|
== Definisi ==
''LogarithmLogaritma'' suatu bilangan real positif {{mvar|x}} terhadap bilangan pokok {{mvar|b}}{{refn|Perbatasan {{mvar|x}} dan {{mvar|b}} dijelaskan pada bagian [[#Sifat analitik|"Sifat analitik"]].|group=nb}} merupakan eksponen dengan bilangan pokok {{mvar|b}} yang dipangkatkan suatu bilangan agar memperoleh nilai {{mvar|x}}. Dengan kata lain, logaritma bilangan pokok {{mvar|b}} dari {{mvar|x}} merupakan bilangan real {{mvar|y}} sehingga <math>b^y = x</math>.<ref>{{Citation|last1=Kate|first1=S.K.|last2=Bhapkar|first2=H.R.|title=Basics Of Mathematics|location=Pune|publisher=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|year=2009|url={{google books |plainurl=y |id=v4R0GSJtEQ4C|page=1}}}}, chapter 1</ref> Logaritma dilambangkan sebagai {{math|<sup>''b''</sup>log ''x''}} (dibaca "logaritma {{mvar|x}} dengan bilangan pokok {{mvar|b}}"). Adapun definisi yang setara dan lebih ringkasnya mengatakan bahwa fungsi {{math|<sup>''b''</sup>log}} [[Fungsi invers|invers]] dengan fungsi <math>x\mapsto b^x</math>.
Sebagai contoh, {{math|1=<sup>2</sup>log 16 = 4}}, karena {{math|1=2<sup>4</sup> = 2 × 2 × 2 × 2 = 16}}. Logaritma juga berupakan nilai negatif, sebagai contoh <math display="inline">^2\log_2 !\log\! \frac{1}{2} = -1</math>, karena <math display="inline">2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}</math>. Logaritma juga berupa nilai desimal, sebagai contoh {{math|<sup>10</sup>log 150}} kira-kira sama dengan 2.176, karena terletak di antara 2 dan 3, begitu pula 150 terletak antara {{math|1=10<sup>2</sup> = 100}} dan {{math|1=10<sup>3</sup> = 1000}}. Adapun sifat logaritma bahwa untuk setiap {{mvar|b}}, {{math|1=<sup>''b''</sup>log ''b'' = 1}} karena {{math|1=''b''<sup>1</sup> = {{mvar|b}}}}, dan {{math|1=<sup>''b''</sup>log 1 = 0}} karena {{math|1=''b''<sup>0</sup> = 1}}.
== Identitas logaritma ==
Nilainya dengan ketepatan yang sangat tinggi dapat diperoleh melalui [[interpolasi]]:
:<math>^{10}\!\log 3542 \approx 3 + ^{10}\!\log 3,54 + 0,2 \cdot (\, ^{10}\!\log 3,55 - \,^{10}\!\log 3,54)</math>
Nilai <math>10^x</math> dapat ditentukan dengan pencarian terbalik pada tabel yang sama, karena logaritma merupakan [[fungsi monoton]].
=== Perhitungan ===
Hasil kali atau hasil bagi dari dua bilangan positif {{Mvar|c}} dan ''{{Mvar|d}}'' biasanya dihitung sebagai penambahan dan pengurangan logaritma. Hasil kali {{Math|''cd''}} berasal dari antilogaritma dari penambahan dan hasil bagi {{Math|{{sfrac|1=''c''|2=''d''}}}} berasal dari antilogaritma dari pengurangan, melalui tabel logaritma di atas:
: <math> cd = 10^{\, ^{10}\!\log c} \, 10^{\,^{10}\!\log d} = 10^{\,^{10}\!\log c \, + \, ^{10}\!\log d}</math>
Perhitungan trigonometri dilengkapi dengan tabel-tabel yang memuat logaritm umum dari [[fungsi trigonometri]].
=== Mistar hitung ===
Penerapan penting lainnya adalah [[mistar hitung]], sepasang skala yang dibagi secara logaritmik yang digunakan dalam perhitungan. SkalaAdapun skala logaritmik non-geseryang tidak memiliki sorong, [[kaidahmistar Gunter]], ditemukan tak lama setelah penemuan Napier. dan disempurnakan oleh [[William Oughtred]] menyempurnakannya untuk membuatmenciptakan kaidahmistar geser—sepasanghitung—sepasang skala logaritmik yang dapat dipindahkan terhadap satu sama lain. BilanganAngka yang ditempatkan pada skala geserhitung pada jarak sebanding dengan perbedaanselisih antara logaritma mereka. Menggeser skala atas dengan tepat berarti menambahkan logaritma secara mekanis, seperti yang diilustrasikan berikut ini:
[[Berkas:Slide_rule_example2_with_labels.svg|al=Kaidah geser: dua persegi panjang dengan sumbu yang dicentang secara logaritmik, pengaturan untuk menambahkan jarak dari 1 ke 2 ke jarak dari 1 ke 3, menunjukkan produk 6.|pus|jmpl|550x550px|Penggambaran skema darimengenai kaidahmistar slidehitung. MulaiDimulai dari 2 pada skala di bawah, lalu tambahkan dengan jarak ke 3 pada skala atas untukagar mencapai produkhasil kali 6. KaidahMistar geserhitung berfungsibekerja karena ditandai sedemikian rupa sehingga jarak dari 1 ke <math>x</math> sebanding dengan logaritma <math>x</math>.]]
Misalnya, dengan menambahkan jarak dari 1 ke 2 pada skala yangdi lebih rendahbawah ke jarak dari 1 ke 3 pada skala di atas menghasilkan produkhasil kali 6, yang dibacakan di bagian bawah. PenggarisMistar geserhitung adalah sebuah alat penghitungmenghitung yang penting bagi para insinyur dan ilmuwan hingga tahun 1970-an, karena memungkinkan, dengan mengorbankan presisi,ketepatan nilai memungkinkan komputasiperhitungan yang jauh lebih cepat daripada teknik berdasarkan tabel.<ref name="ReferenceA2">{{Citation|last1=Maor|first1=Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-14134-3|year=2009|at=sections 1, 13}}</ref>
Another critical application was the [[slide rule]], a pair of logarithmically divided scales used for calculation. The non-sliding logarithmic scale, [[Gunter's rule]], was invented shortly after Napier's invention. [[William Oughtred]] enhanced it to create the slide rule—a pair of logarithmic scales movable with respect to each other. Numbers are placed on sliding scales at distances proportional to the differences between their logarithms. Sliding the upper scale appropriately amounts to mechanically adding logarithms, as illustrated here:
[[Berkas:Slide_rule_example2_with_labels.svg|al=A slide rule: two rectangles with logarithmically ticked axes, arrangement to add the distance from 1 to 2 to the distance from 1 to 3, indicating the product 6.|pus|jmpl|550x550px|Schematic depiction of a slide rule. Starting from 2 on the lower scale, add the distance to 3 on the upper scale to reach the product 6. The slide rule works because it is marked such that the distance from 1 to {{mvar|x}} is proportional to the logarithm of {{mvar|x}}.]]
For example, adding the distance from 1 to 2 on the lower scale to the distance from 1 to 3 on the upper scale yields a product of 6, which is read off at the lower part. The slide rule was an essential calculating tool for engineers and scientists until the 1970s, because it allows, at the expense of precision, much faster computation than techniques based on tables.<ref name="ReferenceA">{{Citation|last1=Maor|first1=Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-14134-3|year=2009|at=sections 1, 13}}</ref>
== Sifat analitik ==
AStudi deeperyang studylebih ofdalam logarithmsmengenai requireslogaritma thememerlukan conceptsebuah ofkonsep ayang disebut ''[[FunctionFungsi (mathematicsmatematika)|functionfungsi]]''. AFungsi functionmerupakan issebuah akaidah ruleyang that,dipetakan givensuatu onebilangan number,akan producesmenghasilkan anotherbilangan numberlain.<ref>{{citation|last1=Devlin|first1=Keith|author1-link=Keith Devlin|title=Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics|publisher=Chapman & Hall/CRC|location=Boca Raton, Fla|edition=3rd|series=Chapman & Hall/CRC mathematics|isbn=978-1-58488-449-1|year=2004|url={{google books |plainurl=y |id=uQHF7bcm4k4C}}}}, or see the references in [[Function (mathematics)|function]]</ref> AnSebagai examplecontohnya isseperti thefungsi functionyang producingmenghasilkan thebilangan konstan {{mvar|xb}}-th poweryang ofdipangkatkan {{mvar|b}} fromsetiap anybilangan real number {{mvar|x}},. whereFungsi theini base {{mvar|b}} is a fixed number. This functionditulis issecara writtenmatematis assebagai {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup> ''x''</sup>}}. WhenKetika {{mvar|b}} ispositif positivedan andtak unequalsama todengan 1, we show below thatmaka {{Mvar|f}} isadalah invertiblefungsi whenterbalikkan consideredketika asdianggap asebagai functionfungsi fromdengan theinterval realsdari tobilangan thereal positiveke bilangan real realspositif.
=== Keberadaan ===
| 