Turunan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
melanjutkan alih bahasa |
melanjutkan alih bahasa |
||
Baris 266:
=== Turunan parsial ===
{{Main|Turunan parsial}}Misalkan <math>f</math> adalah fungsi multivariabel, sebagai contoh <math>f(x,y) = x^2 + xy + y^2.</math> Fungsi <math>f</math> dapat dianggap sebagai keluarga fungsi satu variabel yang diindeks oleh variabel-variabel lain:
: <math>f(x,y) = f_x(y) = x^2 + xy + y^2.</math>
Dalam contoh ini, setiap nilai <math>x</math> akan menghasilkan sebuah fungsi <math>f_x</math> yang merupakan fungsi satu variabel. Hal ini dapat dinyatakan sebagai pemetaan
: <math>x \mapsto f_x,</math>
: <math>f_x(y) = x^2 + xy + y^2.</math>
Setelah suatu nilai <math>x</math> dipilih, misalnya <math>x=a</math>, maka <math>f(x,y)</math> selanjutnya menentukan sebuah fungsi <math>f_a</math> yang memetakan <math>y</math> ke <math>a^2 + ay+ y^2</math>, juga dapat ditulis sebagai <math>f_a(y) = a^2 + ay + y^2</math>. Dalam ekspresi tersebut <math>a</math> adalah sebuah ''konstanta'' dan bukan sebuah ''variabel'', menjadikan <math>f_a</math> sebagai fungsi satu variabel. Alhasil, definisi turunan untuk fungsi satu variabel berlaku:
: <math>f_a'(y) = a + 2y.</math>
Prosedur ini dapat diterapkan untuk sembarang pemilihan nilai <math>a</math>. above procedure can be performed for any choice of ''a''. Menggunakan notasi Leibniz, turunan ini menyampaikan perbandingan perubahan nilai fungsi <math>f</math> dalam arah sumbu <math>y</math>:
: <math>\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x + 2y.</math>
dan disebut sebagai ''turunan berarah dari <math>f</math>'' ''terhadap <math>y</math>''. Dalam ekspresi tersebut, simbol [[∂]] adalah huruf ''d'' melengkung yang disebut sebagai ''simbol turunan parsial''. Untuk membedakannya dengan huruf ''d'' yang digunakan dalam turunan satu variabel, ∂ terkadang dilafalkan sebagai "der", "del", atau "parsial", ketimbang "de".
Secara umum, turunan parsial sebuah fungsi <math>f(x_1,\,\dots,\,x_n)</math> dalam arah <math>x_i</math> di titik <math>(a_1,\,\dots,\,a_n)</math> didefinisikan sebagai
: <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_n)}{h}.</math>
Dalam perbandingan beda di atas, semua nilai variabel kecuali <math>x_i</math> dibuat konstan. Tindakan membuat konstan variabel-variabel ini akan menghasilkan fungsi satu variabel
: <math>f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n),</math>
dan dari definisi,
: <math>\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n).</math>
Ekspresi ini juga menunjukkan bahwa perhitungan turunan parsial dapat disederhanakan menjadi perhitungan turunan satu variabel.
Turunan parsial juga memainkan peran penting dalam pembahasan mengenai fungsi bernilai vektor. Misalkan <math>\mathbf f(x_1,\,\dots,\,x_n)</math> sebagai fungsi bernilai vektor. Jika semua turunan parsial <math>\tfrac{\partial \mathbf f}{\partial x_j}</math> terdefinisi di titik <math>\mathbf a = (a_1,\,\dots,\,a_n)</math>, turunan-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor
: <math>\nabla \mathbf f(a_1, \ldots, a_n) = \left(\frac{\partial \mathbf f}{\partial x_1}(a_1, \ldots, a_n),\, \ldots, \frac{\partial \mathbf f}{\partial x_n}(a_1, \ldots, a_n)\right),</math>
yang disebut sebagai [[gradien]] dari <math>\mathbf f</math> di <math>\mathbf a</math>. Jika <math>\mathbf f</math> terdiferensialkan pada setiap titik di suatu domain, maka gradien adalah sebuah fungsi bernilai vektor <math>\nabla \mathbf f</math> yang memetakan titik <math>(a_1,\,\dots,\,a_n)</math> ke vektor <math>\nabla \mathbf f(a_1,\,\dots,\,a_n)</math>. Akibatnya, gradien menentukan suatu [[medan vektor]].
=== Turunan berarah ===
Baris 300 ⟶ 337:
* [[Turunan simetrik]]
{{colend}}
==Catatan kaki==
{{reflist|group=Note}}
== Referensi ==
| |||