Bilangan segitiga kuadrat: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Penggantian teks otomatis (-[Tt]autan\s[Ee]ksternal +Pranala luar) |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) perbaiki terjemahan (kalau masih kurang, silahkan tag {{periksa terjemahan}} (nanti dibantu sama pengguna lain) |
||
Baris 1:
[[Berkas:Nicomachus_theorem_3D.svg|ka|jmpl| Kotak yang panjang sisinya adalah angka segitiga dapat dipartisi menjadi kotak dan setengah kotak yang luasnya menambah kubus. Dari {{Harvard citation text|Gulley|2010}} . ]]
Dalam [[Teori bilangan|teorema bilangan]], jumlah <math>n </math> [[Pangkat tiga|kubik]] pertama adalah kuadrat dari bilangan [[Bilangan segitiga|segitiga]] ke-<math>n </math>.
: <math>1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2.</math>
Baris 9:
: <math>\sum_{k=1}^n k^3 = \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.</math>
[[ Identitas (matematika) |Identitas]] tersebut terkadang disebut juga '''teorema Nicomachus'''
== Sejarah ==
Pada akhir Bab 20 dari ''Pengantar Aritmatika'' (''Introduction to Arithmetic''), Nicomachus menunjukkan bahwa jika ditulis daftar bilangan ganjil, yang pertama adalah <math>1^3</math>, jumlah kedua berikutnya adalah <math>2^3</math>, jumlah ketiga berikutnya adalah <math>3^3</math>, dan seterusnya.
Awalnya, banyak matematikawan telah mempelajari dan membuktikan tentang teorema Nicomachus. {{Harvard citation text|Stroeker|1995}} mengatakan: "''setiap orang yang mempelajari teorema bilangan pasti akan kagum dengan fakta ajaib ini''".{{Harvard citation text|Pengelley|2002}} menemukan sumber untuk identitas tidak hanya dalam karya [[Nicomachus]] di tempat yang sekarang di [[Yordania|Jordan]] pada abad pertama M, tetapi juga pada orang-orang [[Aryabhata]] di [[India]] pada abad kelima, dan pada orang-orang dari [[Al-Karaji]] sekitar 1000 di [[Iran|Persia]]. {{Harvard citation text|Bressoud|2004}} menyebutkan beberapa tambahan awal karya matematika pada rumus ini, oleh [[ Al-Qabisi |Al-Qabisi]] (Arab abad kesepuluh), [[Lewi ben Gerson|Gersonides]] (sekitar tahun 1300 Prancis), dan [[Nilakantha Somayaji]] (sekitar 1500 India); ia memancarkan kembali tentang bukti visual Nilakantha.
== Nilai
Urutan-urutan pada bilangan segitiga kuadrat adalah:
: [[0]],[[1]], [[9]], [[36]], [[100]], 225, 441, 784, 1296, 225, 3025, 4356, 084, 8281, .... {{OEIS|id=A000537}}.
Bilangan-bilangan ini dapat dilihat sebagai [[bilangan figurasi]], sebuah generalisasi
{{Harvard citation text|Stein|1971}} mengamati bilangan tersebut bahwa bilangan ini juga menghitung jumlah persegi panjang dengan sisi horizontal dan vertikal dibentuk dalam sebuah <math>n \times n </math> [[ Kisi persegi |kisi]]. Sebagai contoh, titik-titik pada <math>4\times4</math> [[ Kisi persegi |kisi]], (atau kotak yang terdiri dari tiga kotak kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda Jumlah kuadrat dalam kisi kuadrat tersebut sama degan jumlah piramidal kuadrat.
Identitas tersebut juga mengakui interpretasi probabilistik sebagai berikut. Misalkan <math>X,Y,Z,W \in \mathbb{Z} </math>. Keempat bilangan bulat tersebut dipilih secara independen dan beraturan secara acak antara <math>1</math> dan <math>n </math>. Kemudian, probabilitasnya adalah <math>W </math> menjadi yang paling terbesar dari keempat bilangan sama dengan probabilitas dimana kedua <math>Y </math> setidaknya sebesar <math>X </math> dan <math>W </math> setidaknya sebesar <math>Z </math>, yaitu: ▼
▲Misalkan <math>X,Y,Z,W \in \mathbb{Z} </math>. Keempat bilangan bulat tersebut dipilih secara independen dan beraturan secara acak antara <math>1</math> dan <math>n </math>. Kemudian, probabilitasnya adalah <math>W </math> menjadi yang paling terbesar dari keempat bilangan sama dengan probabilitas dimana kedua <math>Y </math> setidaknya sebesar <math>X </math> dan <math>W </math> setidaknya sebesar <math>Z </math>, yaitu:
<math>\mathbf{P}({\max(X,Y,Z) \leq W}) = \mathbf{P}(\{X \leq Y\} \cap \{Z \leq W\}) </math>
Baris 42 ⟶ 40:
: <math>n^3 =\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}} (2 k-1),</math>
dan demikian penjumlahan membentuk <math>n^3 </math> mulai setelah mereka membentuk semua nilai sebelumnya <math>1^3 </math> hingga <math>(n-1)^3</math> . Dengan menerapkan
: <math>n^2 = \sum_{k=1}^n (2k-1),</math>
Baris 57 ⟶ 55:
\end{align}</math>
{{harvtxt|Row|1893}} mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan
baris ke-<math>i</math> adalah <math>i</math> dikalikan dengan bilangan segitiga,
[[Berkas:Sum_of_cubes2.png|ka|jmpl| Secara visual menyatakan bahwa kuadrat dari bilangan segitiga sama dengan jumlah kubus. ]]
Dalam literatur matematika yang lebih baru, {{Harvard citation text|Edmonds|1957}} memberikan sebuah bukti menggunakan [[ Penjumlahan oleh bagian-bagian |penjumlahan oleh bagian-bagian]] . {{Harvard citation text|Stein|1971}} menggunakan interpretasi penghitungan persegi panjang pada bilangan-bilangan ini untuk membentuk bukti geometris pada identitas (lihat juga {{Harvard citation no brackets|Benjamin|Quinn|Wurtz|2006}} ); ia mengamati bahwa itu juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) dengan induksi, dan menyatakan bahwa {{Harvard citation text|Toeplitz|1963}} memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". {{Harvard citation text|Kanim|2004}} memberikan bukti visual murni, {{Harvard citation text|Benjamin|Orrison|2002}} memberikan dua bukti tambahan, dan {{Harvard citation text|Nelsen|1993}} memberikan tujuh bukti geometris.
| |||