkan [[identitas Euler]], disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima tetapankonstanta matematika paling penting:<ref name="EFEF2" /><ref>{{cite|author=Maor, Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=Princeton University Press|year=2009|page=160|ISBN=978-0-691-14134-3}} ("lima tetapan terpenting").</ref>
Sebanyak {{math|''n''}} [[bilangan kompleks]] {{math|''z''}} yang berbeda dalam persamaan {{math|1=''z''<sup>''n''</sup> = 1}}, disebut "[[akar persatuan]] (''root of unity'') ke {{math|''n''}}".<ref>{{MathWorld|RootofUnity|Roots of Unity}}</ref> Mereka dinyatakan dalam persamaan:▼
:<math>e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).</math>▼
 
▲: <math>e^{i \pi} + 1 = 0.</math>.
[[Formula integral Cauchy]] mengelola [[fungsi integral kompleks]] dan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan:<ref>{{MathWorld|CauchyIntegralFormula|Cauchy Integral Formula}}</ref><ref>{{cite|author=Joglekar, S.D.|title=Mathematical Physics|publisher=Universities Press|year=2005|page=166|ISBN=978-81-7371-422-1}}.</ref>▼
:<math>f (z_{0}) = \frac{1}{ 2\pi i } \oint_\gamma { f(z) \over z-z_0 }\,dz</math>▼
 
▲Sebanyak {{<math|''>n''}}</math> [[bilangan kompleks]] {{<math|''>z''}}</math> yang berbeda dalam persamaan {{math|1=''z''<supmath>''z^n''</sup> = 1}}</math>, disebut "[[akar persatuan]] (''{{Lang-en|root of unity''}}) ke {{-<math|''>n''}}</math>".<ref>{{MathWorld|RootofUnity|Roots of Unity}}</ref> MerekaRumus di atas dinyatakan dalam persamaan:
[[Berkas:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|alt=An complex black shape on a blue background.|jmpl|{{pi}} dapat dihitung dari [[himpunan Mandelbrot]], dengan menghitung jumlah iterasi yang diperlukan sebelum titik divergen (-0,75, ε).]]▼
Keberadaan {{pi}} dalam [[fraktal]] [[himpunan Mandelbrot]] ditemukan oleh warga negara Amerika David Boll pada tahun 1991.<ref name="KA">{{cite journal|last1=Klebanoff|first1=Aaron|year=2001|title=Pi in the Mandelbrot set|journal=Fractals|volume=9|issue=4|pages=393–402|url=http://home.comcast.net/~davejanelle/mandel.pdf|archiveurl=https://www.webcitation.org/66iUmBi3B?url=https://home.comcast.net/~davejanelle/mandel.pdf|archivedate=2012-04-06|accessdate=14 April 2012|doi=10.1142/S0218348X01000828|ref=harv|dead-url=no}}</ref> Dia mempelajari perilaku humpunan Mandelbrot dekat "leher" pada (-0,75, 0). Jika dianggap titik dengan koordinat (-0,75, ε), dengan ε cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan dengan ε konvergen menuju {{pi}}. Titik (0,25, ε) di titik puncak "lembah" besar di sisi kanan himpunan Mandelbrot berperilaku sama: jumlah iterasi sampai divergensi dikalikan dengan akar kuadrat ε cenderung mendekati {{pi}}.<ref name="KA" /><ref>Peitgen, Heinz-Otto, ''Chaos and fractals: new frontiers of science'', Springer, 2004, pp. 801–803, ISBN 978-0-387-20229-7.</ref>▼
 
▲: <math>e^\frac{2 \pi i k/}{n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).</math>.
[[Fungsi gama]] memperluas konsep [[faktorial]] (biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat non-negatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat nyata negatif. Ketika fungsi gama dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi {{pi}}; sebagai contoh▼
 
:<math> \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} </math>▼
=== Rumus integral Cauchy ===
:dan▼
▲[[FormulaRumus integral Cauchy]] mengelola [[fungsi integral kompleks]] dan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan:<ref>{{MathWorld|CauchyIntegralFormula|Cauchy Integral Formula}}</ref><ref>{{cite|author=Joglekar, S.D.|title=Mathematical Physics|publisher=Universities Press|year=2005|page=166|ISBN=978-81-7371-422-1}}.</ref>
:<math>\Gamma(5/2) = \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} </math>.<ref>{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=191–192}}</ref>▼
 
▲: <math>f (z_{0}) = \frac{1}{ 2\pi i } \oint_\gamma { f(z) \over z-z_0 }\,dz</math>
 
=== Himpunan Mandelbrot ===
▲[[Berkas:Mandel zoom 00 mandelbrot setMandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg|altal=An complex black shape on a blue background.|jmpl|{{pi}} dapat dihitung dari [[himpunan Mandelbrot]], dengan menghitung jumlah iterasi yang diperlukan sebelum titik divergen <math>(-0,75, ε;\varepsilon)</math>.]]
▲Keberadaan {{pi}} dalam [[fraktal]] [[himpunan Mandelbrot]] ditemukan oleh warga negara Amerika David Boll pada tahun 1991.<ref name="KAKA2">{{cite journal|last1=Klebanoff|first1=Aaron|year=2001|title=Pi in the Mandelbrot set|url=http://home.comcast.net/~davejanelle/mandel.pdf|dead-url=no|journal=Fractals|volume=9|issue=4|pages=393–402|urldoi=http://home10.comcast.net/~davejanelle1142/mandel.pdfS0218348X01000828|archiveurl=https://www.webcitation.org/66iUmBi3B?url=https://home.comcast.net/~davejanelle/mandel.pdf|archivedate=2012-04-06|accessdate=14 April 2012|doi=10.1142/S0218348X01000828|ref=harv|dead-url=no}}</ref> Dia mempelajari perilaku humpunan Mandelbrot dekat "leher" pada <math>(-0,75, ;0)</math>. Jika dianggap titik dengan koordinat <math>(-0,75, ε;\varepsilon)</math>, dengan ε<math>\varepsilon</math> cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan dengan ε<math>\varepsilon</math> konvergen menuju {{pi}}. Titik <math>(0,25, ε;\varepsilon)</math> di titik puncak "lembah" besar di sisi kanan himpunan Mandelbrot berperilaku sama: jumlah iterasi sampai divergensi dikalikan dengan akar kuadrat ε<math>\varepsilon</math> cenderung mendekati {{pi}}.<ref name="KAKA2" /><ref>Peitgen, Heinz-Otto, ''Chaos and fractals: new frontiers of science'', Springer, 2004, pp. 801–803, ISBN 978-0-387-20229-7.</ref>
 
=== Fungsi gamma ===
▲[[Fungsi gamagamma]] memperluas konsep [[faktorial]] (biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat non-negatiftaknegatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat nyatareal negatif. Ketika fungsi gamagamma dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi {{pi}}; sebagai contoh
 
▲: <math> \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} </math>
▲: dan
▲: <math>\Gamma(5/2) = \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} </math>.<ref>{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=191–192}}</ref>
 
Fungsi gamagamma dapat digunakan untuk membuat pendekatan sederhana seperti {{math|''n''!}} untuk {{math|''n''}} besar:▼
 
: <math> n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>▼
 
▲Fungsi gama dapat digunakan untuk membuat pendekatan sederhana seperti {{math|''n''!}} untuk {{math|''n''}} besar:
▲:<math> n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
yang dikenal sebagai [[aproksimasi Stirling]].<ref>{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|p=190}}</ref>
 
=== Teori bilangan dan fungsi zeta Riemann ===
[[Fungsi zeta Riemann]] {{math|''ζ''(''s'')}} digunakan dalam banyak bidang matematika. Ketika dievaluasi pada {{math|1=''s'' = 2}}, fungsi ini dapat ditulis sebagai:
:<math> \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots</math>
 
Baris 372 ⟶ 382:
* {{cite book|last=Boyer|first=Carl B.|last2=Merzbach|first2=Uta C.|year=1991|title=A History of Mathematics|edition=2|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-54397-8|ref=harv}}<!-- Year from ISBN. Original citatation was just to Boyer. Possible that edition is wrong and therefore page is wrong. Editions: Boyer 1968, Boyer/Merzbach 1989, Boyer/Merzbach 1991, Merzbach/Boyer 2010, Merzbach/Boyer 2011. Verify second: Hui and 3072-sided polygon is on cited page 202 of 1991 edition; page 228 of 1968 edition. Google snippet has a hit for 3.1456 on page 168 for 1991, but does not show the number. -->
* {{cite book|last=Bronshteĭn|first=Ilia|last2=Semendiaev|first2=K. A.|title=A Guide Book to Mathematics|publisher=H. Deutsch|year=1971|isbn= 978-3-871-44095-3|ref=harv}}
* {{cite book|last=Eymard|first=, Pierre|last2=, Lafon|first2=, Jean Pierre|year=1999|title=The Number Pi|publisher=American Mathematical Society|year=1999|isbn=978-0-8218-3246-2|ref=harv}}, English translation by Stephen Wilson.
* {{cite book|last=Joseph|first=George Gheverghese|title=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics|publisher=Princeton University Press|year=1991|isbn=978-0-691-13526-7|url=http://books.google.com/?id=c-xT0KNJp0cC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false%7C|ref=harv|accessdate=2013-06-05}}<!-- This ISBN is for the third edition from 2011! -->
* {{cite book|last=Posamentier|first=Alfred S.|last2=Lehmann|first2=Ingmar|title=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number|publisher=Prometheus Books|year=2004|isbn=978-1-59102-200-8|ref=harv}}
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pi"