|
* Bilangan asli 0 dan 1 adalah elemen yang idempoten terhadap [[perkalian]] (karena 0 × 0 = 0 dan 1 × 1 = 1). Karena tidak ada bilangan asli lainnya yang memenuhi sifat ini (misalnya tidak berlaku bahwa 2 × 2 = 2), operasi perkalian pada bilangan asli bukanlah operasi yang idempoten. Secara formal, elemen idempoten dalam [[monoid]] <math>(\N, \times)</math> hanyalah 0 dan 1.
* DalamPada [[Magma (aljabar)|magma]] <math>(M,\,\cdot)</math>, [[elemen identitas]] <math>e</math> atau ''absorbing element'' <math>a</math>, jika elemen tersebut ada, akan bersifat idempoten karena <math>e\cdot e = e</math> dan <math>a\cdot a = a.</math>
* DalamPada [[Grup (matematika)|grup]] <math>(G,\,\cdot)</math>, elemen identitas <math>e</math> adalah satu-satunya elemen idempoten. Hal ini terlihat karena untuk sembarang elemen <math>x</math> di <math>G</math> yang memenuhi <math>x\cdot x = x</math>, juga akan memenuhi <math>x\cdot x = x\cdot e</math>. DenganSelanjutnya mengalikan kedua ruas dari kiri dengan [[elemen invers]] dari <math>x</math>, didapatkanakan menghasilkan <math>x = e.</math>
* Untuk sebarangPada monoid <math>(𝒫\mathcal ''P(E),'' ∪\,\cup)</math> dan <math>(𝒫\mathcal ''P(E),'' ∩\,\cap)</math> dari ''powerset''[[himpunan kuasa]] <math>\mathcal P(E)</math> himpunan <math>E</math>''E,'' yang masing-masing dilengkapi dengan [[Gabungan (teori himpunan)|operator gabungan]] ∪<math>\cup</math> dan [[Irisan (teori himpunan)|operator irisan persimpangan]] ∩<math>\cap</math>, semua elemennya bersifat idempoten; karena <math>x\cup u = x</math> untuk setiap <math>x\in\mathcal P(E)</math> dan <math>x\cap x = x</math> untuk setiap <math>x\in\mathcal P(E)</math>. Oleh karena itu, ∪<math>\cup</math> dan ∩<math>\cap</math> adalah operasi yang idempoten pada 𝒫<math>\mathcal P( ''E'' )</math>.
* DalamSemua elemen pada monoid <math>(\{0, 1\}, ∨\,\vee)</math> dan <math>(\{0, 1\},\, ∧\wedge)</math>, dari ''Boolean [[domain'' Boole]] yang dilengkapi dengan [[logika disjungsi]] ∨ dan [[logika konjungsi]] ∧, semuabersifat elemennyaidempoten. Akibatnya, kedua operator logika tersebut idempoten pada himpunan <math>\{0,\,1\}</math>.
* Dalam [[gelanggangGelanggang Boolean|gelanggang Boole]], operator perkalian bersifat idempoten.
* Dalam ''tropical[[semi-gelanggang semiring''tropikal]], operator penjumlahan bersifat idempoten.
=== Fungsi idempoten ===
Dalam monoid (''E <supmath>(E^E,\,\circ)</supmath>'', ∘)dari [[Fungsi (matematika)|fungsi-fungsi]] dariyang memetakan himpunan ''<math>E''</math> ke dirinya sendiri dan dilengkapi dengan [[komposisi fungsi]] ∘<math>\circ</math>, elemen-elemen idempotenidempotennya adalah fungsi {{Nowrap|''<math>f'': ''E''\to → ''E''}}</math> yang bersifatmemenuhi <math>f\circ f {{Nowrap|1='' f''</math>.<ref>Ini ∘adalah persamaan antar fungsi. Dua fungsi dikatakan sama jika mereka memiliki ''fdomain'' =dan ''f''}}[[Citra (matematika)|citra]] yang sama, dengandan katanilai lainfungsi mereka sama untuk semua ''x''elemen di ''Edomain''.</ref> Dengan kata lain, {{Nowrap|1=''fungsi idempoten dalam monoid ini akan memenuhi <math>f''(''f''(''x'')) = ''f''(''x'')}}</math> untuk semua <math>x\in E</math> ([[Citra (matematika)|citra]] dari setiap elemen di ''E'' adalah ''fixed point'' dari ''f'' ). Sebagai contoh, mengambil nilai [[Nilai absolut|absolutfungsi nilai mutlak]] ''<math>\operatorname{abs''}(''x'') </math><ref>Notasi yang lebih umum adalah <math>|x|</math>, namun lebih sulit dibaca untuk ekpresi yang bertingkat.</ref> daripada himpunan [[bilangan bulat]] ''x'' adalah fungsi idempoten karena ''<math>\text{abs''}( ''\text{abs''}(''x'')) = ''\text{abs''}(''x'')</math> benarberlaku untuk setiap bilangan bulat ''<math>x''</math>.<ref>Faktanya, persamaan ini berlaku untuk semua bilangan [[Bilangan rasional|rasional]], [[Bilangan riil|real]], bahkan juga [[Bilangan kompleks|kompleks]].</ref> Hal Ini mengartikan ''abs'' [[Komposisi fungsi|∘]] ''abs''nilai = ''abs''<ref>Inimutlak adalah persamaan antar fungsi. Dua fungsi dikatakan sama jika mereka memiliki ''domain'' dan [[Citra (matematika)|citra]]elemen yang sama,idempoten danterhadap nilaikomposisi fungsi mereka sama untuk semua elemen di ''domain''.</ref> terpenuhi, yakni fungsi ''abs'' adalah elemen idempoten dipada himpunan semua fungsi [dariyang memetakan bilangan bulat ke bilangan bulat]<ref>This set of functions is formally denoted as [[Integer number|ℤ]]<sup>ℤ</sup>.</ref> menurutContoh komposisilainnya fungsi. Oleh karena itu, ''abs'' memenuhi definisidari fungsi idempoten di atas. Contoh lainnya termasuk:adalahː
* [[fungsi identitas]] bersifatdan idempoten[[fungsi konstan]];
* [[fungsi konstan]]''floor'', bersifat''ceil'', idempotendan ''fractional part'';
* fungsi ''floor'', ''ceil'', dan ''fractional part'' bersifat idempoten;
Jika himpunan ''<math>E''</math> memiliki ''<math>n''</math> elemen, kitahimpunan tersebut dapat mempartisi himpunan tersebutdipartisi menjadi ''<math>k''</math> titik tetap (''fixed poinpoint''t) dan {{Nowrap|''<math>n''-k</math> −titik ''k''}} ''nontak-fixed point''tetap dibawah pemetaan oleh ''f''. Hal ini menghasilkan ''k<supmath>k^{n</sup>''<sup>-''k''}</supmath> sebagai banyaknya fungsi idempoten yang berbeda. Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan semua kemungkinan partisi,
: <math>\sum_{k=0}^n {n \choose k} k^{n-k}</math>
adalahmenyatakan banyaknya fungsi idempoten yang mungkin di himpunan ''<math>E''</math>. barisan[[Barisan]] dari rumus banyaknya fungsi idempoten di atas untuk ''n'' = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,… adalah 1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393,… {{OEIS|A000248}}.
Sifat keidempotenan tidak terawetkan <!ke-idempoten-bukanan alihfungsi bahasatidak yangterawetkan baik, bukan?-->dalam operasi komposisi fungsi.<ref>If ''f'' and ''g'' commute, i.e. if {{Nowrap|1=''f'' ∘ ''g'' = ''g'' ∘ ''f''}}, then idempotency of both ''f'' and ''g'' implies that of {{Nowrap|''f'' ∘ ''g''}}, since {{Nowrap|1=(''f'' ∘ ''g'') ∘ (''f'' ∘ ''g'') = (''f'' ∘ ''f'') ∘ (''g'' ∘ ''g'') = ''f'' ∘ ''g''}}, using the associativity of composition.</ref> Sebagai contoh, {{Nowrap|1=''<math>f''(''x'') =x \text{ mod ''x''} 3</math> (dengan <math>\text{mod}</math> menyakan operasi [[Aritmetika modular|modmodulo]] 3) dan ''<math>g'' (''x'') = \max(''x'', 5)</math> adalah dua fungsi yang idempoten, tetapinamun {{Nowrap|''fungsi komposisi <math>f''\circ ∘ ''g''}}</math> tidak,.<ref>Sebagai contoh, ''f''(''g''(7)) = ''f''(7) = 1, namun ''f''(''g''(1)) = ''f''(5) = 2 ≠ 1</ref> meskipunWalaupun {{Nowrap|''pada kasus ini, <math>g''\circ ∘ ''f''}}</math> secara kebetulan bersifat idempoten.<ref>juga menunjukkan sifat komutatif ''f'' dan ''g'' bukan sebuah [[Syarat perlu (matematika)|syarat perlu]] agar sifat idempoten tetap berlaku.</ref> Contoh lain adalah fungsi negasi {{Nowrap|¬}} pada domain BooleanBoole yang tidak idempoten, namun komposisi fungsi {{Nowrap|¬ ∘ ¬}} bersifat idempoten.
== Arti dalam ilmu komputer ==
Dalam [[ilmu komputer]], istilah ''idempoten'' mungkindapat memiliki arti yang berbeda tergantung pada konteks penerapannya:
* dalam [[pemrograman imperatif]], sebuah [[subrutin]] dengan efek samping (''side effect'') bersifatdikatakan idempoten jika status sistem tetap sama setelahbeberapapun baikbanyak sekalipanggilan maupundilakukan. beberapaSecara kalimatematika, panggilan.subrutin Denganidempoten kataini lain,adalah sebuah fungsi dari ruang ''statesystem spacestate'' sistem ke dirinya sendiri padayang konteksmemenuhi subrutindefinisi tersebutpada bersifatpembahasan idempotenbagian dalamdi pengertian matematika yang diberikan dalam [[Idempoten#Definisi|definisi]];atas.
* dalam [[pemrograman fungsional]], ''pure function'' bersifat idempoten jika dia idempoten dalam pengertian matematika yang diberikan dalam bagian [[Idempoten#Definisi|definisi]].
IniIdempoten adalah sifat yang sangat berguna dalam banyak situasi, karena inioperasi berartidengan bahwasifat operasiini dapat diulangi atau dicoba ulang sesering yang diperlukan tanpa menimbulkan efek yang tidak diinginkan. Pada operasi yang tidak idempoten, algoritme mungkin perlu melacak apakah operasi sudah dilakukan atau belum.
=== Contoh dalam ilmu komputer ===
Sebuah fungsi yang mencari nama dan alamat pelanggan di sebuah database umumnya idempoten, karena operasi ini tidak membuat isi database berubah. Demikian pula dengan mengganti alamat pengguna menjadi XYZ umumnya idempoten, karena data alamat terakhir akan tetap sama tidak peduli berapa kali data XYZ dilakukandikirim. Namun, menempatkan barang dalam daftar belanjaan [[Perdagangan elektronik|toko daring]] umumnya tidak idempoten, karena penempatan barang beberapa kali akan menambah banyak pesanan. Membatalkan pesanan bersifat idempoten, karena pesanan tetap dibatalkan tidak peduli berapa kali permintaan [pembatalan] dilakukan.
== Contoh aplikasi ==
Contoh terapan yang dapat ditemui banyak orang dalam kehidupan sehari-hari mereka termasuk tombol pada [[lift]] dan [[Penyeberangan pejalan kaki|tombol penyeberangan]].<ref>https://web.archive.org/web/20110523081716/http://www.nclabor.com/elevator/geartrac.pdf For example, this design specification includes detailed algorithm for when elevator cars will respond to subsequent calls for service</ref> Aktivasi tombol pertama kali akan mengubah sistem ke status ''meminta'', sampai hingga permintaan ''dipenuhi''. Aktivasi tombolsecara berulang tombol diantara waktu aktivasi awal dan waktu permintaan yang dipenuhi tidak memiliki pengaruh, kecuali sistem dirancang untuk dapat menyesuaikan waktu memenuhi permintaan berdasarkan jumlah aktivasi yang dilakukan.
== Referensi ==
|
