Revisi per 10 Maret 2022 08.15 sunting Dedhert.Jr (bicara \| kontrib) 16.172 suntingan →‎Buku daring: Ganti "Derivative" menjadi "Turunan" Tag: Suntingan visualeditor-wikitext ← Revisi sebelumnya		Revisi per 10 Maret 2022 10.03 sunting balikkan Dedhert.Jr (bicara \| kontrib) 16.172 suntingan →‎Aturan dalam menghitung: menerjemahkan dari EN, Derivative#Rules of computation (meski hanya sebagian) Tag: Suntingan visualeditor-wikitext Revisi selanjutnya →
Baris 199: * <math>f^{(n)}(a)</math> adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke-n pada <math>a</math>. == ~~Aturan~~Kaidah dalam menghitung == === ~~Diferensiasi~~Kaidah untuk fungsi dasar === Berikut adalah aturan untuk turunan dari fungsi yang paling dasar, dimana {{Math\|''a''}} bilangan real. ~~Dalam hal ini, {{math\|''y'' {{=}} ''f'' ( ''x'' ) {{=}} ''mx'' + ''b''}}, untuk [[bilangan riil]] {{math\|''m''}} dan {{math\|''b''}} dan kemiringan {{math\|''m''}} diberikan oleh~~ ~~:<math>m=\frac{\text{mengalih pada } y}{\text{mengalih pada } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x},</math>~~ * ''[[Turunan pangkat]]'': ~~Apa itu simbol {{math\|''∆''}} adalah singkatan untuk perubahan.~~ : <math> \~~Delta y~~frac{d}{dx}x^a = ~~f(x + \Delta x)~~ax^{a- ~~f(x)~~1}.</math> Fungsi ''[[Fungsi eksponensial\|eksponensial]]'' dan ''[[logaritma]]'': : <math> \frac{d}{dx}(e^x) = e^x\,.</math>▼ : <math> \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln{(a}\),\qquad a > 0</math>▼ : <math> \frac{d}{dx}(\ln{(x}) = \frac{1}{x}\,\qquad x > 0.</math>▼ : <math> \frac{d}{dx}(\log_a{(x}) = \frac{1}{x \ln{(a)}},\qquad x, a > 0</math>▼ * ''[[Fungsi trigonometri]]'': : <math> \frac{d}{dx}(\sin{(x}) = \cos {(x~~}\,~~).</math>▼ : <math> \frac{d}{dx}(\cos{(x}) = -\sin{(x~~}\,~~).</math>▼ : <math> \frac{d}{dx}(\~~arcsin~~tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\~~sqrt{~~cos^2(x)} = 1 -+ x\tan^2}}(x).</math>▼ ''[[Fungsi invers trigonometri]]'': : <math> \frac{d}{dx}(\~~arccos~~ arcsin(x) = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}},\qquad -1<x<1.</math>▼ : <math> \frac{d}{dx}(\~~arcsec~~ arccos(x) = -\frac{1}{x \sqrt{1-x^2}},\qquad - 1}}<x<1.</math>▼ : <math> \frac{d}{dx}(\arctan (x) = \frac{1}{{1 + x^2}}</math>▼ === {{anchor\|Rules}}Kaidah yang mengabungkan fungsi === ~~Rumus di atas berlaku karena~~ Berikut adalah beberapa aturan paling dasar dalam menghitung turunan [[komposisi fungsi]] melalui turunan dari fungsi dasar. ''Kaidah konstanta'': Jika {{Math\|''f''(''x'')}} adalah konstanta, maka :<math>\begin{align}▼ : <math>~~\frac{d}{dx}~~f'(x^n) = n0. ~~x^{n-1}\,~~</math>▼ ~~y + \Delta y &= f\left( x+\Delta x\right)\\~~ ''[[Linearitas diferensiasi\|Kaidah jumlah]]'': ~~&= m\left( x+\Delta x\right) +b =mx +m\Delta x +b \\~~ : <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' </math> untuk semua fungsi {{Math\|''f''}} dan {{Math\|''g''}}, dan untuk semua bilangan real ''<math>\alpha</math>'' dan ''<math>\beta</math>''. ~~&= y + m\Delta x.~~ ''[[Kaidah darab]]'': \end{align} </math>▼ : <math>(fg)' = f 'g + fg' </math> untuk semua fungsi {{Math\|''f''}} dan {{Math\|''g''}}. Dalam kasus yang istimewa, aturan ini mencakup fakta bahwa <math>(\alpha f)' = \alpha f'</math> bila <math>\alpha</math> adalah konstanta. Karena menurut aturan konstanta, <math>\alpha' f = 0 \cdot f = 0</math>. ~~Hasilnya adalah~~ ''[[Kaidah hasil-bagi]]'': ~~:<math> \Delta y=m\Delta x. </math>~~ : <math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> untuk semua fungsi {{Math\|''f''}} dan {{Math\|''g''}} di semua nilai input, dimana <math>g \ne 0</math>. ~~Nilai tersebut memberikan untuk kemiringan garis.~~ ''[[Aturan rantai]]'' untuk fungsi komposisi: Jika <math>f(x) = h(g(x))</math>, maka : <math>~~\frac{d}{dx}~~f'(~~\sec{~~x}) = ~~\sec{~~h'(g(x})) \~~tan{~~cdot g'(x~~}\,~~). </math>▼ === ~~Sifat~~Contoh ~~- sifat turunan~~perhitungan === Turunan dari fungsi ~~Linearitas~~ <math>\frac{d}{dx}(u \pm v) = u' \pm v'\,</math> * <math>\frac{d}{dx}(nu) = n\frac{du}{dx}\,</math> : <math>f(x) = x^4 + \sin \left(x^2\right) - \ln(x) e^x + 7</math> ~~Aturan produk~~ * <math>\frac{d}{dx}(u v) = u' v + u v'\,</math> adalah ~~Dalil rantai~~ * <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv}\cdot\frac{dv}{du}\cdot\frac{du}{dx}\,</math> : <math> ~~Sifat umum lain~~ ▲~~:<math>~~\begin{align} * <math>\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u' v - u v'}{v^2}\,</math> f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos \left(x^2\right) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln(x) \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\ ▲* <math>\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}\,</math> &= 4x^3 + 2x\cos \left(x^2\right) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x. * <math>\frac{d}{dx}(u^n) = nu^{n-1}\cdot\frac{du}{dx}</math> ▲\end{align} ~~</math>~~ </math> Pada bentuk kedua dihitung menggunakan [[kaidah rantai]] dan bentuk ketiga menggunakan [[kaidah darab]]. Fungsi dasar yang diketahui seperti <math>x^2</math>, <math>x^4</math>, <math>\sin(x)</math>, <math>\ln(x)</math>, <math>\exp(x) = e^x</math>{{nowrap\|1=exp(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>}}, dan juga konstanta 7, juga diturunkan. ~~Dimana fungsi <math>u</math> dan <math>v</math> adalah fungsi satu variabel <math>x</math>.~~ ~~=== Eksponen dan bilangan natural ===~~ ▲* <math>\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\,</math> ▲* <math>\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln{a}\,</math> ~~=== Logaritma dan bilangan natural ===~~ ▲* <math>\frac{d}{dx}(\ln{x}) = \frac{1}{x}\,</math> ▲* <math>\frac{d}{dx}(\log_a{x}) = \frac{1}{x \ln{a}}\,</math> ~~=== Trigonometri ===~~ ▲* <math>\frac{d}{dx}(\sin{x}) = \cos {x}\,</math> ▲* <math>\frac{d}{dx}(\cos{x}) = -\sin{x}\,</math> * <math>\frac{d}{dx}(\tan{x}) = \sec^2{x}\,</math> * <math>\frac{d}{dx}(\cot{x}) = -\csc^2{x}\,</math> ▲* <math>\frac{d}{dx}(\sec{x}) = \sec{x} \tan{x}\,</math> * <math>\frac{d}{dx}(\csc{x}) = -\csc{x} \cot{x}\,</math> ~~;Invers~~ ▲* <math>\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math> ▲* <math>\frac{d}{dx}(\arccos x) = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}</math> ▲* <math>\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}</math> * <math>\frac{d}{dx}(\arccot x) = \frac{-1}{1 + x^2}</math> ▲* <math>\frac{d}{dx}(\arcsec x) = \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}</math> * <math>\frac{d}{dx}(\arccsc x) = \frac{-1}{x \sqrt{x^2 - 1}}</math> ~~;Hiperbolik~~ * <math>\frac{d}{dx}(\sinh{x}) = \cosh{x}\,</math> * <math>\frac{d}{dx}(\cosh{x}) = \sinh{x}\,</math> * <math>\frac{d}{dx}(\tanh{x}) = \text{sech}^2\,{x}\,</math> * <math>\frac{d}{dx}(\coth{x}) = -\text{csch}^2{x}\,</math> * <math>\frac{d}{dx}(\text{sech}\,{x})= -\text{sech}\,{x}\tanh{x}</math> * <math>\frac{d}{dx}(\text{csch}\,{x}) = -\text{csch}\,{x}\coth{x}</math> == Generalisasi ==

Turunan: Perbedaan antara revisi