Bilangan prima: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Definisi dan contoh: ganti kutipan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
||
Baris 74:
=== Pertanyaan terbuka ===
Banyak konjektur yang melibatkan bilangan prima telah diajukan. Seringkali memiliki perumusan dasar, banyak konjektur-konjektur tersebut memiliki bukti yang bertahan selama beberapa dekade: empat masalah Landau yang berasal dari tahun 1912 masih belum terpecahkan.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PR7 hlm. vii].</ref> Salah satu masalah Landau adalah [[konjektur Goldbach]], yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap <math>n</math> lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PA105 C1 Goldbach's conjecture, hlm. 105–107].</ref> Hingga pada 2014, konjektur ini telah dibenarkan untuk semua bilangan hingga <math>n=4\cdot 10^{18}</math>.<ref>{{cite journal|last1=Oliveira e Silva|first1=Tomás|last2=Herzog|first2=Siegfried|last3=Pardi|first3=Silvio|year=2014|title=Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot10^{18}</math>|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=83|issue=288|pages=2033–2060|doi=10.1090/S0025-5718-2013-02787-1|mr=3194140|doi-access=free}}</ref> Pernyataan yang lebih lemah dari konjektur tersebut telah dibuktikan seperti: [[teorema Vinogradov]] yang mengatakan bahwa setiap bilangan bulat ganjil yang cukup besar dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga bilangan prima,<ref>{{harvnb|Tao|2009}}, [https://books.google.com/books?id=NxnVAwAAQBAJ&pg=PA239 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247]. See especially p. 239.</ref> [[teorema Chen]] yang mengatakan bahwa setiap bilangan genap yang cukup besar dapat dinyatakan sebagai jumlah dari bilangan prima dan [[Bilangan semiprima|semiprima]] (hasil kali dari dua bilangan prima),<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, p. 159.</ref> serta suatu bilangan bulat genap yang lebih besar dari 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari enam bilangan prima.<ref>{{cite journal|last=Ramaré|first=Olivier|year=1995|title=On Šnirel'man's constant|url=https://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0|journal=Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa|volume=22|issue=4|pages=645–706|mr=1375315}}</ref> Cabang teori bilangan yang mempelajari masalah tersebut disebut [[teori bilangan aditif]].<ref>{{cite book|last=Rassias|first=Michael Th.|year=2017|url=https://books.google.com/books?id=ibwpDwAAQBAJ&pg=PP6|title=Goldbach's Problem: Selected Topics|location=Cham|publisher=Springer|isbn=978-3-319-57912-2|page=vii|doi=10.1007/978-3-319-57914-6|mr=3674356}}</ref>
== Sifat-sifat analitik ==
[[Teori bilangan analitik]] adalah studi cabang [[teori bilangan]] yang berfokus mengenai [[fungsi kontinu]], [[limit]], [[Deret (matematika)|deret takhingga]], dan kaitan matematika tentang takhingga dan [[infinitesimal]].
Cabang ini dimulai dengan Leonhard Euler yang menemukan solusi dari masalah yang sangat penting, yaitu [[masalah Basel]]. Masalah ini menanyakan berapakah nilai dari deret takhingga <math>1+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{16}+\dots,</math> dan nilai deret saat ini dapat dianggap sebagai nilai <math>\zeta(2)</math> (dimana <math>\zeta</math> adalah [[fungsi zeta Riemann]]). Fungsi ini sangat terkait erat dengan bilangan prima dan fungsi ini merupakan salah satu masalah yang belum terpecahkan yang sangat penting dalam matematika, [[hipotesis Riemann]]. Euler memperlihatkan bahwa <math display="inline">\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}</math>.<ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA205 Chapter 35, Estimating the Basel problem, pp. 205–208].</ref> Kebalikannya, <math>\tfrac{6}{\pi^2}</math>, merupakan probabilitas batas yang menyatakan bahwa dua bilangan acak dipilih secara seragam dari kisaran [[relatif prima]] yang besar (relatif prima berarti tidak memiliki kesamaan faktor).<ref>{{cite book|last1=Ogilvy|first1=C.S.|last2=Anderson|first2=J.T.|year=1988|url=https://books.google.com/books?id=efbaDLlTXvMC&pg=PA29|title=Excursions in Number Theory|publisher=Dover Publications Inc.|isbn=978-0-486-25778-5|pages=29–35|author1-link=C. Stanley Ogilvy}}</ref>
Sebaran bilangan prima masih dicari, seperti pertanyaan yang menanyakan berapa banyak bilangan prima yang lebih kecil dari sebuah batas yang lebih besar dijelaskan melalui [[teorema bilangan prima]], namun [[Rumus bilangan prima|rumus efisien bilangan prima ke-<math>n</math>]] belum diketahui. [[Teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika]], dalam bentuk dasar, mengatakan bahwa polinomial linear
: <math>p(n) = a + bn</math>
dengan <math>a</math> dan <math>b</math> saling relatif prima mengambil tak berhingga banyaknya nilai bilangan prima. Bentuk teorema yang lebih kuat mengatakan bahwa jumlah timbal balik dari nilai bilangan prima tersebut adalah divergen, dan bahwa polinomial linear yang berbeda dengan <math>b</math> yang sama kira-kira sama dengan perbandingan bilangan prima yang sama. Walaupun konjektur tersebut dirumuskan mengenai perbandingan bilangan prima dalam polinomial berderajat tinggi, konjektur tersebut masih belum terpecahkan, dan belum diketahui adakah polinomial kuadratik bahwa (untuk nilai-nilai bilangan bulat) merupakan sering tak berhingga bilangan prima.
=== Bukti analitik teorema Euklides ===
[[Bukti bahwa jumlah dari timbal-balik bilangan prima divergen|Bukti Euler yang mengatakan ada tak berhingga banyaknya bilangan prima]] meninjau jumlah dari [[Invers perkalian|timbal-balik]] bilangan prima,
: <math>\frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 5 + \frac 1 7 + \cdots + \frac 1 p</math>.
Euler memperlihatkan bahwa untuk suatu <math>x</math> [[bilangan real]] sembarang, terdapat bilangan prima <math>p</math> yang jumlahnya lebih besar dari <math>x</math>.<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Section 1.6, Theorem 1.13</ref> Bukti tersebut memperlihatkan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Karena jika terdapat berhingga banyaknya bilangan prima, maka jumlahnya akan mencapai nilai maksimum di bilangan prima terbesar daripada naik melalui setiap <u><math>x</math></u>. Laju pertumbuhan dari jumlah ini digambarkan melalui [[Teorema Mertens|teorema kedua Mertens]].<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Section 4.8, Theorem 4.12</ref> Bandingkan jumlah
: <math>\frac 1 {1^2} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} + \cdots + \frac 1 {n^2}</math>,
yang tidak naik menuju takhingga ketika <math>n</math> menuju takhingga (lihat [[masalah Basel]]). Ini berarti, bilangan prima sering kali muncul daripada bilangan asli yang dikuadratkan meskipun kedua himpunan adalah takhingga.<ref name="mtb-invitation">{{cite book|last1=Miller|first1=Steven J.|last2=Takloo-Bighash|first2=Ramin|year=2006|url=https://books.google.com/books?id=kLz4z8iwKiwC&pg=PA43|title=An Invitation to Modern Number Theory|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-12060-7|pages=43–44}}</ref> [[Teorema Brun]] menyatakan bahwa jumlah timbal-balik [[bilangan prima kembar]],
: <math> \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) + \cdots </math>,
adalah terhingga. Karena teorema Brun, bukti di atas tidak dapat menggunakan metode Euler untuk menyelesaikan [[bilangan prima kembar]], yang ada tak berhingga banyaknya bilangan prima.<ref name="mtb-invitation" />
=== Jumlah bilangan prima di bawah batas tertentu ===
{{Main|Teorema bilangan prima|Fungsi penghitungan bilangan prima}}
[[Berkas:Prime-counting_relative_error.svg|jmpl|320x320px|[[Galat aproksimasi|Galat relatif]] dari <math>\tfrac{n}{\log n}</math> dan integral logaritmik <math>\operatorname{Li}(n)</math> merupakan aproksimasi [[fungsi penghitungan bilangan prima]]. Ketika <math>n</math> membesar, kedua galat relatif tersebut menurun ke nol, tetapi untuk integral logaritmik, konvergensi ke nol semakin cepat.]]
[[Fungsi penghitungan bilangan prima]] <math>\pi(n)</math> didefinisikan sebagai jumlah bilangan prima yang lebih kecil dari <math>n</math>.<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA6 hlm. 6].</ref> Contohnya, <math>\pi(11)=5</math>, karena ada lima bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan 11 (yakni 2, 3, 5, 7, 11). Metode seperti [[algoritma Meissel–Lehmer]] dapat menghitung nilai eksak <math> \pi(n) </math> lebih cepat daripada menulis setiap bilangan prima sampai dengan <math> n </math>. Teorema bilangan prima menyatakan bahwa <math>\pi(n)</math> asimtotik dengan <math> \tfrac{n}{\log n} </math>. Teorema ini ditulis sebagai
: <math> \pi(n) \sim \frac{n}{\log n} </math>.
Ini berarti bahwa rasio <math>\pi(n)</math> terhadap pecahan di ruas kanan [[Deret konvergen|mendekati]] 1 ketika <math> n </math> menuju takhingga.<ref name="cranpom10">{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA10 p. 10].</ref> Teorema ini menyiratkan bahwa kemungkinan bilangan yang lebih kecil dari <math>n</math> yang dipilih secara acak adalah bilangan prima, kira-kira berbanding terbalik dengan jumlah digit <math>n</math>.<ref>{{cite book|last=du Sautoy|first=Marcus|year=2011|title=The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life|publisher=St. Martin's Press|isbn=978-0-230-12028-0|pages=50–52|contribution=What are the odds that your telephone number is prime?|author-link=Marcus du Sautoy|contribution-url=https://books.google.com/books?id=snaUbkIb8SEC&pg=PA50}}</ref> Teorema ini juga menyiratkan bahwa bilangan prima ke-<math>n</math> sebanding dengan <math>n\log n</math>,<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Section 4.6, Theorem 4.7</ref> dan demikian bahwa ukuran rata-rata dari celah bilangan prima sebanding dengan <math>\log n</math>.<ref name="riesel-gaps">{{harvnb|Riesel|1994}}, "[https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA78 Large gaps between consecutive primes]", pp. 78–79.</ref> Pendekatan lebih akuratnya adalah <math>\pi(n)</math> sebanding dengan [[integral logaritmik Euler]]<ref name="cranpom10" />
: <math>\pi(n)\sim \operatorname{Li}(n) = \int_2^n \frac{\mathrm dt}{\log t}</math>.
=== Barisan aritmetika ===
{{main|Teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika|Teorema Green–Tao}}
[[Arithmetic progression|Barisan aritmetika]] ialah barisan bilangan yang hingga maupun takhingga sehingga bilangan berurutan dalam barisan tersebut memiliki beda atau selisih yang sama.<ref>{{cite book|last1=Gelfand|first1=I.M.|last2=Shen|first2=Alexander|year=2003|url=https://books.google.com/books?id=Z9z7iliyFD0C&pg=PA37|title=Algebra|publisher=Springer|isbn=978-0-8176-3677-7|page=37|author1-link=Israel Gelfand}}</ref> Selisih barisan aritmetika disebut [[Arimetika modular|modulus]] barisan.<ref>{{cite book|last=Mollin|first=Richard A.|year=1997|url=https://books.google.com/books?id=Fsaa3MUUQYkC&pg=PA76|title=Fundamental Number Theory with Applications|publisher=CRC Press|isbn=978-0-8493-3987-5|series=Discrete Mathematics and Its Applications|page=76}}</ref> Misalnya,
: <math> 3, 12, 21, 30, 39, ... </math>,
adalah barisan aritmetika takhingga dengan modulus 9. Dalam barisan aritmetika, semua bilangan memiliki sisa yang sama ketika dibagi oleh modulus. Contoh di atas, sisanya adalah 3. Karena modulus adalah 9 dan sisanya merupakan kelipatan 3, dan begitu pula untuk setiap anggota pada barisan tersebut. Karena itu, barisan tersebut memiliki satu bilangan prima, yakni 3. Pada umumnya, barisan takhingga
: <math>a, a+q, a+2q, a+3q, \dots</math>
dapat memiliki bilangan prima yang lebih dari satu ketika sisa <math>a</math> dan modulus <math>q</math> relatif prima. Jika <math>a</math> dan <math>q</math> relatif prima, [[teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika]] mengatakan bahwa barisan memuat tak terhingga banyaknya bilangan prima.<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA Theorem 1.1.5, p. 12].</ref>{{Wide image|Prime numbers in arithmetic progression mod 9 zoom in.png|815px|Bilangan prima dalam barisan aritmetika merupakan modulo 9. Setiap baris dari pita horizontal yang tipis memperlihatkan salah satu dari sembilan barisan yang modulo 9 yang mungkin, dengan bilangan prima ditandai berwarna merah. Barisan bilangan yaitu 0, 3, atau 6 mod 9 memuat setidaknya satu bilangan prima (yaitu 3); sisa barisan bilangan yaitu 2, 4, 5, 7, dan 8 mod 9 mempunyai tak berhingga banyaknya bilangan prima, dengan bilangan prima yang serupa pada masing-masing barisan|alt=Prime numbers in arithmetic progression mod 9.}}[[Teorema Green–Tao]] memperlihatkan bahwa ada barisan aritmetika hingga panjang sembarang yang hanya terdiri dari bilangan prima.<ref name="neale-18-47" /><ref>{{cite journal|last1=Green|first1=Ben|last2=Tao|first2=Terence|author2-link=Terence Tao|year=2008|title=The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=167|issue=2|pages=481–547|arxiv=math.NT/0404188|doi=10.4007/annals.2008.167.481|author1-link=Ben J. Green|s2cid=1883951}}</ref>
== Dalam aljabar abstrak ==
=== Anggota bilangan prima dalam gelanggang ===
{{Main|Anggota bilangan prima|Anggota taktereduksi}}
[[Berkas:Gaussian_primes.png|jmpl|[[Bilangan prima Gauss]] dengan norma yang kurang dari 500]]
[[Gelanggang komutatif]] merupakan [[struktur aljabar]] dimana penambahan, pengurangan dan perkalian didefinisikan. Bilangan bulatnya merupakan sebuah gelanggang, dan bilangan prima dalam bilangan bulat telah dirampat menjadi gelanggang melalui dua cara seperti ''anggota bilangan prima'' dan ''anggota taktereduksi''. Sebuah anggota <math>p</math> dari sebuah gelanggang <math>R</math> dikatakan bilangan prima jika <math>p</math> adalah bilangan taknol, tidak mempunyai [[invers perkalian]] (yang berarti, gelanggang bukanlah sebuah [[Unit (teori gelanggang)|unit]]), dan memenuhi syarat berikut: jika <math>p</math> membagi hasil kali <math>xy</math> dari dua anggota <math>R</math>, maka <math>p</math> juga membagi setidaknya <math>x</math> ataupun <math>y</math>. Sebuah anggota adalah taktereduksi jika sebuah anggota bukan merupakan sebuah unit maupun hasil kali dari dua anggota takunit lainnya. Dalam gelanggang bilangan bulat, anggota bilangan prima dan anggota taktereduksi membentuk himpunan yang sama,
: <math>\{ \dots, -11, -7, -5, -3, -2, 2, 3, 5, 7, 11, \dots \}\, .</math>
Dalam sebuah gelanggang sembarang, semua anggota bilangan prima adalah taktereduksi. Kebalikannya tidak berlaku pada umumnya, namun berlaku untuk [[domain faktorisasi tunggal]].<ref>{{cite book|last=Lauritzen|first=Niels|year=2003|url=https://books.google.com/books?id=BdAbcje-TZUC&pg=PA127|title=Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases|location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-53410-9|page=127|doi=10.1017/CBO9780511804229|mr=2014325}}</ref>
Teorema dasar aritmetika tetap berlaku (menurut definisi) dalam domain faktorisasi tunggal. Contoh mengenai domain faktorisasi tunggal adalah [[bilangan bulat Gauss]] <math>\mathbb{Z}[i]</math>, gelanggang dari [[bilangan kompleks]] berbentuk <math>a+bi</math> dimana <math>i</math> menyatakan [[satuan imajiner]], <math>a</math> dan <math>b</math> merupakan bilangan bulat sembarang. Anggota bilangan primanya dikenal sebagai [[bilangan prima Gauss]]. Tidak semua bilangan yang merupakan bilangan prima di antara bilangan bulat tetap merupakan bilangan prima dalam bilangan bulat Gauss. Sebagai contoh, bilangan 2 dapat ditulis sebagai hasil kali dari dua bilangan prima Gauss, yaitu <math>1+i</math> dan <math>1-i</math>. Bilangan prima rasional (anggota bilangan prima dalam bilangan bulat) kongruen dengan 3 mod 4 adalah bilangan prima Gauss, namun bilangan prima rasional kongruen dengan 1 mod 4 bukan bilangan prima Gauss.<ref>{{harvnb|Lauritzen|2003}}, Corollary 3.5.14, p. 133; Lemma 3.5.18, p. 136.</ref> Contoh tersebut merupakan akibat dari [[teorema Fermat tentang jumlah dari dua bilangan kuadrat]], yang mengatakan bahwa sebuah bilangan prima ganjil <math>p</math> dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat, <math>p=x^2+y^2</math>, dan demikian dapat difaktorkan sebagai <math>p=(x+iy)(x-iy)</math>, tepat ketika <math>p</math> kongruen dengan 1 mod 4.<ref>{{harvnb|Kraft|Washington|2014}}, [https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA297 Section 12.1, Sums of two squares, pp. 297–301].</ref>
=== Teori grup ===
Dalam teori [[grup hingga]], [[teorema Sylow]] menyiratkan bahwa jika perpangkatan bilangan prima <math>p^n</math> membagi [[tingkat grup]], maka grup memiliki subgrup tingkat <math>p^n</math>. Menurut [[Teorema Lagrange (teori grup)|teorema Lagrange]], suatu grup tingkat bilangan prima adalah [[grup siklik]] dan menurut [[teorema Burnside]], suatu grup yang tingkatnya dibagi oleh dua bilangan prima merupakan [[grup terselesaikan]].<ref>Hall, Marshan (2018), ''[https://books.google.co.id/books?id=K8hEDwAAQBAJ&redir_esc=y The Theory of Groups]''. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81690-6. Untuk teorema Sylow. lihat hlm. 43. Untuk teorema Lagrange, lihat hlm. 12. Untuk teorema Burnside, lihat hlm. 143.</ref>
== Referensi ==
{{div col|colwidth=30em}}
| |||