Bilangan alef: Perbedaan antara revisi

<math>\aleph_1</math> adalah kardinalitas dari himpunan semua [[bilangan ordinal]] yang terhitung, disebut '''ω₁''' atau (kadang-kadang) '''Ω'''. '''ω₁''' sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu [[:en:uncountable set|himpunan tak terhitung]]. Jadi, <math>\aleph_1</math> berbeda dari <math>\aleph_0</math>. Definisi <math>\aleph_1</math> menyiratkan (dalam ZF, [[:en:Zermelo–Fraenkel set theory|teori himpunan Zermelo–Fraenkel]] ''tanpa'' aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara <math>\aleph_0</math> dan <math>\aleph_1</math>.<!-- If the [[axiom of choice]] (AC) is used, it can be further proved that the class of cardinal numbers is [[totally ordered]], and thus <math>\aleph_1</math> is the second-smallest infinite cardinal number. Using AC we can show one of the most useful properties of the set '''ω₁''': any countable subset of '''ω₁''' has an upper bound in '''ω₁'''. (This follows from the fact that a countable union of countable sets is countable, one of the most common applications of AC.) This fact is analogous to the situation in <math>\aleph_0</math>: every finite set of natural numbers has a maximum which is also a natural number, and [[Union (set theory)#Finite unions|finite unions]] of finite sets are finite.

[[Kardinalitas]] suatu himpunan [[bilangan real]] ([[:en:cardinality of the continuum|kardinalitas continuum]]) adalah <math>2^{\aleph_0}</math>. Tidak dapat ditentukan dari ZFC ([[:en:Zermelo–Fraenkel set theory|teori himpunan Zermelo-Fraenkel]] dengan [[:en:axiom of choice|aksioma pilihan]]) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa hipotesis kontinum , ekuivalen dengan persamaan identitas

Untuk mendefinisikan <math>\aleph_\alpha</math> bagi bilangan ordinal sembarang <math>\alpha</math>, perlu didefinisikan [[:en:successor cardinal|operasi kardinal penerus]], yang diberikan pada setiap bilangan kardinal ρ bilangan kardinal ρ{{sup|+}} berikutnya yang lebih besar dalam [[:en:well-order|urutan teratur]] (jika [[:en:axiom of choice|aksioma pilihan]] masih dipertahankan, inilah bilangan kardinal lebih besar berikutnya).

Ordinal awal tak terhingga ke-α ditulis <math>\omega_\alpha</math>. Kardinalitasnya ditulis <math>\aleph_\alpha</math>. Lihat [[:en:initial ordinal|ordinal awal]].

Dalam ZFC, fungsi <math>\aleph</math> adalah suatu [[:en:bijection|bijeksi]] antara bilangan-bilangan ordinal dan kardinal tak terhingga.<ref>{{PlanetMath | urlname=AlephNumbers | title=aleph numbers | id=5710}}</ref>

Kardinalitas suatu [[bilangan ordinal]] tak terhingga adalah sebuah bilangan alef. Setiap bilangan alef adalah kardinalitas sejumlah bilangan ordinal. Yang terkecil di antaranya adalah [[:en:initial ordinal|ordinal awal]]nya. Setiap himpunan yang kardinalitasnya adalah suatu bilangan alef adalah [[:en:equinumerous|ekuinumeral]] dengan suatu bilangan ordinal dan karenanya dapat tertata baik (''well-orderable'').