Wikipedia

Pi: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.317 suntingan
→Bilangan dan analisis kompleks: mengubah titik ke koma
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.317 suntingan
→Deret tak hingga: tak hingga menjadi takhingga
Baris 73:
Astronom Persia [[Jamshīd al-Kāshī]] menghasilkan 16 digit nilai {{pi}} pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3×2<sup>28</sup>,<ref>{{cite journal| first1=Mohammad K. | last1=Azarian | title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary | journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences | volume=22 | issue=2 | year=2010 | pages=64–85 | url=<!-- http://www.xs4all.nl/~nirmala/Azarian2.pdf -->[{{cite journal | first1=Mohammad K. | last1=Azarian | title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary | journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences | volume=22 | issue=2 | year=2010 | pages=64–85 | url=<!-- http://www.xs4all.nl/~nirmala/Azarian2.pdf -->[http://nirmala.home.xs4all.nl/Azarian2.pdf]{{dead link|date=June 2013}} | format=PDF | separator=, | ref=harv }}{{Pranala mati|date=Maret 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}]{{dead link|date=June 2013}} | format=PDF | separator=,| ref=harv}}</ref><ref>{{cite web|author=O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. | year=1999 | title=Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi | work=[[MacTutor History of Mathematics archive]] | url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html | accessdate=Augustus 11, 2012 | separator=,}}</ref>. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun.<ref name="Arndt_f">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=182}}</ref> Matematikawan Prancis [[François Viète]] pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×2<sup>17</sup>.<ref name="Arndt_f" /> Matematikawan [[Flandria]] mencapai 15 digit desimal pada tahun 1593.<ref name="Arndt_f" /> Pada tahun 1596, matematikawan Belanda [[Ludolph van Ceulen]] mencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=182–183}}</ref> Ilmuwan Belanda [[Willebrord Snellius]] mencapai 34 digit pada tahun 1621,<ref name="Arndt_g">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=183}}</ref> dan astronom Austria [[Christoph Grienberger]] mencapai 38 digit pada tahun 1630,<ref>[[Christoph Grienberger|Grienberger, Christoph]] (1960), ''[https://web.archive.org/web/20140201234124/http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf Elementa Trigonometrica]'' (PDF) (dalam bahasa Latin) Diarsipkan dari [http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf aslinya] (PDF) pada tanggal 1 Februari 2014. Pendekatannya adalah 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref><ref group="n">Nilai evaluasinya sebesar 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < {{pi}} < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref> adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.<ref name="Arndt_g" />
 
=== Deret tak hinggatakhingga ===
Perhitungan {{pi}} direvolusi oleh berkembangnya teknik [[deret tak hinggatakhingga]] pada abad ke-16 dan 17. Deret tak hinggatakhingga merupakan penjumlahan deretan suku-suku yang tak terhingga banyaknya.<ref name="Ais">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–191}}</ref> Hal ini memungkinkan matematikawan menghitung nilai {{pi}} dengan presisi yang melebihi metode [[Archimedes]].<ref name="Ais" /> Walaupun metode deret tak hinggatakhingga utamanya digunakan oleh matematikawan Eropa untuk menghitung nilai {{pi}}, pendekatan ini pertama kali ditemukan di [[India]] antara tahun 1400 dan 1500.<ref name="Roypp"/><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–186}}</ref> Deskripsi tertulis pertama mengenai deret tak hinggatakhingga yang dapat digunakan untuk menghitung {{pi}} terdapat dalam ayat Sanskerta yang ditulis oleh astronom India [[Nilakantha Somayaji]] dalam buku ''[[Tantrasamgraha]]'' sekitar tahun 1500.<ref name="Roypp">{{harvnb|Roy|1990|pp=101–102}}</ref> Deret ini diberikan tanpa pembuktian, walaupun pembuktian ini kemudian diberikan kemudian dalam [[Yuktibhāṣā]] sekitar tahun 1530. Nilakantha memberi kredit penemuan deret ini kepada matematikawan India [[Madhava dari Sangamagrama]] yang hidup antara tahun 1350&nbsp;– c.&nbsp;1425.<ref name="Roypp" /> Beberapa deret tak terhingga dijelaskan, meliputi deret untuk sinus, tangen, dan kosinus, yang dikenal sebagai [[deret Madhava]] atau [[deret Gregory-Leibniz]].<ref name="Roypp" /> Madhava menggunakan deret tak hinggatakhingga untuk memperkirakan nilai {{pi}} sampai dengan 11 digit sekitar tahun 1400. Namun rekor tersebut dikalahkan oleh matematikawan Persia [[Jamshīd al-Kāshī]] pada tahun 1430 menggunakan algoritme poligon.<ref>{{harvnb|Joseph|1991|p=264}}</ref>
[[Berkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|jmpl|lurus|alt=A formal portrait of a man, with long hair|[[Isaac Newton]] menggunakan deret tak hinggatakhingga untuk menghitung nilai {{pi}} sampai 15 digit.<ref name="Newton" />]]
Deret tak hinggatakhingga yang ditemukan di Eropa pertama kali adalah [[perkalian tak hinggatakhingga]] (daripada [[penjumlahan tak hinggatakhingga]]), yang ditemukan oleh matematikawan Prancis [[François Viète]] pada tahun 1593:<ref name="Arndt_h">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=187}}</ref>
 
: <math> \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots</math>
 
Deret tak hinggatakhingga kedua yang ditemukan di Eropa oleh [[John Wallis]] pada tahun 1655 juga merupakan perkalian tak hinggatakhingga.<ref name="Arndt_h" /> Penemuan [[kalkulus]] oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] pada tahun 1660-an mendorong perkembangan banyak deret tak hinggatakhingga untuk menghitung nilai {{pi}}. Newton sendiri menggunakan deret arka sinus untuk menghitung {{pi}} sampai dengan 15 digit pada tahun 1665 atau 1666.<ref name="Newton">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=188}}. Newton quoted by Arndt.</ref>
 
Di Eropa, rumus Madhava ditemukan ulang oleh matematikawan Skotlandia [[James Gregory (matematikawan)|James Gregory]] pada tahun 1671, dan oleh Leibniz pada tahun 1674:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=188–189}}</ref><ref name="LS" />
Baris 97:
 
==== Laju konvergensi ====
Beberapa deret tak hinggatakhingga untuk {{pi}} berkonvergen lebih cepat daripada yang lainnya. Matematikawan biasanya akan menggunakan deret yang lebih cepat berkonvergen untuk menghemat waktu sampai dengan tingkat akurasi tertentu.<ref name="Aconverge">{{cite journal|last=Borwein|first=J. M.|last2=Borwein|first2=P. B.|title=Ramanujan and Pi|year=1988|journal=Scientific American|volume=256|issue=2|pages=112–117|ref=harv|bibcode=1988SciAm.258b.112B|doi=10.1038/scientificamerican0288-112}}<br />{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202}}</ref> Deret tak terhingga untuk {{pi}} yang sederhana misalnya [[rumus Leibniz untuk π|deret Gregory-Leibniz]]:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=69–72}}</ref>
:<math> \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots</math>
akan perlahan-lahan mendekati {{pi}}. Nilainya berkonvergen sangat lambat. Sampai dengan suku ke 500.000, deret ini hanya menghasilkan lima digit desimal yang benar untuk {{pi}}.<ref>{{cite journal|last=Borwein|first=J. M.|last2=Borwein|first2=P. B.|last3=Dilcher|first3=K.|year=1989|title=Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1989-10_96_8/page/681|journal=American Mathematical Monthly|volume=96|issue=8|pages=681–687|doi=10.2307/2324715|ref=harv }}</ref>
Baris 109:
{|class="wikitable" style="text-align: center; "
|-
! Deret tak hinggatakhingga untuk {{pi}} !! Setelah suku ke-1 !! Setelah suku ke-2 !! Setelah suku ke-3 !! Setelah suku ke-4 !! Setelah suku ke-5 !! Berkonvergen ke:
|-
| <math>\scriptstyle \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} \cdots.</math>
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pi"