Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/16: Perbedaan antara revisi

Logaritma diperkenalkan oleh [[John Napier]] pada tahun 1614 sebagai alat yang menyederhanakan perhitungan.<ref>{{citation|url=http://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614; a lecture|last=Hobson|first=Ernest William|date=1914|publisher=Cambridge : University Press|others=University of California Libraries}}</ref> Logaritma dipakai lebih cepat dalam navigator, ilmu sains, rekayasa, ilmu ukur wilayah, dan bidang lainnya untuk lebih mempermudah perhitungan nilai yang sangat akurat. Dengan menggunakan [[Tabel matematika|tabel logaritma]], cara yang membosankan dalam mengalikan digit yang banyak dapat digantikan dengan melihat tabel dan penjumlahan yang lebih mudah. Ini dapat dilakukan karena bahwa logaritma dari [[Darab (matematika)|hasil kali]] bilangan merupakan logaritma dari [[Penjumlahan|jumlah]] faktor bilangan:

 

 

asalkan bahwa {{mvar|b}}, {{mvar|x}} dan {{mvar|y}} bilangan positif dan {{math|''b'' ≠ 1}}. [[Kaidah geser]] yang juga berasal dari logaritma dapat mempermudah perhitungan tanpa menggunakan tabel, namun perhitungannya kurang akurat. [[Leonhard Euler]] mengaitkan gagasan logaritma saat ini dengan [[fungsi eksponensial]] pada abad ke-18, dan juga memperkenalkan huruf {{mvar|e}} sebagia bilangan pokok logaritma alami.<ref>{{citation|title=Theory of complex functions|last=Remmert, Reinhold.|date=1991|publisher=Springer-Verlag|isbn=0387971955|location=New York|oclc=21118309}}</ref>

 

== Alasan ==

Operasi aritmetika yang paling dasar adalah [[penambahan]], [[perkalian]], dan [[Eksponensiasi|eksponen]]. Kebalikan dari penambahan adalah [[pengurangan]], dan kebalikan dari perkalian adalah [[pembagian]]. Mirip contoh sebelumnya, logaritma merupakan kebalikan dari operasi [[eksponesiasi]]. Eksponensiasi adalah sebuah bilangan ''bilangan pokok'' {{mvar|b}} yang ketika dipangkatkan dengan {{mvar|y}} memberikan nilai {{mvar|x}}. Ini dirumuskan sebagai

 

Sebagai contoh, {{math|2}} pangkat {{math|3}} memberikan nilai {{math|8}}. Secara matematis, <math>2^3 = 8</math>.

 

 

Salah satu alasan bersejarah utamanya dalam memperkenalkan logaritma adalah rumus

 

 

yang dapat mempermudah perhitungan nilai perkalian dan pembagian dengan penjumlahan, pengurangan, dan melihat [[tabel logaritma]]. Perhitungan ini ditemukan sebelum adanya penemuan komputer.

|-

|Hasil kali

|<math display="inline">\log_3 243 = \log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2 + 3 = 5</math>

|-

|Hasil bagi

|<math display="inline">\log_2 16 = \log_2 \!\frac{64}{4} = \log_2 64 - \log_2 4 = 6 - 2 = 4</math>

|-

|Pangkat

|<math display="inline">\log_2 64 = \log_2 \left(2^6\right) = 6 \log_2 2 = 6</math>

|-

|Akar

|<math display="inline">\log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5</math>

|}

Logaritma {{math|^''b''log&thinsp;''x''}} dapat dihitung sebagai hasil bagi logaritma {{mvar|x}} dengan logaritma {{mvar|b}} terhadap bilangan pokok sembarang {{Mvar|k}}. Secara matematis dirumuskan sebagai:

 

{{Collapse top|title=Bukti perubahan antara logaritma dengan bilangan pokok sembarang|width=80%}}

Pada identitas

 

 

 

 

 

 

 

: <math> ^b\!\log x = \frac{^{10}\!\log x}{^{10}\!\log b} = \frac{^{e}\!\log x}{^{e}\!\log b}.</math>

: <math> b = x^\frac{1}{y},</math>

 

 

== Bilangan pokok khusus ==

[[Berkas:Log4.svg|jmpl|Grafik logaritma dengan bilangan pokok 0,5; 2; dan {{mvar|e}}]]

 

: <math>^{10}\!\log(10 x) = \, ^{10}\!\log 10 + \, ^{10}\!\log x = 1 + \, ^{10}\!\log x.\ </math>

! scope="row" |{{mvar|e}}

|[[logaritma alami]]

{{Citation

|title = I Want to Be a Mathematician: An Automathography

|isbn=978-0-387-96078-4

}}</ref>

{{Citation

|title = Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis

{{Main|Sejarah logaritma}}

 

 

[[Logaritma biasa]] suatu bilangan adalah indeks pangkat sepuluh yang sama dengan bilangan tersebut.<ref>William Gardner (1742) ''Tables of Logarithms''</ref> Berbicara tentang angka yang membutuhkan banyak angka adalah kiasan kasar untuk logaritma umum, dan disebut oleh [[Archimedes]] sebagai “urutan bilangan”.<ref>{{citation|last=Pierce|first=R. C. Jr.|date=January 1977|doi=10.2307/3026878|issue=1|journal=[[The Two-Year College Mathematics Journal]]|jstor=3026878|pages=22–26|title=A brief history of logarithms|volume=8}}</ref> Logaritma real pertama adalah metode heuristik yang mengubah perkalian menjadi penjumlahan, sehingga memudahkan perhitungan yang cepat. Beberapa metode ini menggunakan tabel yang diturunkan dari identitas trigonometri.<ref>Enrique Gonzales-Velasco (2011) ''Journey through Mathematics – Creative Episodes in its History'', §2.4 Hyperbolic logarithms, p. 117, Springer {{isbn|978-0-387-92153-2}}</ref> Metode tersebut disebut [[prosthafaeresis]].

 

 

Sebelum Euler mengembangkan konsep modernnya tentang logaritma alami kompleks, [[Roger Cotes#Matematika|Roger Cotes]] memiliki hasil yang hampir sama ketika ia menunjukkan pada tahun 1714 bahwa<ref>{{citation|last1=Stillwell|first1=J.|title=Mathematics and Its History|date=2010|publisher=Springer|edition=3rd}}</ref>

:: "...[sebuah] kecerdasan mengagumkan, yang mengurangi pekerjaan berbulan-bulan menjadi beberapa hari, menggandakan kehidupan astronom, dan menghindarinya dari kesalahan dan rasa jijik yang tak terpisahkan dari perhitungan yang panjang."<ref>{{Citation|last1=Bryant|first1=Walter W.|title=A History of Astronomy|url=https://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up|publisher=Methuen & Co|location=London|year=1907}}, p.&nbsp;44</ref>

 

 

A key tool that enabled the practical use of logarithms was the ''[[Log table|table of logarithms]]''.<ref>{{Citation|last1=Campbell-Kelly|first1=Martin|title=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets|title-link=The History of Mathematical Tables|publisher=[[Oxford University Press]]|series=Oxford scholarship online|isbn=978-0-19-850841-0|year=2003}}, section 2</ref> The first such table was compiled by [[Henry Briggs (mathematician)|Henry Briggs]] in 1617, immediately after Napier's invention but with the innovation of using 10 as the base. Briggs' first table contained the [[Common logarithm|common logarithms]] of all integers in the range from 1 to 1000, with a precision of 14&nbsp;digits. Subsequently, tables with increasing scope were written. These tables listed the values of {{math|log₁₀&thinsp;''x''}} for any number&nbsp;{{mvar|x}} in a certain range, at a certain precision. Base-10 logarithms were universally used for computation, hence the name common logarithm, since numbers that differ by factors of 10 have logarithms that differ by integers. The common logarithm of {{mvar|x}} can be separated into an [[integer part]] and a [[fractional part]], known as the characteristic and [[Mantissa (logarithm)|mantissa]]. Tables of logarithms need only include the mantissa, as the characteristic can be easily determined by counting digits from the decimal point.<ref>{{Citation|last1=Spiegel|first1=Murray R.|last2=Moyer|first2=R.E.|title=Schaum's outline of college algebra|publisher=[[McGraw-Hill]]|location=New York|series=Schaum's outline series|isbn=978-0-07-145227-4|year=2006}}, p.&nbsp;264</ref> The characteristic of {{math|10 · {{mvar|x}}}} is one plus the characteristic of {{mvar|x}}, and their mantissas are the same. Thus using a three-digit log table, the logarithm of 3542 is approximated by

 

[[Berkas:Slide_rule_example2_with_labels.svg|al=A slide rule: two rectangles with logarithmically ticked axes, arrangement to add the distance from 1 to 2 to the distance from 1 to 3, indicating the product 6.|pus|jmpl|550x550px|Schematic depiction of a slide rule. Starting from 2 on the lower scale, add the distance to 3 on the upper scale to reach the product&nbsp;6. The slide rule works because it is marked such that the distance from 1 to {{mvar|x}} is proportional to the logarithm of {{mvar|x}}.]]

For example, adding the distance from 1 to 2 on the lower scale to the distance from 1 to 3 on the upper scale yields a product of 6, which is read off at the lower part. The slide rule was an essential calculating tool for engineers and scientists until the 1970s, because it allows, at the expense of precision, much faster computation than techniques based on tables.<ref name="ReferenceA">{{Citation|last1=Maor|first1=Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-14134-3|year=2009|at=sections 1, 13}}</ref>

 

== Analytic properties ==