Turunan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
melanjutkan alih bahasa; mengatur ulang posisi bagian-bagian |
→Turunan tingkat tinggi: melanjutkan alih bahasa |
||
Baris 117:
== Turunan tingkat tinggi ==
Misalkan {{math|''f''}} adalah fungsi terdiferensialkan, dan misalkan {{math|''f'' ′}} sebagai fungsi turunannya. Turunan dari {{math|''f'' ′}} (jika ada) ditulis sebagai {{math|''f'' ′′}} dan disebut ''[[turunan kedua]] dari {{math|f}}''. Serupa dengan itu, turunan dari turunan kedua, jika ada, ditulis sebagai {{math|''f'' ′′′}} dan disebut ''[[turunan ketiga]] dari {{math|f}}''. Melanjutkan proses ini, turunan ke-{{math|''n''}} dari fungsi dapat didefinisikan, jika turunan tersebut ada, sebagai turunan dari turunan ke-{{math|(''n''−1)}} dari fungsi. Turunan berulang ini disebut ''turunan tingkat tinggi''. Turunan ke-{{math|''n''}} juga dapat dituliskan sebagai {{math|''f'' <sup>(''n'')</sup>}}. Jika {{math|''x''(''t'')}} menyatakan posisi suatu objek pada waktu {{math|''t''}}, maka turunan tingkat tinggi dari {{math|''x''}} memiliki interpretasi khusus dalam bidang [[fisika]]. Turunan pertama dari {{math|''x''}} menyatakan [[kecepatan]] objek, turunan kedua menyatakan besar [[Percepatan|akselerasinya]], sedangkan turunan ketiga dari {{math|''x''}} menyatakan [[Sentakan (fisika)|sentakan]].
Sebuah fungsi {{math|''f''}} tidak harus memiliki turunan (sebagai contoh, karena fungsi tersebut tidak kontinu). Serupa dengan itu, bahkan jika {{math|''f''}} memiliki turunan, fungsi turunan keduanya mungkin tidak ada. Sebagai contoh, misalkan fungsi
== Notasi turunan ==▼
[[Notasi untuk diferensiasi]] yang umum digunakan untuk menunjukan turunan adalah notasi Newton dan Leibniz.▼
: <math>f(x) = \begin{cases} +x^2, & \text{if }x\ge 0 \\ -x^2, & \text{if }x \le 0.\end{cases}</math>
Notasi Newton untuk turunan▼
Perhitungan menunjukkan bahwa {{math|''f''}} adalah fungsi terdiferensialkan dengan besar turunan di <math>x</math> dinyatakan sebagai
* <math>y'</math> adalah notasi untuk turunan pertama.▼
* <math>y''</math> adalah notasi untuk turunan kedua.▼
* <math>f^{(n)}</math> adalah notasi untuk turunan ke-n.▼
* <math>f^{(n)}(a)</math> adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke-n pada <math>a</math>.▼
: <math>f'(x) = \begin{cases} +2x, & \text{if }x\ge 0 \\ -2x, & \text{if }x \le 0.\end{cases}</math>
{{math|''f'''(''x'')}} adalah dua kali fungsi nilai mutlak dari <math>x</math>, dan tidak memiliki turunan di nol. Contoh yang mirip dapat dibuat untuk menunjukkan sebuah fungsi dapat memiliki turunan ke-{{math|''k''}} namun tidak memiliki turunan ke-{{math|(''k'' + 1)}}. Jika suatu fungsi dapat diturunkan {{math|''k''}} kali berturut-turut dan turunan ke-{{math|''k''}}-nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota [[Kemulusan (matematika)|kelas keterdiferensialan]] {{math|''C<sup>k</sup>''}}. Sebuah fungsi yang memiliki tak hingga banyaknya turunan disebut ''[[Kemulusan (matematika)|fungsi mulus]]''.
* <math>\frac{dy}{dx}\,</math> adalah notasi untuk turunan pertama.▼
* <math>\frac{d^2y}{dx^2}\,</math>adalah notasi untuk turunan kedua.▼
* <math>\frac{d^ny}{dx^n}</math>adalah notasi untuk turunan ke-n.▼
* <math>\left. \frac{d^n y}{dx^n} \right |_{x=a}</math>adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke - n pada <math>a</math>.▼
Pada [[garis bilangan real]], setiap [[fungsi polinomial]] terdiferensialkan tak hingga kali. Dengan menggunakan aturan perhitungan turunan (lihat bagian di bawah), sebuah polinomial berderajat {{math|''n''}} akan menjadi [[fungsi konstan]] jika diturunkan sebanyak {{math|''n''}} kali. Semua turunan fungsi tersebut selanjutnya ada, dan sama dengan 0. Hal ini mengartikan fungsi polinomial termasuk fungsi mulus.
Selain kedua notasi tersebut terdapat notasi lain untuk turunan. Notasi lain yang sering digunakan pada [[Mekanika klasik]] adalah▼
Turunan tingkat tinggi dari sebuah fungsi {{math|''f''}} di suatu titik {{math|''x''}} memberikan hampiran polinomial terbaik untuk fungsi tersebut di sekitar {{math|''x''}}. Sebagai contoh, jika {{math|''f''}} terdiferensialkan dua kali, maka
<math>\dot{x}</math> dengan satu titik diatas fungsi menandakan bahwa turunan pertama terhadap waktu (<math>\frac{d}{dt}</math>), dan <math>\ddot{x}</math> dua titik untuk turunan kedua terhadap waktu (<math>\frac{d^2}{dt^2}</math>).▼
: <math> f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac{1}{2} f''(x) h^2</math>
dalam artian bahwa
: <math> \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h - \frac{1}{2} f''(x) h^2}{h^2} = 0.</math>
Jika {{math|''f''}} terdiferensialkan tak hingga kali, maka persamaan turunan dua kali dapat diteruskan menjadi [[deret Taylor]] untuk fungsi {{math|''f''}} yang dievaluasi di {{math|''x'' + ''h''}} sekitar titik {{math|''x''}}.
=== Titik infleksi ===
{{Main|Titik infleksi}}
Sebuah titik dimana nilai turunan sebuah fungsi berubah [[Tanda (matematika)|tanda]] disebut sebagai ''titik infleksi''.<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§4.18}}</ref> Di titik infleksi, nilai turunan kedua mungkin bernilai nol, contohnya pada kasus titik {{math|''x'' {{=}} 0}} pada fungsi <math>f(x) = x^3</math>, atau mungkin tidak terdefinisi, contohnya untuk titik {{math|''x'' {{=}} 0}} pada fungsi <math>f(x) = x^\frac{1}{3}</math>. Di titik infleksi, bentuk fungsi berubah dari [[Fungsi konveks|fungsi konveks (cembung)]] menjadi [[Fungsi konveks|fungsi konkaf (cekung)]], atau sebaliknya.
▲== Notasi turunan ==
{{Main|Notasi untuk diferensiasi}}
▲
=== Notasi Leibniz ===
Baris 172 ⟶ 181:
dan memiliki satuan dimensi yang sama dengan <math>\frac{y}{x^2}</math>.<ref>Perhatikan bahwa <math>\frac{d^2 y}{d x^2}</math> adalah notasi ringkas untuk <math>\frac{d{\frac{dy}{dx}}}{dx}</math>, atau, dalam kata lain '' diferensial kedua dari y terhadap kuadrat dari diferensial pertama dari x''. Penyebut bukanlah diferensial dari ''x''<sup>2</sup>, atau diferensial kedua dari ''x''.</ref>
▲* <math>\frac{dy}{dx}\,</math> adalah notasi untuk turunan pertama.
▲* <math>\frac{d^2y}{dx^2}\,</math>adalah notasi untuk turunan kedua.
▲* <math>\frac{d^ny}{dx^n}</math>adalah notasi untuk turunan ke-n.
▲* <math>\left. \frac{d^n y}{dx^n} \right |_{x=a}</math>adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke - n pada <math>a</math>.
▲Selain kedua notasi tersebut terdapat notasi lain untuk turunan. Notasi lain yang sering digunakan pada [[Mekanika klasik]] adalah
▲<math>\dot{x}</math> dengan satu titik diatas fungsi menandakan bahwa turunan pertama terhadap waktu (<math>\frac{d}{dt}</math>), dan <math>\ddot{x}</math> dua titik untuk turunan kedua terhadap waktu (<math>\frac{d^2}{dt^2}</math>).
=== Notasi Newton ===
▲* <math>y'</math> adalah notasi untuk turunan pertama.
▲* <math>y''</math> adalah notasi untuk turunan kedua.
▲* <math>f^{(n)}</math> adalah notasi untuk turunan ke-n.
▲* <math>f^{(n)}(a)</math> adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke-n pada <math>a</math>.
== Aturan dalam menghitung ==
| |||