Turunan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) tinggal sedikit lagi baru kelar |
||
Baris 333:
=== Turunan total, diferensial total, dan matriks Jacobi ===
{{Main|Turunan total}}{{Kembangkan bagian}}
Ketika <math>f</math> merupakan sebuah fungsi dari himpunan terbuka dari <math>\R^n</math> ke <math>\R^m</math>, maka turunan berarah <math>f</math> dalam arah yang dipilih merupakan hampiran linear terbaik ke <math>f</math> di titik dan arah tersebut. Tetapi ketika <math>n > 1</math>, maka tidak ada turunan berarah tunggal yang dapat memberikan gambaran lengkap mengenai perilaku fungsi <math>f</math>. Turunan total memberikan gambaran lengkap dengan meninjau semua arah sekaligus. Dalam artian, untuk suatu vektor <math>\mathbf{v}</math> yang dimulai dari <math>\mathbf{a}</math>, terdapat rumus hampiran linear yang berlaku sebagai:
: <math>f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) \approx f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{v}.</math>
Sama seperti turunan satu variabel, <math>f'(\mathbf{a})</math> dipilih sehingga galat hampiran tersebut dapat dibuat sekecil mungkin.
Jika <math>n</math> dan <math>m</math> bernilai 1, maka turunan <math>f'(\mathbf{a})</math> merupakan sebuah nilai dan bentuk <math>f'(\mathbf{a}) \mathbf{v}</math> merupakan hasil kali dari dua bilangan. Tetapi dalam dimensi yang lebih tinggi, <math>f'(\mathbf{a})</math> tidak dapat berupa sebuah bilangan. Jika <math>f'(\mathbf{a})</math> adalah sebuah bilangan, maka <math>f'(\mathbf{a}) \mathbf{v}</math> akan berupa vektor di <math>\R^n</math>. Sedangkan bentuk-bentuk lainnya berupa vektor di <math>\R^m</math> sehingga rumus hampiran linear menjadi tidak masuk akal. Agar rumus hampiran linear menjadi masuk akal, <math>f'(\mathbf{a})</math> harus sebuah fungsi yang memetakan vektor di <math>\R^n</math> ke vektor di <math>\R^m</math>, dan <math>f'(\mathbf{a}) \mathbf{v}</math> harus menyatakan fungsinya dapat dihitung di <math>\mathbf{v}</math>.
Untuk menentukan jenis fungsi apakah tersebut, perhatikan bahwa rumus hampiran linear dapat ditulis ulang sebagai
: <math>f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) - f(\mathbf{a}) \approx f'(\mathbf{a})\mathbf{v}.</math>
Perhatikan bahwa jika vektor lain dipilih, katakanlah <math>\mathbf{w}</math>, maka persamaan hampiran tersebut menentukan persamaan hampiran lain dengan memasukkan <math>\mathbf{w}</math> ke <math>\mathbf{v}</math>. Ini menentukan persamaan aproksimasi ketiga dengan memasukan nilai <math>\mathbf{w}</math> ke <math>\mathbf{v}</math> dan <math>\mathbf{a} + \mathbf{v}</math> ke <math>\mathbf{a}</math>. Dengan mengurangi kedua persamaan tersebut akan mendapatkan persamaan berikut.
: <math>f(\mathbf{a} + \mathbf{v} + \mathbf{w}) - f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) - f(\mathbf{a} + \mathbf{w}) + f(\mathbf{a})
\approx f'(\mathbf{a} + \mathbf{v})\mathbf{w} - f'(\mathbf{a})\mathbf{w}.</math>
Jika diasumsikan bahwa <math>\mathbf{v}</math> bernilai kecil dan bahwa perubahan turunan kontinu di <math>\mathbf{a}</math>, maka <math>f'(\mathbf{a} +\mathbf{v})</math> kira-kira sama dengan <math>f'(\mathbf{a})</math>. Karena itu, ruas kanan pada persamaan tersebut kira-kira sama dengan nol. Ruas kiri pada persamaan dapat ditulis ulang dalam cara yang berbeda dengan menggunakan rumus hampiran linear, dengan <math>\mathbf{v} + \mathbf{w}</math> dimasukkan <math>\mathbf{v}</math>. Rumus hampiran linear menyiratkan:
: <math>\begin{align}
0
&\approx f(\mathbf{a} + \mathbf{v} + \mathbf{w}) - f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) - f(\mathbf{a} + \mathbf{w}) + f(\mathbf{a}) \\
&= (f(\mathbf{a} + \mathbf{v} + \mathbf{w}) - f(\mathbf{a})) - (f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) - f(\mathbf{a})) - (f(\mathbf{a} + \mathbf{w}) - f(\mathbf{a})) \\
&\approx f'(\mathbf{a})(\mathbf{v} + \mathbf{w}) - f'(\mathbf{a})\mathbf{v} - f'(\mathbf{a})\mathbf{w}.
\end{align}</math>
Rumus tersebut menyarankan bahwa <math>f'(\mathbf{a})</math> merupakan transformasi linear dari ruang vektor <math>\R^n</math> ke ruang vektor <math>\R^m</math>. Bahkan rumus ini dapat membuat sebuah turunan yang tepat dengan mengukur galat pada hampirannya. Asumsi bahwa galat pada rumus hampiran linear dibatasi oleh hasil kali dari konstanta dengan <math>\left \| \mathbf{v} \right \|</math>, dimana konstantanya bebas dari <math>\mathbf{v}</math> namun kontinu bergantung pada <math>\mathbf{a}</math>. Setelah menambahkan sebuah bentuk galat yang sesuai, maka semua persamaan hampiran di atas dapat ditulis ulang sebagai pertidaksamaan. Khususnya, <math>f'(\mathbf{a})</math> merupakan sebuah transformasi linear hingga bentuk galat kecil. Dalam limit, ketika <math>\mathbf{v}</math> dan <math>\mathbf{w}</math> menuju ke nol, <math>f'(\mathbf{a})</math> harus berupa transformasi linear. Karena turunan total didefinisikan dengan mengambil limit ketika <math>\mathbf{v}</math> menuju ke nol, <math>f'(\mathbf{a})</math> harus berupa transformasi linear.
== Perumuman ==
{{Main|Perumuman turunan}}
Konsep turunan dapat diperluas menjadi perumuman lainnya. Kaitan yang paling umum dalam konsep terseadalah turunan fungsi di sebuah titik disajikan sebagai [[hampiran linear]] dari fungsi pada titik tersebut.
* Perumuman penting mengenai turunan melibatkan [[fungsi kompleks]] dari [[Bilangan kompleks|variabel kompleks]], seperti fungsi (dengan domain) bilangan kompleks <math> \C </math> ke <math> \C </math>. Gagasan turunan fungsi kompleks diperoleh dengan menggantikan variabel real dengan variabel kompleks melalui definisi berikut: Jika '''<math> \C </math>''' diidentifikasi sebagai <math>\R^2</math> dengan menulis bilangan kompleks <math>z</math> sebagai <math>x + iy</math>, maka sebuah fungsi terdiferensialkan dari <math> \C </math> ke <math> \C </math> pasti terdiferensialkan sebagai sebuah fungsi dari <math>\R^2</math> ke <math>\R^2</math> (dalam artian bahwa semua turunan parsial juga ada), tetapi kebalikannya tidak benar pada umumnya: turunan kompleks hanya ada jika turunan real merupakan ''linear kompleks'' dan turunan kompleks memaksakan kaitannya antara turunan parsial yang disebut sebagai [[persamaan Cauchy–Riemann]] – lihat [[fungsi holomorfik]].
* Perumuman lainnya melibatkan fungsi antara [[Manifold mulus|manifold terdiferensialkan atau manifold mulus]]. Secara intuitif, manifold <math>M</math> dikatakan sebagai ruang yang dapat dihampiri mendekati setiap titik <math>x</math> melalui sebuah ruang vektor yang disebut sebagai [[ruang garis singgung]]: contoh prototipikalnya adalah [[permukaan mulus]] di <math>\R^3</math>. Turunan (atau diferensial) dari peta (terdiferensialkan) <math>f\colon M \to N</math> di antara manifold, di sebuah titik <math>x</math> di ''<math>M</math>'', merupakan [[peta linear]] dari ruang singgung ''<math>M</math>'' di <math>x</math> ke ruang singgung <math>N</math> di <math>f(x)</math>, sehingga turunan fungsi menjadi sebuah peta antara [[berkas garis singgung]] ''<math>M</math>'' dan <math>N</math>. Definisi tersebut merupakan bentuk dasar dalam [[geometri diferensial]], dan definisi tersebut mempunyai banyak kegunaan – lihat [[Pushforward (diferensial)|''pushforward'']] dan [[Pullback (geometri diferensial)|''pullback'']].
* Diferensiasi juga dapat didefinisikan sebagai pemetaan antara [[ruang vektor]] [[Dimensi (ruang vektor)|dimensi takhingga]], seperti [[ruang Banach]] dan [[ruang Fréchet]]. Perumuman dari turunan berarah disebut [[turunan Gateaux]], dan perumuman dari diferensial disebut [[turunan Fréchet]].
* Salah satu kekurangan turunan biasa adalah bahwa ada sangat banyak sekali fungsi yang tidak terdiferensialkan. Namun ada cara memperluas gagasan turunan sehingga semua [[fungsi kontinu]] dan fungsi lainnya dapat diturunkan melalui konsep yang dikenal sebagai [[turunan lemah]]. Tujuannya adalah agar memasukkan fungsi kontinu dalam sebuah ruang yang lebih besar yang disebut ruang [[Distribusi (matematika)|distribusi]], dan tujuan ini hanya mengharuskan bahwa fungsi "rata-rata" terdiferensialkan.
* Pengenalan dan studi mengenai banyak topik yang serupa dalam aljabar dan topologi diilhami melalui sifat-sifat turunan — sebagai contoh, lihat [[aljabar diferensial]].
* Definisi turunan yang ekuivalen diskret adalah [[beda hingga]]. Dalam [[kalkulus skala waktu]], studi mengenai kalkulus diferensial disatukan dengan kalkulus beda hingga.
* Lihat pula [[turunan aritmetika]].
== Sejarah ==
| |||