Bilangan prima: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) diterjemahkan dari en:Prime number (oldid 1075044737), lihat sejarah untuk atribusi |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) hanya ini saja yang bisa dikembangkan, akan diusahakan sebisa mungkin. |
||
Baris 7:
Beberapa masalah-masalah bersejarah yang melibatkan bilangan prima masih belum terpecahkan. Masalah di antaranya [[konjektur Goldbach]], yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 dapat dibentuk sebagai jumlah dua bilangan prima, dan [[konjektur bilangan prima kembar]], menyatakan bahwa ada tak berhingga banyaknya pasangan bilangan prima yang memiliki sebuah bilangan genap di antaranya. Masalah-masalah tersebut mendorong pengembangan berbagai cabang dalam teori bilangan, yang fokus pada aspek bilangan [[Teori bilangan analitik|analitik]] atau bilangan [[Teori bilangan aljabar|aljabar]]. Dalam kehidupan sehari-hari, bilangan prima dipakai dalam [[teknologi informasi]], seperti [[kriptografi kunci publik]], yang bergantung pada kesulitan memfaktorkan bilangan yang lebih besar menjadi faktor bilangan prima. Dalam [[aljabar abstrak]], objek yang umumnya berperilaku sebagai bilangan prima di antaranya [[elemen bilangan prima]] dan [[ideal bilangan prima]].
== Definisi dan contoh ==
[[Bilangan asli]] (1, 2, 3, 4, 5, dst.) dapat dikatakan bilangan prima jika bilangan asli lebih besar dari 1 dan tidak dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan asli yang lebih dari 1, namun bukan merupakan bilangan prima disebut [[bilangan komposit]].<ref>{{Cite book|last=Cahyo|first=Dhea Arokhman Yusufi|date=2020-05-10|url=https://books.google.com/books?id=OJriDwAAQBAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA18&dq=definisi+bilangan+prima&hl=id|title=Heuristic - For Mathematical Olympiad Approach|publisher=Math Heuristic|pages=18|language=id|url-status=live}}</ref> Dengan kata lain, <math>n</math> dikatakan bilangan prima jika terdapat <math>n</math> benda tidak dapat dibagi menjadi kelompok dengan jumlah yang sama, yang terdiri dari satu benda.<ref>{{Cite book|last=Henderson|first=Anne|date=2014-06-20|url=https://books.google.co.id/books?id=uy-yGVRUilMC&pg=PA62&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide|publisher=Routledge|isbn=978-1-136-63662-2|pages=62|language=en|url-status=live}}</ref> Bilangan prima juga diilustrasikan sebagai susunan <math>n</math> titik menjadi persegi panjang yang lebar dan tingginya lebih dari satu titik.<ref>{{Cite book|last=Adler|first=Irving|date=1960|url=http://archive.org/details/giantgoldenbooko00adle|title=The giant golden book of mathematics; exploring the world of numbers and space|publisher=New York, Golden Press|others=Internet Archive}}</ref> Misalnya, bilangan di antara 1 sampai 6, bilangan primanya adalah 2, 3, dan 5;<ref>{{Cite book|last=Lawrence S. Leff|date=2000|url=http://archive.org/details/barronsmathworkb00leff_0|title=Barron's math workbook for the SAT I|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-0768-9|others=Internet Archive}}</ref> karena tidak ada bilangan lain yang membagi ketiga bilangan tersebut tanpa adanya sisa. 1 bukan bilangan prima, karena merupakan pengecualian yang khusus dalam definisi di atas. 4 = 2 × 2 dan 6 = 2 × 3 merupakan bilangan komposit.
[[Berkas:Prime_number_Cuisenaire_rods_7.png|jmpl|260x260px|Gambaran melalui [[batang Cuisenaire]] bahwa 7 adalah bilangan prima. Karena 2, 3, 4, 5, atau 6 yang tidak dapat membagi 7 secara merata.]]
[[Pembagi]] bilangan asli <math>n</math> adalah bilangan asli yang membagi <math>n</math> sama rata. Pembagi pada setiap bilangan asli tersebut adalah 1 dan dirinya sendiri. Jika <math>n</math> memiliki pembagi lain, maka <math>n</math> bukanlah bilangan prima. Gagasan ini merujuk ke sebuah definisi bilangan prima yang berbeda namun ekuivalen: terdapat bilangan setidaknya dua pembagi bilangan positif, 1 dan dirinya sendiri.<ref>[[Underwood Dudley|Dudley, Underwood]] (1978). "[https://books.google.co.id/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA10&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Section 2: Unique factorization]". ''[[iarchive:elementarynumber00dudl_0/page/10/mode/2up|Elementary number theory]]'' (2nd ed.). W.H. Freeman and Co. hlm. [[iarchive:elementarynumber00dudl_0/page/10/mode/2up|10]]. ISBN 978-0-7167-0076-0.</ref> Ada cara lain untuk menjelaskan hal tersebut, yaitu: <math>n</math> adalah bilangan prima jika <math>n</math> lebih besar dari 1 dan tidak ada bilangan <math>2,3,\dots,n-1</math> yang membagi <math>n</math> sama rata.<ref>[[Waclaw Sierpiński|Sierpiński, Wacław]] (1988). ''[https://books.google.co.id/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA113&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Elementary Theory of Numbers]''. North-Holland Mathematical Library. '''31''' (2nd ed.). Elsevier. hlm. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.</ref>
Berikut adalah 25 bilangan prima pertama (semua bilangan prima yang lebih kecil dari 100):<ref>{{Cite book|last=Sierpinski|first=W.|date=1988-02-01|url=https://books.google.co.id/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA113&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=Elementary Theory of Numbers: Second English Edition (edited by A. Schinzel)|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-096019-7|pages=113|language=en|url-status=live}}</ref>
: [[2 (angka)|2]], [[3 (angka)|3]], [[5 (angka)|5]], [[7 (angka)|7]], [[11 (angka)|11]], [[13 (angka)|13]], [[17 (angka)|17]], [[19 (angka)|19]], [[23 (angka)|23]], [[29 (angka)|29]], [[31 (angka)|31]], [[37 (angka)|37]], [[41 (angka)|41]], [[43 (angka)|43]], [[47 (angka)|47]], [[53 (angka)|53]], [[59 (angka)|59]], [[61 (angka)|61]], [[67 (angka)|67]], [[71 (angka)|71]], [[73 (angka)|73]], [[79 (angka)|79]], [[83 (angka)|83]], [[89 (angka)|89]], [[91 (angka)|91]], [[97 (angka)|97]] {{OEIS|A000040}}.
Tidak ada [[bilangan genap]] <math>n</math> yang lebih besar dari 2 adalah bilangan prima karena bilangannya dapat dibentuk sebagai hasil kali <math display="inline">2 \times \frac{n}{2}</math>. Karena itu, setiap bilangan prima selain dari 2 adalah [[bilangan ganjil]], dan bilangan tersebut disebut ''bilangan prima ganjil''.<ref>{{Cite book|last=Stillwell|first=John|date=1997-10-30|url=https://books.google.com/books?id=4elkHwVS0eUC&pg=PA9|title=Numbers and Geometry|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-98289-2|pages=9|language=en|url-status=live}}</ref> Ketika ditulis dalam sistem desimal biasa dengan cara yang serupa, semua bilangan prima yang lebih besar dari 5 berakhir dengan digit satuan 1, 3, 7, atau 9. Bilangan yang berakhir dengan digit satuan yang berbeda adalah bilangan komposit: bilangan desimal yang digit satuannya adalah 0, 2, 4, 6, atau 8 adalah bilangan genap, dan bilangan desimal yang berakhir dengan digit satuan 0 dan 5 habis dibagi 5.<ref>[[Waclaw Sierpiński|Sierpiński, Wacław]] (1964). ''[[iarchive:selectionproblem00sier|A Selection of Problems in the Theory of Numbers]]''. New York: Macmillan. hlm. [[iarchive:selectionproblem00sier/page/n37|40]]. MR [https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0170843 0170843].</ref>
Himpunan bilangan prima terkadang dilambangkan <math>\mathbf{P}</math><ref>{{Cite book|last=Nathanson|first=Melvyn B.|date=2008-01-11|url=https://books.google.co.id/books?id=sE7lBwAAQBAJ&pg=PP10&redir_esc=y|title=Elementary Methods in Number Theory|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-22738-2|language=en}}</ref> atau <math>\mathbb{P}</math>.<ref>{{Cite book|last=Faticoni|first=Theodore G.|date=2012-04-23|url=https://books.google.co.id/books?id=I433i_ZGxRsC&pg=PA44&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-24382-4|pages=44|language=en|url-status=live}}</ref>
== Referensi ==
{{div col|colwidth=30em}}
{{reflist}}
{{div col end}}
{{Sistem Bilangan}}
| |||