|
== Alasan ==
[[Berkas:Binary_logarithm_plot_with_grid.png|alt=Grafik memperlihatkan kurva logaritmik yang melintasi sumbu-''x'' di {{math|''x''= 1}} dan mendekati negatif takhingga di sepanjang garis sumbu-''y''.|ka|jmpl|Gambar memperlihatkan [[Grafik fungsi|grafik]] logaritma dengan bilangan pokok 2 melintasimemotong [[Sistem koordinat Cartesius|sumbu-''x'']] di {{math|''x'' {{=}} 1}} dan melalui titik {{nowrap|(2, 1)}}, {{nowrap|(4, 2)}}, dan {{nowrap|(8, 3)}}, sebagai contoh, {{math|log<sub>2</sub>(8) {{=}} 3}} anddan {{math|2<sup>3</sup> {{=}} 8}}. TheGrafik graphtersebut getsdengan arbitrarilysembarang close to themendekati sumbu--{{mvar|y}}-axis, but [[Asymptotic|does not meet it]].]]
Operasi aritmetika yang paling dasar adalah [[penambahan]], [[perkalian]], dan [[Eksponensiasi|eksponen]]. Kebalikan dari penambahan adalah [[pengurangan]], dan kebalikan dari perkalian adalah [[pembagian]]. Mirip contoh sebelumnya, logaritma merupakan kebalikan dari operasi [[eksponesiasi]]. Eksponensiasi adalah sebuah bilangan ''bilangan pokok'' {{mvar|b}} yang ketika dipangkatkan dengan {{mvar|y}} memberikan nilai {{mvar|x}}. Ini dirumuskan sebagai
: <math>b^y=x.</math>
Sebagai contoh, {{math|2}} pangkat {{math|3}} memberikan nialinilai {{math|8}}. Secara matematis, <math>2^3 = 8</math>.
Logaritma dengan bilangan pokok {{mvar|b}} merupakan operasi invers yang menyediakan nilai keluar {{mvar|y}} dari nilai masukan {{mvar|x}}. Dalam artian, <math>y = \log_b x</math> ekuivalen dengan to <math>x=b^y</math> jika {{mvar|b}} [[bilangan real]] positif. (Jika {{mvar|b}} bukanlah bilangan real positif, eksponensiasi dan logaritma dapat didefinisikan, namun memberikan beberapa nilai, sehingga definisi darinya semakin rumit.)
yang dapat mempermudah perhitungan nilai perkalian dan pembagian dengan penjumlahan, pengurangan, dan melihat [[tabel logaritma]]. Perhitungan ini ditemukan sebelum adanya penemuan komputer.
== Definisi ==
''Logarithm'' suatu bilangan real positif {{mvar|x}} terhadap bilangan pokok {{mvar|b}}{{refn|Perbatasan {{mvar|x}} dan {{mvar|b}} dijelaskan pada bagian [[#Sifat analitik|"Sifat analitik"]].|group=nb}} merupakan eksponen dengan bilangan pokok {{mvar|b}} yang dipangkatkan suatu bilangan agar memperoleh nilai {{mvar|x}}. Dengan kata lain, logaritma bilangan pokok {{mvar|b}} dari {{mvar|x}} merupakan bilangan real {{mvar|y}} sehingga <math>b^y = x</math>.<ref>{{Citation|last1=Kate|first1=S.K.|last2=Bhapkar|first2=H.R.|title=Basics Of Mathematics|location=Pune|publisher=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|year=2009|url={{google books |plainurl=y |id=v4R0GSJtEQ4C|page=1}}}}, chapter 1</ref> Logaritma dilambangkan sebagai {{math|<sup>''b''</sup>log ''x''}} (dibaca "logaritma {{mvar|x}} dengan bilangan pokok {{mvar|b}}"). Adapun definisi yang setara dan lebih ringkasnya mengatakan bahwa fungsi {{math|<sup>''b''</sup>log}} [[Fungsi invers|invers]] dengan fungsi <math>x\mapsto b^x</math>.
showing the conversion factor from given <math>\log_k</math>-values to their corresponding <math>\log_b </math>-values to be <math>(\log_k b)^{-1}.</math>
{{Collapse bottom}}TypicalAdapun [[scientifickalkulator calculatorsilmiah]] calculateyang themenghitung logarithmslogaritma todengan basesbilangan pokok 10 anddan {{mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}}.<ref>{{Citation|last1=Bernstein|first1=Stephen|last2=Bernstein|first2=Ruth|title=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability|publisher=[[McGraw-Hill]]|location=New York|series=Schaum's outline series|isbn=978-0-07-005023-5|year=1999|url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00bern}}, hlm. 21</ref> LogarithmsLogaritma withterhadap respectsetiap tobilangan anypokok base {{mvar|b}} candapat beditentukan determined using either ofmenggunaka thesemenggunakan twokedua logarithmslogaritma bytersebut themelalui previousrumus formulasebelumnya:
: <math> \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}.</math>
GivenDiberikan asuatu numberbilangan {{mvar|x}} anddan itslogaritma logarithm {{math|1=''y'' = log<sub>''b''</sub> ''x''}}, todengan an unknown base {{mvar|b}}, theadalah bilangan pokok yang tidak diketahui. Bilangan pokok baselogaritma isdapat givendirumuskan by:sebagai
: <math> b = x^\frac{1}{y},</math>
whichRumus cantersebut bedapat seendiperlihatkan fromdengan takingmengambil thepersamaan definingyang equationmendefinisikan <math> x = b^{\,\log_b x} = b^y</math> to the power ofpangkat <math>\tfrac{1}{y}.</math>
== ParticularBilangan basespokok khusus ==
[[Berkas:Log4.svg|jmpl|PlotsFrafik oflogaritma logarithmdengan forbilangan basespokok 0.5,5; 2,; anddan {{mvar|e}}]]
AmongTerdapat alltiga choicesbilangan forpokok theyang baseumum, threedi areantara particularlysemua commonpilihan bilangan pokok pada logaritma. TheseKetiga bilangan pokok tersebut areadalah {{math|1=''b'' = 10}}, {{math|1=''b'' = [[e (mathematical constant)|''e'']]}} (thekonstanta [[Irrationalbilangan number|irrationalirasional]] mathematicalyang constantkira-kira sama ≈dengan 2.71828), anddan {{math|1=''b'' = 2}} (the [[binarylogaritma logarithmbiner]]). InDalam [[mathematicalanalisis analysismatematika]], thelogaritma dengan logarithmbilangan basepokok {{mvar|e}} istersebar widespreadkarena becausesifat ofanalitik analyticalyang propertiesdijelaskan explaineddi belowbawah. OnDi thesisi other handlain, logaritma dengan {{nowrap|base-bilangan pokok 10}} logarithmsmudah aredipakai easydalam to use forperhitungan manual calculationsdalam insistem thebilangan [[decimaldesimal]] number system:<ref>{{Citation|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, NY|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|date=2003|url=https://archive.org/details/algebraeasyway00down_0}}, chapter 17, p. 275</ref>
: <math>\log_^{10}\!\log(10 x) = \log_, ^{10}\!\log 10 + \log_, ^{10}\!\log x = 1 + \log_, ^{10}\!\log x.\ </math>
ThusJadi, {{math|log<sub>10</sub> (''x'')}} isberkaitan relateddengan to the number ofjumlah [[Decimal digit|decimal digitsdesimal]] ofsuatu abilangan positivebulat integerpositif {{mvar|x}}: thejumlah number of digits is thedigitnya smallestmerupakan [[integerbilangan bulat]] strictlyterkecil yang lebih biggerbesar thandari {{math|log<subsup>10</subsup>log (''x'')}}.<ref>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|date=2005}}, p. 20</ref> ForSebagai examplecontoh, {{math|log<subsup>10</subsup>(log 1430)}} iskira-kira approximatelysama dengan 3.,15. TheBilangan nextberikutnya integermerupakan isjumlah 4,digit whichdari is1430, theyaitu number of digits of 14304. Both the natural logarithm and the logarithm to base two are used inDalam [[informationteori theoryinformasi]], correspondinglogaritma toalami thedipakai use ofdalam [[Nat (unit)|natsnat]] ordan logaritma dengan bilangan pokok 2 dipakai dalam [[Bit|bitsbit]] assebagai thesatuan fundamentaldasar units of information, respectivelyinformasi.<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|date=1997|isbn=978-0-521-46760-5|page=3|url={{google books |plainurl=y |id=tBuI_6MQTcwC|page=3}}}}</ref> BinaryLogaritma logarithmsbiner arejuga alsodipakai used indalam [[computersistem sciencebiner]], whereada theyang dimana-mana dalam [[Binaryilmu numeral system|binary systemkomputer]]. is ubiquitous; inDalam [[musicteori theorymusik]], whererasio atinggi pitchnada ratio of twokedua (theyaitu [[octaveoktaf]]) isada ubiquitousdi andmana-mana the number ofdan jumlah[[Cent (music)|cents]] between any two pitches is the binary logarithm, times 1200, of their ratio (that is, 100 cents per [[equal-temperament]] [[semitone]]); and in [[photography]] to measure [[Exposure value|exposure values]], [[Luminance|light levels]], [[Exposure time|exposure times]], [[Aperture|apertures]], and [[Film speed|film speeds]] in "stops".<ref>{{citation|title=The Manual of Photography|first1=Elizabeth|last1=Allen|first2=Sophie|last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis|date=2011|isbn=978-0-240-52037-7|page=228|url={{google books |plainurl=y |id=IfWivY3mIgAC|page=228}}}}</ref>
The following table lists common notations for logarithms to these bases and the fields where they are used. Many disciplines write {{math|log ''x''}} instead of {{math|log<sub>''b''</sub> ''x''}}, when the intended base can be determined from the context. The notation {{math|<sup>''b''</sup>log ''x''}} also occurs.<ref>{{Citation|url=http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html|author1=Franz Embacher|author2=Petra Oberhuemer|title=Mathematisches Lexikon|publisher=mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium|access-date=22 March 2011|language=de}}</ref> The "ISO notation" column lists designations suggested by the [[International Organization for Standardization]] ([[ISO 80000-2]]).<ref>Quantities and units – Part 2: Mathematics (ISO 80000-2:2019); EN ISO 80000-2</ref> Because the notation {{math|log {{mvar|x}}}} has been used for all three bases (or when the base is indeterminate or immaterial), the intended base must often be inferred based on context or discipline. In computer science, {{Math|log}} usually refers to {{math|log<sub>2</sub>}}, and in mathematics {{Math|log}} usually refers to {{math|log<sub>''e''</sub>}}.<ref>{{citation|first1=Michael T.|last1=Goodrich|author1-link=Michael T. Goodrich|first2=Roberto|last2=Tamassia|author2-link=Roberto Tamassia|title=Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples|publisher=John Wiley & Sons|date=2002|page=23|quote=One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms ... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base {{mvar|b}} of the logarithm when {{math|1=''b'' = 2}}.}}</ref> In other contexts, {{Math|log}} often means {{math|log<sub>10</sub>}}.<ref>{{citation|title=Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science|edition=illustrated|first1=David F.|last1=Parkhurst|publisher=Springer Science & Business Media|date=2007|isbn=978-0-387-34228-3|page=288|url={{google books |plainurl=y |id=h6yq_lOr8Z4C|page=288 }}}}</ref>
| 