Luas: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k ~ rapikan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) melakukan perubahan: memindahkan subbagian "Sejarah" dan "Beberapa satuan luas" (diubah menjadi "Satuan luas"), merubah rumus menjadi LaTeX. Di bagian "Luas lingkaran" diberi referensi dan menghapus bagian yang tidak penting (karena nantinya akan dialihkan ke Luas lingkaran, periksa terjemahan pada bagian Sejarah, memperbaiki istilah matematika, serta menghapus "Simetri lipat dan putar" karena memang tidak ada hubungannya dengan halaman ini. |
||
Baris 1:
{{Infobox physical quantity
| name = Luas
Baris 6 ⟶ 5:
| symbols = ''A''
}}
'''Luas'''
== Satuan luas ==
{{Bagian tanpa referensi|date=Desember 2021}}
[[Satuan]] luas pokok menurut [[SI (satuan ukur)|Sistem Internasional]] adalah [[meter persegi]], sedangkan menurut [[sistem Imperial]] adalah [[kaki persegi]]. Ukuran yang berlaku nasional dan internasional bersifat eksak, sedangkan yang dipakai secara lokal dapat agak bervariasi. Untuk satuan lainnya yang biasa dipakai sehari-hari dapat dilihat di bawah.
=== Ukuran internasional dan nasional ===
* [[meter persegi]] (m<sup>2</sup>)
* [[are]] = ''tumbuk'' (di [[Jambi]]) = 100 meter persegi = 100 sentiare (ca)
* [[hektare]] (ha) = 100 are = 10.000 meter persegi
* [[kilometer persegi]] (km<sup>2</sup>) = 100 hektare = 10 000 are = 1.000.000 meter persegi
* [[kaki (ukuran)|kaki]] persegi = 144 (= 12 × 12) [[inci]] persegi = 0,092 903 04 meter persegi
* [[yard]] (ela) persegi = 9 (= 3 × 3) kaki persegi = 0,836 127 36 meter persegi
* [[ekar]] (lebih dikenal di [[Malaysia]]) = ''acre'' = 10 [[Rantai (ukuran)|rantai]] persegi (= satu ''[[furlong]]'' dikalikan satu rantai = 4.840 yard persegi = 43.560 kaki persegi = 4.046,856 422 4 meter persegi
* [[mil persegi]] = 640 ekar = 2,589 988 110 336 kilometer persegi
=== Ukuran lokal Indonesia ===
Beberapa satuan luas (terutama untuk lahan) yang bersifat lokal dikenal di Indonesia.
* [[ubin (luas)|ubin]] (nasional) = ru (Jawa Tengah) = tumbak/tombak (Jawa Barat) = 14,0625 (= 3,75 × 3,75) meter persegi
* [[Bahu (agraria)|bahu]] (bau, bouw) = 500 ubin = 7.031,25 meter persegi (≈ 0,7 ha) (lihat artikelnya untuk variasi ukuran)
* ''anggar'' (di [[Kalimantan Barat]]) ≈ 1/33 hektare
* ''borong'' (di [[Kalimantan Barat]]) = 1/6 hektare
* ''kesuk'' (di Jawa Mataraman), bervariasi dari 1.000 meter persegi hingga 1/6 hektare.
* ''rakit'' ([[Pantura]] Jawa) ≈ 1.000 meter persegi
* rantai (sebenarnya rantai persegi, dipakai di perkebunan [[Pulau Sumatra|Sumatra]]) = 484 (22 × 22) yard persegi = 404,685 644 24 meter persegi
== Sejarah ==
{{Periksa terjemahan|en|Area#History}}
=== Luas lingkaran ===
Pada abad ke-5 SM, [[Hippocrates
Selanjutnya, Buku I [[Euclid's Elements|Euclid's ''Elements'']] membahas persamaan luas antara gambar dua dimensi. Ahli matematika [[Archimedes]] menggunakan perkakas [[geometri Euklides]] untuk menunjukkan bahwa luas di dalam lingkaran sama dengan luas [[segitiga siku-siku]] yang alasnya memiliki panjang keliling lingkaran dan yang tingginya sama dengan jari-jari lingkaran, dalam bukunya ''[[Pengukuran Lingkaran]]''. (Kelilingnya 2{{pi}}''r'', dan luas segitiga adalah setengah alas dikalikan tinggi, menghasilkan luas {{pi}}''r''<sup>2</sup> untuk disk.) Archimedes mendekati nilai π (dan karenanya luas lingkaran radius-satuan) dengan [[Luas disk#
Metode penggandaan#Archimedes|metode penggandaannya]], di mana dia menuliskan segitiga biasa dalam lingkaran dan mencatat luasnya, lalu gandakan jumlah sisinya untuk menghasilkan [[segi enam]] yang teratur, kemudian berulang kali menggandakan jumlah sisi karena luas poligon semakin dekat dan dekat dengan lingkaran (dan lakukan hal yang sama dengan [[poligon berbatas]].
Ilmuwan Swiss [[Johann Heinrich Lambert]] pada tahun 1761 membuktikan bahwa [[pi|π]], rasio luas lingkaran terhadap radius kuadratnya, adalah [[bilangan irasional|irasional]], artinya itu tidak sama dengan hasil bagi dari dua bilangan bulat apa pun.<ref name="Arndt">{{cite book|
=== Luas segitiga ===
[[
Pada tahun 499 [[Aryabhata]], seorang [[matematikawan]]-[[astronom]] hebat dari zaman klasik [[matematika India]] dan [[astronomi India]], menyatakan luas segitiga sebagai satu-setengah alas kali tinggi di ''[[Aryabhatiya]]'' (bagian 2.6).
Baris 96 ⟶ 65:
Perkembangan [[kalkulus integral]] di akhir abad ke-17 menyediakan alat yang nantinya dapat digunakan untuk menghitung area yang lebih rumit, seperti luas [[Elips#Luas|elips]] dan [[luas permukaan]] dari berbagai objek tiga dimensi melengkung.
== Definisi formal ==
{{Lihat pula|Ukuran Jordan}}
Pendekatan untuk mendefinisikan apa yang dimaksud dengan "luas" adalah melalui aksioma . "Luas" dapat didefinisikan sebagai fungsi dari kumpulan <math>M</math> dari gambar bidang jenis khusus (disebut himpunan terukur) ke himpunan [[bilangan real]], yang memenuhi sifat berikut:
* Untuk semua <math>S</math> dalam ''<math>M</math>,'' <math>a(S) \ge 0</math>.
* Jika ''<math>S</math>'' dan <math>T</math> berada di ''<math>M</math>'', maka <math>S \cup T</math> dan <math>S \cap T</math>. Dan juga, <math>a(S \cup T) = a(S) + a(T) - a(S \cap T)</math>.
* Jika ''<math>S</math>'' dan ''<math>T</math>'' berada di ''<math>M</math>'' dengan <math>S \subseteq T</math>, maka <math>T - S</math> berada di <math>M</math> dan <math>a(T-S) = a(T) - a(S)</math>''.''
* Jika himpunan ''<math>S</math>'' dalam ''<math>M</math>'' dan ''<math>S</math>'' kongruen dengan ''T'' maka ''T'' juga dalam ''M'' dan ''a ( S ) = a ( T )''.
* Setiap persegi panjang <math>R</math> adalah di ''<math>M</math>''. Jika persegi panjang memiliki panjang <math>h</math> dan lebarnya <math>k</math> maka <math>a(R) = hk</math>.
* Misalkan <math>Q</math> adalah himpunan yang tertutup antara dua daerah langkah ''<math>S</math>'' dan <math>T</math>. Sebuah daerah langkah dibentuk dari gabungan hingga persegi panjang damping yang terletak di basis umum, yaitu <math>S \subseteq Q \subseteq T</math>. Jika ada bilangan tunggal <math>c</math> sehingga <math>a(S) \le c \le a(T)</math> untuk semua daerah langkah ''<math>S</math>'' dan <math>T</math>, maka <math>a(Q) = c</math>.
Sifat di atas dapat dibuktikan bahwa fungsi luas benar-benar ada.<ref name=Moise>{{cite book|last=Moise|first=Edwin|title=Elementary Geometry from an Advanced Standpoint|url=https://archive.org/details/elementarygeomet0000mois|url-access=registration|accessdate=15 Juli 2012|tahun=1963|publisher= Addison-Wesley Pub. Co.|isbn=|page=}}</ref>
== Rumus ==
=== Rumus poligon ===
{{utama|Poligon}}
Untuk poligon takberpotongan-diri (sederhana), [[koordinat kartesius]] <math>(x_i, y_i)</math> dengan <math>i = 0,1,\dots,n-1</math> dan ''n''-[[Verteks (geometri)|verteks]]<nowiki/>nya diketahui, luas tersebut diberikan oleh [[Rumus tali sepatu|rumus surveyor]]
:<math>A = \frac{1}{2} \left| \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) \right|</math>
di mana ketika <math>i = n - 1</math>, maka <math>i+1</math> dinyatakan sebagai modulus <math>n</math> dan mengacu ke 0.
=== Lingkaran ===
{{utama|Luas lingkaran}}
[[Berkas:CircleArea.svg|jmpl|ka|alt=A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram|Sebuah [[lingkaran]] yang membentuk bagian-bagian menjadi persegi panjang.]]
Diberikan <math>r</math> adalah [[jari-jari]] pada sebuah lingkaran. Lingkaran tersebut memotong menjadi bagian yang sama besar (seperti pada gambar di samping). Setiap bagian yang dipotong mirip seperti segitiga. Bila disusun menjadi persegi panjang, maka didapati tingginya adalah jari-jari lingkaran.dan panjangnya adalah keliling lingkaran, <math>\pi r</math>. Maka, didapati luas pada lingkaran:<ref name=":1">{{Cite book|last=Salamah|first=Umi|date=2015|title=Berlogika dengan Matematika untuk Kelas VIII SMP dan MTs|isbn=978-979-018-702-3|pages=130|url-status=live}}</ref>
: <math> L = \pi r^2 </math>
:
=== Luas dalam [[kalkulus]] ===
{{utama|Kalkulus}}
[[Berkas:Integral as region under curve.svg|jmpl|alt=A diagram showing the area between a given curve and the x-axis|Integral dapat dianggap sebagai mengukur area di bawah kurva, yang didefinisikan oleh f (x), antara dua titik (di sini a dan b ).]]
[[Berkas:Areabetweentwographs.svg|jmpl|alt=A diagram showing the area between two functions|Luas antara dua grafik dapat dievaluasi dengan menghitung perbedaan antara integral dari dua fungsi.]]
* Luas antara kurva bernilai positif dan sumbu horizontal, diukur antara dua nilai a dan b (b didefinisikan sebagai lebih besar dari dua nilai) pada sumbu horizontal, diberikan oleh integral dari a ke b dari fungsi yang mewakili kurva: <ref name=MathWorld/>
:<math> A = \int_a^{b} f(x) \, dx.</math>
* Luas antara grafik dua fungsi sama dengan integral dari satu fungsi , f ( x ), minus integral dari fungsi lainnya, g ( x ):<math> A = \int_a^{b} ( f(x) - g(x) ) \, dx, </math> where <math> f(x) </math> adalah kurva dengan nilai y yang lebih besar.
* Luas yang dibatasi oleh fungsi r = r (θ) yang dinyatakan dalam koordinat polar adalah:<ref name=MathWorld/>
:<math>A = {1 \over 2} \int r^2 \, d\theta. </math>
* Luas tertutup oleh kurva parametrik <math>\vec u(t) = (x(t), y(t)) </math> dengan titik akhir <math> \vec u(t_0) = \vec u(t_1) </math> diberikan oleh garis [[integral]]:
::<math> \oint_{t_0}^{t_1} x \dot y \, dt = - \oint_{t_0}^{t_1} y \dot x \, dt = {1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} (x \dot y - y \dot x) \, dt </math> ( Lihat [[teorema Green]] ) atau komponen <math>z</math> dari:<math>{1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} \vec u \times \dot{\vec u} \, dt.</math>
=== Daerah yang dibatasi antara dua fungsi kuadrat ===
Untuk menemukan luas yang dibatasi antara dua [[fungsi kuadrat]], kita kurangi satu dari yang lain untuk menuliskan perbedaannya sebagai
:<math>f(x)-g(x)=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)</math>
di mana <math>f(x)</math> adalah batas atas kuadratik dan <math>g(x)</math> adalah batas bawah kuadratik. Dapat menentukanm diskriminan dari <math>f(x) - g(x)</math> sebagai <ref>{{cite book|title=Matematika|url=https://books.google.com/books?id=NFkVfrZBqpUC&pg=PA51|publisher=PT Grafindo Media Pratama|isbn=978-979-758-477-1|pages=51–|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170320100900/https://books.google.com/books?id=NFkVfrZBqpUC&pg=PA51|archivedate=2017-03-20}}</ref><ref>{{cite book|title=Get Success UN +SPMB Matematika|url=https://books.google.com/books?id=uwqvITs8OaUC&pg=PA157|publisher=PT Grafindo Media Pratama|isbn=978-602-00-0090-9|pages=157–|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20161223115304/https://books.google.com/books?id=uwqvITs8OaUC&pg=PA157|archivedate=2016-12-23}}</ref>
:<math>A=\frac{\Delta\sqrt{\Delta}}{6a^2}=\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3,\qquad a\neq0.</math>
Di atas tetap valid jika salah satu fungsi pembatas adalah linear, bukan kuadratik.
== Rumus luas ==
Baris 150 ⟶ 168:
|}
== Lihat pula ==
*
== Referensi ==
| |||