Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/16: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
||
Baris 1:
[[Berkas:Logarithm_plots.png|jmpl|300x300px|Grafik fungsi logaritma dengan tiga
{{Operasi aritmetika}}
Dalam [[matematika]], '''logaritma''' merupakan [[fungsi invers]] dari [[eksponensiasi]]. Dengan kata lain, logaritma suatu nilai {{mvar|x}} merupakan [[eksponen]] dengan [[
Ada tiga
Logaritma diperkenalkan oleh [[John Napier]] pada tahun 1614 sebagai alat yang menyederhanakan perhitungan.<ref>{{citation|url=http://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614; a lecture|last=Hobson|first=Ernest William|date=1914|publisher=Cambridge : University Press|others=University of California Libraries}}</ref> Logaritma dipakai lebih cepat dalam navigator, ilmu sains, rekayasa, ilmu ukur wilayah, dan bidang lainnya untuk lebih mempermudah perhitungan nilai yang sangat akurat. Dengan menggunakan [[Tabel matematika|tabel logaritma]], cara yang membosankan dalam mengalikan digit yang banyak dapat digantikan dengan melihat tabel dan penjumlahan yang lebih mudah. Ini dapat dilakukan karena bahwa logaritma dari [[Darab (matematika)|hasil kali]] bilangan merupakan logaritma dari [[Penjumlahan|jumlah]] faktor bilangan:
Baris 10:
: <math> \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y,</math>
asalkan bahwa {{mvar|b}}, {{mvar|x}} dan {{mvar|y}} bilangan positif dan {{math|''b'' ≠ 1}}. [[Kaidah geser]] yang juga berasal dari logaritma dapat mempermudah perhitungan tanpa menggunakan tabel, namun perhitungannya kurang akurat. [[Leonhard Euler]] mengaitkan gagasan logaritma saat ini dengan [[fungsi eksponensial]] pada abad ke-18, dan juga memperkenalkan huruf {{mvar|e}} sebagia
[[Skala logaritma]] mengurangi jumlah luas ke lingkup yang lebih kecil. Misalnya, [[desibel]] (dB) adalah [[Satuan pengukuran|satuan]] yang digunakan untuk menyatakan [[Tingkat (kuantitas logaritmik)|rasio sebagai logaritma]], sebagian besar untuk kekuatan sinyal dan amplitudo (contoh umumnya pada [[tekanan suara]]). Dalam kimia, [[pH]] mengukur [[Asam|keasaman]] dari [[larutan berair]] melalui logaritma. Logaritma biasa dalam [[rumus]] ilmiah, dan dalam pengukuran [[Teori kompleksitas komputasi|kompleksitas algoritma]] dan objek geometris yang disebut [[fraktal]]. Logaritma juga membantu untuk menjelaskan [[frekuensi]] rasio [[Interval (musik)|interval musik]], muncul dalam rumus yang menghitung [[bilangan prima]] atau [[Hampiran Stirling|hampiran]] [[faktorial]], memberikan gambaran dalam [[psikofisika]], dan dapat membantu perhitungan [[akuntansi forensik]].
Baris 18:
== Alasan ==
[[Berkas:Binary_logarithm_plot_with_grid.png|alt=Graph showing a logarithmic curve, crossing the ''x''-axis at ''x''= 1 and approaching minus infinity along the ''y''-axis.|ka|jmpl|The [[Graph of a function|graph]] of the logarithm base 2 crosses the [[X axis|''x''-axis]] at {{math|''x'' {{=}} 1}} and passes through the points {{nowrap|(2, 1)}}, {{nowrap|(4, 2)}}, and {{nowrap|(8, 3)}}, depicting, e.g., {{math|log<sub>2</sub>(8) {{=}} 3}} and {{math|2<sup>3</sup> {{=}} 8}}. The graph gets arbitrarily close to the {{mvar|y}}-axis, but [[Asymptotic|does not meet it]].]]
Operasi aritmetika yang paling dasar adalah [[penambahan]], [[perkalian]], dan [[Eksponensiasi|eksponen]]. Kebalikan dari penambahan adalah [[pengurangan]], dan kebalikan dari perkalian adalah [[pembagian]]. Mirip contoh sebelumnya, logaritma merupakan kebalikan dari operasi [[eksponesiasi]]. Eksponensiasi adalah sebuah bilangan ''
: <math>b^y=x.</math>
Baris 24:
Sebagai contoh, {{math|2}} pangkat {{math|3}} memberikan niali {{math|8}}. Secara matematis, <math>2^3 = 8</math>.
Logaritma
Salah satu alasan bersejarah utamanya dalam memperkenalkan logaritma adalah rumus
Baris 31:
yang dapat mempermudah perhitungan nilai perkalian dan pembagian dengan penjumlahan, pengurangan, dan melihat [[tabel logaritma]]. Perhitungan ini ditemukan sebelum adanya penemuan komputer.
== Definisi ==
''Logarithm'' suatu bilangan real positif {{mvar|x}} terhadap bilangan pokok {{mvar|b}}{{refn|Perbatasan {{mvar|x}} dan {{mvar|b}} dijelaskan pada bagian [[#Sifat analitik|"Sifat analitik"]].|group=nb}} merupakan eksponen dengan bilangan pokok {{mvar|b}} yang dipangkatkan suatu bilangan agar memperoleh nilai {{mvar|x}}. Dengan kata lain, logaritma bilangan pokok {{mvar|b}} dari {{mvar|x}} merupakan bilangan real {{mvar|y}} sehingga <math>b^y = x</math>.<ref>{{Citation|last1=Kate|first1=S.K.|last2=Bhapkar|first2=H.R.|title=Basics Of Mathematics|location=Pune|publisher=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|year=2009|url={{google books |plainurl=y |id=v4R0GSJtEQ4C|page=1}}}}, chapter 1</ref> Logaritma dilambangkan sebagai {{math|<sup>''b''</sup>log ''x''}} (dibaca "logaritma {{mvar|x}} dengan bilangan pokok {{mvar|b}}"). Adapun definisi yang setara dan lebih ringkasnya mengatakan bahwa fungsi {{math|<sup>''b''</sup>log}} [[Fungsi invers|invers]] dengan fungsi <math>x\mapsto b^x</math>.
Sebagai contoh, {{math|1=<sup>2</sup>log 16 = 4}}, karena {{math|1=2<sup>4</sup> = 2 × 2 × 2 × 2 = 16}}. Logaritma juga berupakan nilai negatif, sebagai contoh <math display="inline">\log_2 \! \frac{1}{2} = -1</math>, karena <math display="inline">2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}</math>. Logaritma juga berupa nilai desimal, sebagai contoh {{math|<sup>10</sup>log 150}} kira-kira sama dengan 2.176, karena terletak di antara 2 dan 3, begitu pula 150 terletak antara {{math|1=10<sup>2</sup> = 100}} dan {{math|1=10<sup>3</sup> = 1000}}. Adapun sifat logaritma bahwa untuk setiap {{mvar|b}}, {{math|1=<sup>''b''</sup>log ''b'' = 1}} karena {{math|1=''b''<sup>1</sup> = {{mvar|b}}}}, dan {{math|1=<sup>''b''</sup>log 1 = 0}} karena {{math|1=''b''<sup>0</sup> = 1}}.
== Identitas logaritma ==
{{Main|Daftar identitas logaritma}}
Ada beberapa rumus penting, terkadang disebut ''identitas logaritma'', mengaitkan logaritma dengan yang lainnya.<ref>All statements in this section can be found in {{Harvard citations|last1=Shirali|first1=Shailesh|year=2002|loc=section 4|nb=yes}}, {{Harvard citations|last1=Downing|first1=Douglas|year=2003|loc=p. 275}}, or {{Harvard citations|last1=Kate|last2=Bhapkar|year=2009|loc=p. 1-1|nb=yes}}, for example.</ref>
=== Hasil kali, hasil bagi, pangkat, dan akar ===
Logaritma suatu hasil kali merupakan jumlah logaritma dari bliangan yang dikalikan dan logaritma hasil bagi dari dua bilangan merupakan selisih logaritma. Logaritma dari bilangan pangkat ke-{{Mvar|p}} sama dengan ''{{Mvar|p}}'' dikali logaritma itu sendiri dan logaritma bilangan akar ke-{{Mvar|p}} sama dengan logaritma dibagi dengan {{Mvar|p}}. Berikut adalah tabel yang memuat daftar sifat-sifat logaritma tersebut beserta conohtnya. Masing-masing identitas ini berasal dari hasil substitusi dari definisi logaritma <math>x = b^{\, ^b\!\log x}</math> atau <math>y = b^{\, ^b\!\log y}</math> pada ruas kiri.
{| class="wikitable" style="margin: 0 auto;"
!
!Rumus
!Contoh
|-
|Hasil kali
|<math display="inline">\log_b(x y) = \log_b x + \log_b y</math>
|<math display="inline">\log_3 243 = \log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2 + 3 = 5</math>
|-
|Hasil bagi
|<math display="inline">\log_b \!\frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y</math>
|<math display="inline">\log_2 16 = \log_2 \!\frac{64}{4} = \log_2 64 - \log_2 4 = 6 - 2 = 4</math>
|-
|Pangkat
|<math display="inline">\log_b\left(x^p\right) = p \log_b x</math>
|<math display="inline">\log_2 64 = \log_2 \left(2^6\right) = 6 \log_2 2 = 6</math>
|-
|Akar
|<math display="inline">\log_b \sqrt[p]{x} = \frac{\log_b x}{p}</math>
|<math display="inline">\log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5</math>
|}
=== Mengubah bilangan pokok ===<!-- This section is linked from [[Mathematica]] -->
Logaritma {{math|<sup>''b''</sup>log ''x''}} dapat dihitung sebagai hasil bagi logaritma {{mvar|x}} dengan logaritma {{mvar|b}} terhadap bilangan pokok sembarang {{Mvar|k}}. Secara matematis dirumuskan sebagai:
: <math> \log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}.\, </math>
{{Collapse top|title=Turunan dari faktor konversi antara logaritma dengan bilangan pokok sembarang|width=80%}}
Pada identitas
: <math> x = b^{\log_b x} </math>
dapat menerapkan {{math|<sup>''k''</sup>log}}pada kedua ruas sehingga memperoleh
: <math> \log_k x = \log_k \left(b^{\log_b x}\right) = \log_b x \cdot \log_k b</math>.
Mencari solusi untuk <math>\log_b x</math> menghasilkan persamaan:
: <math> \log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}</math>,
showing the conversion factor from given <math>\log_k</math>-values to their corresponding <math>\log_b </math>-values to be <math>(\log_k b)^{-1}.</math>
{{Collapse bottom}}Typical [[scientific calculators]] calculate the logarithms to bases 10 and {{mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}}.<ref>{{Citation|last1=Bernstein|first1=Stephen|last2=Bernstein|first2=Ruth|title=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability|publisher=[[McGraw-Hill]]|location=New York|series=Schaum's outline series|isbn=978-0-07-005023-5|year=1999|url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00bern}}, p. 21</ref> Logarithms with respect to any base {{mvar|b}} can be determined using either of these two logarithms by the previous formula:
: <math> \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}.</math>
Given a number {{mvar|x}} and its logarithm {{math|1=''y'' = log<sub>''b''</sub> ''x''}} to an unknown base {{mvar|b}}, the base is given by:
: <math> b = x^\frac{1}{y},</math>
which can be seen from taking the defining equation <math> x = b^{\,\log_b x} = b^y</math> to the power of <math>\tfrac{1}{y}.</math>
== Referensi ==
| |||