Pi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Teori bilangan dan fungsi zeta Riemann: memperbaiki pranala, bagian daftar tabel rumus melibatkan pi sebaiknya dipindahkan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) pemindahan sub-subjudul (dengan alasan tidak relevan pada subjudul) |
||
Baris 49:
* '''[[Heksadesimal]]''': Pendekatan [[Radix|basis]] 16 hingga 20 digit adalah {{gaps|3,243F|6A88|85A3|08D3|1319...}}<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=242}}</ref>
* '''[[Seksagesimal]]''': Pendekatan basis 60 hingga lima digit seksagesimal adalah 3;8,29,44,0,47<ref>{{citation|title=Abu-r-Raihan al-Biruni, 973-1048|last=Kennedy|first=E. S.|journal=Journal for the History of Astronomy|volume=9|page=65|bibcode=1978JHA.....9...65K|doi=10.1177/002182867800900106}}.</ref><ref group="n">[[Ptolemaeus]] menggunakan pendekatan tiga-digit-seksagesimal, dan [[Jamshīd al-Kāshī]] mengembangkan pendekatan ini hingga sembilan digit; lihat {{Citation |last= Aaboe |first= Asger |authorlink = Asger Aaboe |year= 1964 |title= Episodes from the Early History of Mathematics |series = New Mathematical Library |volume = 13 |publisher= Random House |publication-place= New York |page=125|url=http://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA125}}.</ref>
[[Berkas:Euler's_formula.svg|al=A diagram of a unit circle centered at the origin in the complex plane, including a ray from the center of the circle to its edge, with the triangle legs labeled with sine and cosine functions.|jmpl|Asosiasi antara <math>e</math> pangkat [[bilangan imajiner]] dan [[Titik (geometri)|titik-titik]] pada [[lingkaran satuan]] yang berpusat pada titik [[Pusat (matematika)|pusat]] di [[bidang kompleks]] dinyatakan oleh [[rumus Euler]].]]▼
Suatu [[bilangan kompleks]], katakan <math>z</math>, dapat dinyatakan menggunakan pasangan [[bilangan real]]. Dalam [[Sistem koordinat polar#Bilangan kompleks|sistem koordinat polar]], jari-jari (dilambangkan <math>r</math>) digunakan untuk menyatakan jarak <math>z</math> dari [[Titik nol|titik pusat]] ke pusat [[bidang kompleks]], sedangkan sudut (dilambangkan <math>\varphi</math>) menyatakan [[putaran]] berlawanan arah jarum jam dari garis bilangan real positif:<ref>{{harvnb|Ayers|1964|p=100}}</ref>▼
: <math>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)</math>,▼
dengan <math>i</math> adalah [[unit imajiner]] dari <math>i^2 = -1</math>. Kemunculan penggunaan <math>\pi</math> dalam [[analisis kompleks]] dapat dihubungkan dengan perilaku [[fungsi eksponensial]] variabel kompleks, yang dijelaskan oleh [[rumus Euler]]:<ref name="EF2">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|p=592}}</ref>▼
: <math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi</math>,▼
dengan [[E (konstanta matematika)|konstanta {{math|''e''}}]] adalah basis [[logaritma natural]]. Rumus ini menghasilkan hubungan antara <math>e</math> pangkat bilangan imajiner dan titik-titik pada [[lingkaran satuan]] yang berpusat pada [[Titik nol|titik pusat]] di [[bidang kompleks]]. Substitusi <math>\varphi = \pi</math> dalam rumus Euler menghasilkan [[identitas Euler]], disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima konstanta matematika paling penting:<ref name="EF2" /><ref>{{cite|author=Maor, Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=Princeton University Press|year=2009|page=160|ISBN=978-0-691-14134-3}} ("lima tetapan terpenting").</ref>▼
: <math>e^{i \pi} + 1 = 0</math>.▼
Sebanyak <math>n</math> [[bilangan kompleks]] <math>z</math> yang berbeda dalam persamaan <math>z^n = 1</math>, disebut "[[akar persatuan]] ({{Lang-en|root of unity}}) ke-<math>n</math>".<ref>{{MathWorld|RootofUnity|Roots of Unity}}</ref> Rumus di atas dinyatakan dalam persamaan:▼
: <math>e^\frac{2 \pi i k}{n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)</math>.▼
== Sejarah ==
Baris 88 ⟶ 106:
</math>
Rumus ini, yang disebut deret Gregory-Leibniz, sama dengan <math>\scriptstyle \pi/4</math> ketika dievaluasi bersama dengan {{math|''z''}} = 1.<ref name="LS">{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|pp=53–54}}</ref> Pada tahun 1699, matematikawan Inggris [[Abraham Sharp]] menggunakan deret ini untuk menghitung {{pi}} sampai dengan 71 digit, dan memecahkan rekor 39 digit sebelumnya.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=189}}</ref> Deret Gregory-Leibniz cukup sederhana, namun
Pada tahun 1706, [[John Machin]] menggunakan deret Gregory-Leibniz untuk menghasilkan algoritme yang berkonvergen lebih cepat:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=192–193}}</ref>
Baris 171 ⟶ 189:
:<math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right)</math>
dengan <math>\mathit{q}</math> adalah [[konstanta Gelfond|{{math|e}}<sup>{{pi}}</sup>]] (konstanta Gelfond), <math> \mathit{k}</math> adalah [[bilangan ganjil]], dan <math>\mathit{a, b, c}</math> adalah bilangan rasional tertentu yang dikomputasi Plouffe.<ref>{{cite web|first=Simon|last=Plouffe|authorlink=Simon Plouffe|title=Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2)|date=April 2006|url=<!-- http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf -->http://plouffe.fr/simon/inspired2.pdf|accessdate=10 April 2009}}</ref>
{{multiple image▼
|direction=horizontal▼
|footer=[[Metode Monte Carlo]], berdasarkan percobaan acak, dapat digunakan untuk mengaproksimasi {{pi}}.▼
|width1=166▼
|image1=Buffon needle.svg▼
|caption1=[[Jarum Buffon]]. Jarum ''a'' dan ''b'' dijatuhkan secara acak.▼
|alt1=Jarum dengan panjang ''ℓ'' terpencar pada garis dengan lebar ''t''▼
|width2=100▼
|image2=Pi 30K.gif|▼
|caption2=Noktah-noktah acak diletakkan pada kuadran persegi dengan satu lingkaran di dalamnya.▼
|alt2=Ratusan noktah secara acak menutupi suatu persegi dan suatu lingkaran yang disisipkan dalam persegi.▼
}}▼
[[Metode Monte Carlo]], yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasi {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=39}}</ref> [[Jarum Buffon]] adalah salah satu tekniknya: Jika sebuah jarum dengan panjang {{math|''ℓ''}} dijatuhkan {{math|''n''}} kali di atas permukaan yang di atasnya digambar garis paralel yang dipisahkan sebesar {{math|''t''}} satuan, dan jika dari {{math|''x''}} kali ia jatuh melintasi garis ({{math|''x''}} > 0), maka aproksimasi {{pi}} dapat ditentukan berdasarkan perhitungan:<ref name="bn">{{cite journal|last=Ramaley|first=J. F.|date=October 1969|title=Buffon's Noodle Problem|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1969-10_76_8/page/916
: <math>\pi \approx \frac{2n\ell}{xt}</math>▼
Metode Monte Carlo lainnya untuk menghitung {{pi}} adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dalam sebuah persegi, dan meletakkan noktah-noktah secara acak di dalam perseegi. Perbandingan noktah di dalam lingkaran terhadap jumlah noktah total akan kira-kira sama dengan {{math|π/4}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=39–40}}</ref><ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=105}}</ref>▼
Metode Monte Carlo untuk memperkirakan {{pi}} sangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakan {{pi}} ketika diperlukan kecepatan atau akurasi.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=43}}</ref><ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|pp=105–108}}</ref>▼
=== Algoritme keran ===
Baris 202 ⟶ 241:
Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari {{pi}}, sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2{{pi}},<ref name="WCS">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=210–211}}</ref> sehingga untuk suautu sudut ''θ'' dan suatu bilangan bulat {{math|''k''}}, <math>\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)</math> dan <math>\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right).</math><ref name="WCS" />
▲==== Metode Monte Carlo ====
▲{{multiple image
▲|direction=horizontal
▲|footer=[[Metode Monte Carlo]], berdasarkan percobaan acak, dapat digunakan untuk mengaproksimasi {{pi}}.
▲|width1=166
▲|image1=Buffon needle.svg
▲|caption1=[[Jarum Buffon]]. Jarum ''a'' dan ''b'' dijatuhkan secara acak.
▲|alt1=Jarum dengan panjang ''ℓ'' terpencar pada garis dengan lebar ''t''
▲|width2=100
▲|image2=Pi 30K.gif|
▲|caption2=Noktah-noktah acak diletakkan pada kuadran persegi dengan satu lingkaran di dalamnya.
▲|alt2=Ratusan noktah secara acak menutupi suatu persegi dan suatu lingkaran yang disisipkan dalam persegi.
▲}}
▲[[Metode Monte Carlo]], yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasi {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=39}}</ref> [[Jarum Buffon]] adalah salah satu tekniknya: Jika sebuah jarum dengan panjang {{math|''ℓ''}} dijatuhkan {{math|''n''}} kali di atas permukaan yang di atasnya digambar garis paralel yang dipisahkan sebesar {{math|''t''}} satuan, dan jika dari {{math|''x''}} kali ia jatuh melintasi garis ({{math|''x''}} > 0), maka aproksimasi {{pi}} dapat ditentukan berdasarkan perhitungan:<ref name="bn">{{cite journal|last=Ramaley|first=J. F.|title=Buffon's Noodle Problem|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1969-10_76_8/page/916|jstor=2317945|journal=The American Mathematical Monthly|volume=76|issue=8|date=October 1969|pages=916–918|doi=10.2307/2317945|ref=harv}}</ref>
▲: <math>\pi \approx \frac{2n\ell}{xt}</math>
▲Metode Monte Carlo lainnya untuk menghitung {{pi}} adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dalam sebuah persegi, dan meletakkan noktah-noktah secara acak di dalam perseegi. Perbandingan noktah di dalam lingkaran terhadap jumlah noktah total akan kira-kira sama dengan {{math|π/4}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=39–40}}</ref><ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=105}}</ref>
▲Metode Monte Carlo untuk memperkirakan {{pi}} sangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakan {{pi}} ketika diperlukan kecepatan atau akurasi.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=43}}</ref><ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|pp=105–108}}</ref>
▲=== Bilangan dan analisis kompleks ===
▲[[Berkas:Euler's_formula.svg|al=A diagram of a unit circle centered at the origin in the complex plane, including a ray from the center of the circle to its edge, with the triangle legs labeled with sine and cosine functions.|jmpl|Asosiasi antara <math>e</math> pangkat [[bilangan imajiner]] dan [[Titik (geometri)|titik-titik]] pada [[lingkaran satuan]] yang berpusat pada titik [[Pusat (matematika)|pusat]] di [[bidang kompleks]] dinyatakan oleh [[rumus Euler]].]]
▲Suatu [[bilangan kompleks]], katakan <math>z</math>, dapat dinyatakan menggunakan pasangan [[bilangan real]]. Dalam [[Sistem koordinat polar#Bilangan kompleks|sistem koordinat polar]], jari-jari (dilambangkan <math>r</math>) digunakan untuk menyatakan jarak <math>z</math> dari [[Titik nol|titik pusat]] ke pusat [[bidang kompleks]], sedangkan sudut (dilambangkan <math>\varphi</math>) menyatakan [[putaran]] berlawanan arah jarum jam dari garis bilangan real positif:<ref>{{harvnb|Ayers|1964|p=100}}</ref>
▲: <math>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)</math>,
▲dengan <math>i</math> adalah [[unit imajiner]] dari <math>i^2 = -1</math>. Kemunculan penggunaan <math>\pi</math> dalam [[analisis kompleks]] dapat dihubungkan dengan perilaku [[fungsi eksponensial]] variabel kompleks, yang dijelaskan oleh [[rumus Euler]]:<ref name="EF2">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|p=592}}</ref>
▲: <math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi</math>,
▲dengan [[E (konstanta matematika)|konstanta {{math|''e''}}]] adalah basis [[logaritma natural]]. Rumus ini menghasilkan hubungan antara <math>e</math> pangkat bilangan imajiner dan titik-titik pada [[lingkaran satuan]] yang berpusat pada [[Titik nol|titik pusat]] di [[bidang kompleks]]. Substitusi <math>\varphi = \pi</math> dalam rumus Euler menghasilkan [[identitas Euler]], disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima konstanta matematika paling penting:<ref name="EF2" /><ref>{{cite|author=Maor, Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=Princeton University Press|year=2009|page=160|ISBN=978-0-691-14134-3}} ("lima tetapan terpenting").</ref>
▲: <math>e^{i \pi} + 1 = 0</math>.
▲Sebanyak <math>n</math> [[bilangan kompleks]] <math>z</math> yang berbeda dalam persamaan <math>z^n = 1</math>, disebut "[[akar persatuan]] ({{Lang-en|root of unity}}) ke-<math>n</math>".<ref>{{MathWorld|RootofUnity|Roots of Unity}}</ref> Rumus di atas dinyatakan dalam persamaan:
▲: <math>e^\frac{2 \pi i k}{n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)</math>.
=== Rumus integral Cauchy ===
| |||