|
|Hasil kali
|<math display="inline">^b\!\log(x y) = \, ^b\!\log x + \, ^b\!\log y</math>
|<math display="inline">^3\log_3!\log 243 = \log_3, ^3\!\log (9 \cdot 27) = ^3\log_3!\log 9 + \log_3, ^3\!\log 27 = 2 + 3 = 5</math>
|-
|Hasil bagi
|<math display="inline">^b\!\log \!\frac{x}{y} = \, ^b\!\log x - \, ^b\!\log y</math>
|<math display="inline">^2\log_2!\log 16 = \log_2, ^2\!\log \!\frac{64}{4} = \log_2, ^2\!\log 64 - \log_2, ^2\!\log 4 = 6 - 2 = 4</math>
|-
|Pangkat
|<math display="inline">^b\!\log\left(x^p\right) = p \, ^b\!\log x</math>
|<math display="inline">^2\!\log_2log 64 = \log_2, ^2\!\log \left(2^6\right) = 6 \log_2cdot \, ^2\!\log 2 = 6</math>
|-
|Akar
|<math display="inline">^b\!\log \sqrt[p]{x} = \frac{^b\!\log x}{p}</math>
|<math display="inline">\log_^{10}\!\log \sqrt{1000} = \, \frac{1}{2}\log_cdot \, ^{10}\!\log 1000 = \frac{3}{2} = 1.5</math>
|}
=== Mengubah bilangan pokok ===<!-- This section is linked from [[Mathematica]] -->
: <math> ^b\!\log x = \frac{^k\!\log x}{^k\!\log b}</math>,
{{Collapse bottom}}
Adapun [[kalkulator ilmiah]] yang menghitung logaritma dengan bilangan pokok 10 dan {{mvar|[[e (mathematicalkonstanta constantmatematika)|e]]}}.<ref>{{Citation|last1=Bernstein|first1=Stephen|last2=Bernstein|first2=Ruth|title=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability|publisher=[[McGraw-Hill]]|location=New York|series=Schaum's outline series|isbn=978-0-07-005023-5|year=1999|url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00bern}}, hlm. 21</ref> Logaritma terhadap setiap bilangan pokok {{mvar|b}} dapat ditentukan menggunakan menggunakan kedua logaritma tersebut melalui rumus sebelumnya:
: <math> ^b\!\log x = \frac{^{10}\!\log x}{^{10}\!\log b} = \frac{^{e}\!\log x}{^{e}\!\log b}.</math>
== Bilangan pokok khusus ==
[[Berkas:Log4.svg|jmpl|Grafik logaritma dengan bilangan pokok 0,5; 2; dan {{mvar|e}}]]
Terdapat tiga bilangan pokok yang umum, di antara semua pilihan bilangan pokok pada logaritma. Ketiga bilangan pokok tersebut adalah {{math|1=''b'' = 10}}, {{math|1=''b'' = [[e (konstanta matematika)|''e'']]}} (konstanta [[bilangan irasional]] yang kira-kira sama dengan 2.71828), dan {{math|1=''b'' = 2}} ([[logaritma biner]]). Dalam [[analisis matematika]], logaritma dengan bilangan pokok {{mvar|e}} tersebar karena sifat analitik yang dijelaskan di bawah. Di sisi lain, logaritma dengan {{nowrap|bilangan pokok 10}} mudah dipakai dalam perhitungan manual dalam sistem bilangan [[desimal]]:<ref>{{Citation|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, NY|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|date=2003|url=https://archive.org/details/algebraeasyway00down_0}}, chapter 17, phlm. 275</ref>
: <math>^{10}\!\log(10 x) = \, ^{10}\!\log 10 + \, ^{10}\!\log x = 1 + \, ^{10}\!\log x.\ </math>
Jadi, {{math|log<subsup>10</subsup>log ''x''}} berkaitan dengan jumlah [[digit desimal]] suatu bilangan bulat positif {{mvar|x}}: jumlah digitnya merupakan [[bilangan bulat]] terkecil yang lebih besar dari {{math|<sup>10</sup>log ''x''}}.<ref>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|date=2005}}, p. 20</ref> Sebagai contoh, {{math|<sup>10</sup>log 1430}} kira-kira sama dengan 3,15. Bilangan berikutnya merupakan jumlah digit dari 1430, yaitu 4. Dalam [[teori informasi]], logaritma alami dipakai dalam [[Nat (unit)|nat]] dan logaritma dengan bilangan pokok 2 dipakai dalam [[bit]] sebagai satuan dasar informasi.<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|date=1997|isbn=978-0-521-46760-5|page=3|url={{google books |plainurl=y |id=tBuI_6MQTcwC|page=3}}}}</ref> Logaritma biner juga dipakai dalam [[sistem biner]] ada yang dimana-mana dalam [[ilmu komputer]]. Dalam [[teori musik]], rasio tinggi nada kedua (yaitu [[oktaf]]) ada di mana-mana dan jumlah [[Sen (musik)|sen]] antara setiap dua tinggi nada dirumuskan sebagai konstanta 1200 dikali logaritma dari rasio (yaitu, 100 sen per [[setengah nada]] dengan [[temperamen yang sama]]). Dalam [[fotografi]], logaritma dengan bilangan pokok dua dipakai untuk mengukur [[nilai eksposur]], [[Luminans|tingkatan cahaya]], [[waktu eksposur]], [[tingkap]], dan [[kecepatan film]] dalam "stop".<ref>{{citation|title=The Manual of Photography|first1=Elizabeth|last1=Allen|first2=Sophie|last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis|date=2011|isbn=978-0-240-52037-7|page=228|url={{google books |plainurl=y |id=IfWivY3mIgAC|page=228}}}}</ref>
Tabel berikut memuat notasi-notasi umum mengenai bilangan pokok beserta bidang yang dipakai. Ada beberapa mata pelajaran yang menulis {{math|log ''x''}} daripada {{math|log<sub>''b''</sub> ''x''}}, dan adapula notasi {{math|<sup>''b''</sup>log ''x''}} yang juga muncul pada beberapa mata pelajaran.<ref>{{Citation|url=http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html|author1=Franz Embacher|author2=Petra Oberhuemer|title=Mathematisches Lexikon|publisher=mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium|access-date=22 March 2011|language=de}}</ref> Pada kolom "Notasi ISO" memuat penamaan yang disarankan oleh [[Organisasi Standardisasi Internasional]], yakni [[ISO 80000-2]].<ref>Quantities and units – Part 2: Mathematics (ISO 80000-2:2019); EN ISO 80000-2</ref> Karena notasi {{math|log {{mvar|x}}}} telah dipakai untuk ketiga bilangan pokok di atas (atau ketika bilangan pokok belum ditentukan), bilangan pokok yang dimaksud harus sering diduga tergantung konteks atau mata pelajarannya. Sebagai contoh, {{Math|log}} biasanya mengacu pada {{math|<sup>2</sup>log}} dalam ilmu komputer, dan {{Math|log}} mengacu pada {{math|<sup>''e''</sup>log}}.<ref>{{citation|first1=Michael T.|last1=Goodrich|author1-link=Michael T. Goodrich|first2=Roberto|last2=Tamassia|author2-link=Roberto Tamassia|title=Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples|publisher=John Wiley & Sons|date=2002|page=23|quote=One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms ... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base {{mvar|b}} of the logarithm when {{math|1=''b'' = 2}}.}}</ref> Dalam konteks lainnya, {{Math|log}} seringkali mengacu pada {{math|<sup>10</sup>log}}.<ref>{{citation|title=Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science|edition=illustrated|first1=David F.|last1=Parkhurst|publisher=Springer Science & Business Media|date=2007|isbn=978-0-387-34228-3|page=288|url={{google books |plainurl=y |id=h6yq_lOr8Z4C|page=288 }}}}</ref>
Penemuan [[fungsi (matematika)|fungsi]] sekarang dikenal sebagai [[logaritma alami]] dimulai sebagai upaya untuk [[kuadratur (matematika)|kuadratur]] dari [[hiperbola]] persegi panjang oleh [[Grégoire de Saint-Vincent]], seorang Yesuit Belgia yang tinggal di Praha. Archimedes telah menulis ''[[The Quadrature of the Parabola]]'' pada abad ke-3 SM, tetapi kuadratur untuk hiperbola menghindari semua upaya sampai Saint-Vincent menerbitkan hasilnya pada tahun 1647. Kaitan yang disediakan logaritma berupa antara [[barisan dan deret geometri]] dalam [[argumen dari sebuah fungsi|argumen]] dan nilai [[barisan dan deret aritmetika]], meminta [[A. A. de Sarasa]] untuk mengaitkan kuadratur Saint-Vincent dan tradisi logaritma dalam [[prosthafaeresis]], yang mengarah ke sebuah istilah persamaan kata untuk logaritma alami, yaitu "logaritma hiperbolik". Dengan segera, fungsi baru tersebut dihargai oleh [[Christiaan Huygens]] dan [[James Gregory (matematikawan)|James Gregory]]. Notasi Log y diadopsi oleh [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] pada tahun 1675,<ref>[[Florian Cajori]] (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", [[American Mathematical Monthly]] 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.</ref> dan tahun berikutnya dia mengaitkannya dengan [[kalkulus integral|integral]] <math display="inline">\int \frac{dy}{y} .</math>
Sebelum Euler mengembangkan konsep modernnya tentang logaritma alami kompleks, [[Roger Cotes#Matematika|Roger Cotes]] memiliki hasil yang hampir sama ketika ia menunjukkan pada tahun 1714 bahwa<ref>{{citation|last1=Stillwell|first1=J.|title=Mathematics and Its History|date=2010|publisher=Springer|edition=3rd3}}</ref>
:<math>\log(\cos \theta + i\sin \theta) = i\theta</math>.
Dengan menyederhanakan perhitungan yang rumit sebelum adanya mesin hitung komputer, logaritma berkontribusi pada kemajuan pengetahuan, khususnya [[astronomi]]. Logaritma sangat penting terhadap kemajuan dalam [[survei]], [[navigasi benda langit]], dan cabang lainnya. [[Pierre-Simon Laplace]] menyebut logaritma sebagai
:: "...[sebuah] kecerdasan mengagumkan, yang mengurangi pekerjaan berbulan-bulan menjadi beberapa hari, menggandakan kehidupan astronom, dan menghindarinya dari kesalahan dan rasa jijik yang tak terpisahkan dari perhitungan yang panjang."<ref>{{Citation|last1=Bryant|first1=Walter W.|title=A History of Astronomy|url=https://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up|publisher=Methuen & Co|location=London|year=1907}}, phlm. 44</ref>
Karena fungsi {{math|''f''(''x'') {{=}} {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}} merupakan fungsi invers dari {{math|<sup>''b''</sup>log ''x''}}, maka fungsi tersebut disebut sebagai '''antilogaritma'''.<ref>{{Citation|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=Irene Stegun|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|edition=10th|year=1972|title-link=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables}}, sectionbagian 4.7., phlm. 89</ref> Saat ini, antilogaritma lebih sering disebut [[fungsi eksponensial]].
=== Tabel logaritma ===
Sebuah alat penting yang memungkinkan penggunaan logaritma adalah [[tabel logaritma]].<ref>{{Citation|last1=Campbell-Kelly|first1=Martin|title=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets|title-link=The History of Mathematical Tables|publisher=[[Oxford University Press]]|series=Oxford scholarship online|isbn=978-0-19-850841-0|year=2003}}, sectionbagian 2</ref> Tabel pertama disusun oleh [[Henry Briggs (mathematician)|Henry Briggs]] pada tahun 1617 setelah penemuan Napier, namun penemuannya menggunakan 10 sebagai bilangan pokok. Tabel pertamanya memuat [[logaritma biasa]] dari semua bilangan bulat yang berkisar antara 1 dengan 1000 yang memiliki ketepatan 14 digit. Selanjutnya, tabel dengan cakupan yang meningkat ditulis. Tabel tersebut mencantumkan nilai <math>^{10}\!\log x</math> untuk setiap bilangan <math>x</math> dalam kisaran dan ketepatan tertentu. Karena bilangan yang berbeda dengan faktor 10 memiliki logaritma yang berbeda dengan bilangan bulat, logaritma dengan bilangan pokok 10 digunakan secara universal untuk perhitungan, sehingga disebut logaritma umum. Logaritma umum <math>x</math> dipisahkan menjadi [[bagian bilangan bulat]] yang dikenal sebagai karakteristik, dan [[bagian pecahan]] yang dikenal sebagai [[mantissa (logaritma)|mantissa]]. Tabel logaritma hanya perlu menyertakan mantisa, karena karakteristik logaritma umum dapat dengan mudah ditentukan dengan menghitung angka dari titik desimal.<ref>{{Citation | last1=Spiegel | first1=Murray R. | last2=Moyer | first2=R.E. | title=Schaum's outline of college algebra | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | series=Schaum's outline series | isbn=978-0-07-145227-4 | year=2006}}, phlm. 264</ref> Karakteristik logaritma umum dari <math>10 \timescdot x</math> sama dengan satu ditambah karakteristik <math>x</math>, dan mantissanya sama. Jadi dengan menggunakan tabel logartima dengan tiga digit, nilai logaritma dari 3542 kira-kira sama dengan
:<math>^{10}\!\log 3542 = \,^{10}\!\log (1000 \cdot 3,542) = 3 + \,^{10}\!\log 3,542 \approx 3 + \,^{10}\!\log 3,54</math>
=== Perhitungan ===
Hasil kali atau hasil bagi dari dua bilangan positif {{Mvar|c}} dan ''{{Mvar|d}}'' biasanya dihitung sebagai penambahan dan pengurangan logaritma. Hasil kali {{Math|''cd''}} berasal dari antilogaritma dari penambahan dan hasil bagi {{Math|{{sfrac|1=''c''|2=''d''}}}} berasal dari antilogaritma dari pengurangan, melalui tabel logaritma di atas:
: <math> cd = 10^{\, ^{10}\!\log c} \, 10^{\,^{10}\!\log d} = 10^{\,^{10}\!\log c \, + \, ^{10}\!\log d}</math>
== Sifat analitik ==
Studi yang lebih dalam mengenai logaritma memerlukan sebuah konsep yang disebut ''[[Fungsi (matematika)|fungsi]]''. Fungsi merupakan sebuah kaidah yang dipetakan suatu bilangan akan menghasilkan bilangan lain.<ref>{{citation|last1=Devlin|first1=Keith|author1-link=Keith Devlin|title=Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics|publisher=Chapman & Hall/CRC|location=Boca Raton, Fla|edition=3rd|series=Chapman & Hall/CRC mathematics|isbn=978-1-58488-449-1|year=2004|url={{google books |plainurl=y |id=uQHF7bcm4k4C}}}}, oratau seelihat thereferensinya references indi [[FunctionFungsi (mathematicsmatematika)#Referensi|functionfungsi]].</ref> Sebagai contohnya seperti fungsi yang menghasilkan bilangan konstan {{mvar|b}} yang dipangkatkan setiap bilangan real {{mvar|x}}. Fungsi ini ditulis secara matematis sebagai {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup> ''x''</sup>}}. Ketika {{mvar|b}} positif dan tak sama dengan 1, maka {{Mvar|f}} adalah fungsi terbalikkan ketika dianggap sebagai fungsi dengan interval dari bilangan real ke bilangan real positif.
=== Keberadaan ===
ItMisalkan is{{mvar|b}} aadalah standard result inbilangan real analysispositif thatyang anytidak continuoussama strictlydengan monotonic1 functiondan ismisalkan bijective{{math|1=''f''(''x'') between= its domain and range{{mvar|b}}<sup> ''x''</sup>}}. ThisPernyataan factyang followsdiikuti from thedari [[ intermediateteorema valuenilai theoremantara]] . ini,<ref name="LangIII.3">{{Citation|last1=Lang|first1=Serge|title=Undergraduate analysis|year=1997|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|edition=2nd|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|doi=10.1007/978-1-4757-2698-5|isbn=978-0-387-94841-6|mr=1476913|author1-link=Serge Lang}}, sectionbagian III.3</ref> Now,merupakan hasil standar dalam analisis real yang mengatakan bahwa setiap fungsi monoton sempurna dan kontinu merupakan fungsi bijektif antara ranah ({{Lang-en|domain}}) dan kisarannya ({{Lang-en|range}}). Pernyataan saat ini mengatakan bahwa {{mvar|f}} isyang [[ MonotonicFungsi functionmonoton| strictlymenaik increasingsempurna]] ( foruntuk {{math|''b'' > 1}}), oratau strictlymenurun decreasingsempurna ( foruntuk {{math|0 < {{mvar|b}} < 1}}) ,<ref name="LangIV.2">{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997|nb=yes|loc=section IV.2}}</ref> ismerupakan continuousfungsi kontinu, hasmemiliki domainranah <math>\R</math> , anddan hasmemiliki rangekisaran <math>\R_{> 0}</math>. ThereforeOleh karena itu, {{Mvar|f}} ismerupajan afungsi bijectionbijeksi fromdari <math>\R</math> toke <math>\R_{>0}</math>. InDengan otherkata wordslain, foruntuk eachsetiap positivebilangan real numberpositif {{Mvar|y}}, thereterdapat issetidaknya exactlysatu onebilangan real number {{Mvar|x}} such thatsehingga <math>b^x = y</math>. ▼Misalkan {{mvar|b}} adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1 dan misalkan {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup> ''x''</sup>}}.
▲It is a standard result in real analysis that any continuous strictly monotonic function is bijective between its domain and range. This fact follows from the [[intermediate value theorem]].<ref name="LangIII.3">{{Citation|last1=Lang|first1=Serge|title=Undergraduate analysis|year=1997|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|edition=2nd|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|doi=10.1007/978-1-4757-2698-5|isbn=978-0-387-94841-6|mr=1476913|author1-link=Serge Lang}}, section III.3</ref> Now, {{mvar|f}} is [[Monotonic function|strictly increasing]] (for {{math|''b'' > 1}}), or strictly decreasing (for {{math|0 < {{mvar|b}} < 1}}),<ref name="LangIV.2">{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997|nb=yes|loc=section IV.2}}</ref> is continuous, has domain <math>\R</math>, and has range <math>\R_{> 0}</math>. Therefore, {{Mvar|f}} is a bijection from <math>\R</math> to <math>\R_{>0}</math>. In other words, for each positive real number {{Mvar|y}}, there is exactly one real number {{Mvar|x}} such that <math>b^x = y</math>.
Misalkan <math>^b\log_b!\log\colon\R_{>0}\to\R</math> yang menyatakan kebalikan fungsi {{Mvar|f}}. Dalam artian, {{math|<sup>''b''</sup>log ''y''}} merupakan bilangan real tunggal {{mvar|x}} sehingga <math>b^x = y</math>. Fungsi ini disebut ''fungsi logaritma'' dengan bilangan pokok-{{Mvar|b}} atau ''fungsi logaritmik'' (atau ''logaritma'' saja).
=== Karakterisasi melalui rumus hasil kali ===
: <math>\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y.</math>
Lebih tepatnya, logaritma untuk setiap bilangan pokok {{math|''b'' > 1}} yang hanya merupakan [[fungsi naik|fungsi {{Math|''f''}} naik]] dari bilangan real positif ke bilangnabilangan real memenuhi sifat bahwa {{math|1=''f''(''b'') = 1}} dan<ref>{{citation|title=Foundations of Modern Analysis|volume=1|last=Dieudonné|first=Jean|page=84|year=1969|publisher=Academic Press}} item (4.3.1)</ref>
: <math>f(xy)=f(x)+f(y).</math>
=== Turunan dan antiturunan ===
[[Berkas:Logarithm_derivative.svg|al=Sebuah grafik fungsi logaritma dan sebuah garis yang menyinggungnya di sebuah titik.|ka|jmpl|220x220px|Grafik fungsi [[logaritma alami]] (berwarna hijau) beserta garis singgungnya di {{math|''x'' {{=}} 1,5}} (blackberwarna hitam)]]
Sifat analitik tentang fungsi adalah melewatimelalui fungsi inversnya.<ref name="LangIII.3" /> Jadi, ketika {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}} adalah fungsi kontinu dan [[fungsi terdiferensialkan|terdiferensialkan]], maka {{math|<sup>''b''</sup>log ''y''}} fungsi kontinu dan terdiferensialkan juga. Penjelasan kasarnya, sebuah fungsi kontinu adalah terdiferensialkan jika grafiknya tidak mempunyai "ujung" yang tajam. Lebih lanjut, ketika [[turunan]] dari {{math|''f''(''x'')}} menghitung nilai {{math|ln(''b'') ''b''<sup>''x''</sup>}} melalui sifat-sifat [[fungsi eksponensial]], [[aturan rantai]] menyiratkan bahwa turunan dari {{math|log<sub>''b''</sub> ''x''}} dirumuskan sebagai <ref name="LangIV.2" /><ref>{{citation|work=Wolfram Alpha|title=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))''|publisher=[[Wolfram Research]]|access-date=15 March 2011|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x))}}</ref>
: <math>\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x\ln b}. </math>
Artinya, [[kemiringan]] dari [[garis singgung]] yang menyinggung grafik dari logaritma dengan bilangan pokok {{math|''b''}} di titik {{math|(''x'', <sup>''b''</sup>log (''x''))}} sama dengan {{math|{{sfrac|1=1|2=''x'' ln(''b'')}}}}.
Turunan dari {{Math|ln(''x'')}} adalah {{Math|1/''x''}}, yang berarti ini menyiratkan bahwa {{Math|ln(''x'')}} merupakan [[integral]] tunggal dari {{math|{{sfrac|1=1|2=''x''}}}} yang mempunyai nilai 0 untuk {{math|1=''x'' = 1}}. Hal ini merupakan rumus paling sederhana yang mendorong sifat "alami" pada logaritma alami, dan hal ini juga merupakan salah satu alasan pentingnya konstanta [[E (konstanta matematika)|constant {{Mvar|e}}]].
: <math>\frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>
Hasil bagi pada ruas kanan disebut [[turunan logaritmik]] dari ''{{Mvar|f}}'' dan menghitung {{math|''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'')}} melalui turunan dari {{math|ln(''f''(''x''))}} dikenal sebagai [[pendiferensialan logaritmik]].<ref>{{Citation|last1=Kline|first1=Morris|author1-link=Morris Kline|title=Calculus: an intuitive and physical approach|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|series=Dover books on mathematics|isbn=978-0-486-40453-0|year=1998}}, p. 386</ref> Antiturunan dari [[logaritma alami]] {{math|ln(''x'')}} dirumuskan sebagai:<ref>{{citation|work=Wolfram Alpha|title=Calculation of ''Integrate(ln(x))''|publisher=Wolfram Research|access-date=15 MarchMaret 2011|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x))}}</ref>
: <math>\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.</math>
Adapun [[Daftar integral dari fungsi logaritmik|rumus yang berkaitan]], seperti antiturunan dari logaritma dengan bilangan pokok lainnya dapat diturunkan dari persamaan ini dengan mengubah bilangan pokoknya.<ref>{{Harvard citations|editor1-last=Abramowitz|editor2-last=Stegun|year=1972|nb=yes|loc=phlm. 69}}</ref>
=== Representasi integeral mengenai fungsi logaritma ===
: <math>\ln t = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math>
This definition has the advantage that it does not rely on the exponential function or any trigonometric functions; the definition is in terms of an integral of a simple reciprocal. As an integral, {{math|ln(''t'')}} equals the area between the {{mvar|x}}-axis and the graph of the function {{math|1/''x''}}, ranging from {{math|1=''x'' = 1}} to {{math|1=''x'' = ''t''}}. This is a consequence of the [[fundamental theorem of calculus]] and the fact that the derivative of {{math|ln(''x'')}} is {{math|1/''x''}}. Product and power logarithm formulas can be derived from this definition.<ref>{{Citation|last1=Courant|first1=Richard|title=Differential and integral calculus. Vol. I|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|series=Wiley Classics Library|isbn=978-0-471-60842-4|mr=1009558|year=1988}}, sectionbagian III.6</ref> For example, the product formula {{math|1=ln(''tu'') = ln(''t'') + ln(''u'')}} is deduced as:
: <math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>
=== Transendensi logaritma ===
[[RealHampir number|Real numberssemua]] thatbilangan arereal notadalah transendental (yaitu, [[Algebraicbilangan number|algebraicreal]] areyang calledbukan merupakan [[Transcendentalbilangan number|transcendentalaljabar]];<ref>{{citation|title=Selected papers on number theory and algebraic geometry|volume=172|first1=Katsumi|last1=Nomizu|author-link=Katsumi Nomizu|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|year=1996|isbn=978-0-8218-0445-2|page=21|url={{google books |plainurl=y |id=uDDxdu0lrWAC|page=21}}}}</ref>). forSebagai examplecontoh, [[Pi|''{{pi}}'']] anddan ''[[E (mathematicalkonstanta constantmatematika)|e]]'' areadalah suchbilangan numberstransendental, butsedangkan <math>\sqrt{2-\sqrt 3}</math> is notbukan. [[AlmostLogaritma all]]merupakan realsebuah numbers are transcendental. The logarithm is an example of acontoh [[transcendentalfungsi functiontransendental]]. The [[Gelfond–SchneiderTeorema theoremGelfond–Schneider]] assertsmengatakan thatbahwa logarithmslogaritma usuallybiasanya takemengambil transcendental,nilai-nilai i.e.yang <u>"difficultrumit"</u><sup>[?]</sup>, yaitu bilangan valuestransendental.<ref>{{Citation|last1=Baker|first1=Alan|author1-link=Alan Baker (mathematician)|title=Transcendental number theory|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-20461-3|year=1975}}, p. 10</ref>
== Perhitungan ==
[[Berkas:Logarithm_keys.jpg|jmpl|TheTombol logarithm keyslogaritma (LOG forsebagai bilangan pokok base 10 anddan LN forsebagai bilangan pokok base {{mvar|e}}) onpada asebuah kalkulator grafik [[TI-83 series|TI-83 Plus]] graphing calculator.]]
LogarithmsLogaritma aremerupakan easyalat toperhitungan computeyang inmudah pada somebeberapa caseskasus, such asmisalnya {{math|1=log<subsup>10</subsup>log (1000) = 3}}. InLogaritma general,pada logarithmsumumnya candapat bedihitung calculated usingmelalui [[powerderet serieskuasa]] or theatau [[arithmetic–geometricpurata meanaritmetik–geometrik]], oratau bedidapatkan retrievedkembali fromdari atabel precalculatedlogaritma [[logarithm(sebelum table]]adanya perhitungan logaritma) thatyang providesmenyediakan aketepatan fixednilai precisionkonstan.<ref>{{Citation|last1=Muller|first1=Jean-Michel|title=Elementary functions|publisher=Birkhäuser Boston|location=Boston, MA|edition=2nd|isbn=978-0-8176-4372-0|year=2006}}, sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)</ref><ref>{{Citation|last1=Hart|last2=Cheney|last3=Lawson|year=1968|publisher=John Wiley|location=New York|title=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics|display-authors=etal}}, section 6.3, pp. 105–11</ref> [[Newton'sMetode methodNewton]], ansebuah iterativemetode methodberulang toyang solvemenyelesaikan equationspersamaan approximatelymelalui hampiran, canjuga alsodapat bedipakai useduntuk tomenghitung calculate the logarithmlogaritma, becausekarena itsfungsi inverseinversnya function,(yaitu thefungsi exponential functioneksponensial), candapat bedihitung computeddengan efficientlycepat.<ref>{{Citation|last1=Zhang|first1=M.|last2=Delgado-Frias|first2=J.G.|last3=Vassiliadis|first3=S.|title=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|doi=10.1049/ip-cdt:19941268|journal=IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques|issn=1350-2387|volume=141|year=1994|issue=5|pages=281–92}}, section 1 for an overview</ref> Using look-up tables, [[CORDIC]]-like methods can be used to compute logarithms by using only the operations of addition and [[Arithmetic shift|bit shifts]].<ref>{{Citation|url=https://semanticscholar.org/paper/b3741168ba25f23b694cf8f9c80fb4f2aabce513|first=J.E.|last=Meggitt|title=Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes|journal=IBM Journal of Research and Development|date=April 1962|doi=10.1147/rd.62.0210|volume=6|issue=2|pages=210–26|s2cid=19387286}}</ref><ref>{{Citation|last=Kahan|first=W.|author-link=William Kahan|title=Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials|date=20 May 2001}}</ref> Moreover, the [[Binary logarithm#Algorithm|binary logarithm algorithm]] calculates {{math|lb(''x'')}} [[Recursion|recursively]], based on repeated squarings of {{mvar|x}}, taking advantage of the relation
: <math>\log_2\left(x^2\right) = 2 \log_2 |x|.</math>
[[Berkas:Taylor_approximation_of_natural_logarithm.gif|al=An animation showing increasingly good approximations of the logarithm graph.|ka|jmpl|The Taylor series of {{math|ln(''z'')}} centered at {{math|''z'' {{=}} 1}}. The animation shows the first 10 approximations along with the 99th and 100th. The approximations do not converge beyond a distance of 1 from the center.]]
ForUntuk anysetiap real numberbilangan {{mvar|z}} thatyang satisfiesmemenuhi sifat {{math|0 < ''z'' ≤ 2}}, themaka followingberlaku formula holdsrumus:{{refn|TheDeret sameyang seriessama holdsberlaku foruntuk thenilai principalutama valuedari oflogaritma thekompleks complexuntuk logarithmbilangan for complex numberskompleks {{mvar|z}} satisfyingyang memenuhi {{math|{{!}}''z'' − 1{{!}} < 1}}.|group=nb}}<ref name="AbramowitzStegunp.68">{{Harvard citations|editor1-last=Abramowitz|editor2-last=Stegun|year=1972|nb=yes|loc=phlm. 68}}</ref>
: <math>
</math>
Pernyataan di atas merupakan tulisan singkat untuk mengatakan bahwa {{math|ln(''z'')}} dapat diaproksimasi sebagai bilangan yang lebih-lebih akurat lagi melalui :
This is a shorthand for saying that {{math|ln(''z'')}} can be approximated to a more and more accurate value by the following expressions:
: <math>
== Penerapan ==
[[Berkas:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|al=A photograph of a nautilus' shell.|jmpl|A [[nautilus]] displaying a logarithmic spiral]]
LogarithmsLogaritma havememiliki manybanyak applicationspenerapan insidedi anddalam outsidedan mathematicsdi luar matematika. Some of these occurrences are related to the notion of [[scale invariance]]. For example, each chamber of the shell of a [[nautilus]] is an approximate copy of the next one, scaled by a constant factor. This gives rise to a [[logarithmic spiral]].<ref>{{Harvard citations|last1=Maor|year=2009|nb=yes|loc=p. 135}}</ref> [[Benford's law]] on the distribution of leading digits can also be explained by scale invariance.<ref>{{Citation|last1=Frey|first1=Bruce|title=Statistics hacks|publisher=[[O'Reilly Media|O'Reilly]]|location=Sebastopol, CA|series=Hacks Series|url={{google books |plainurl=y |id=HOPyiNb9UqwC|page=275}}|isbn=978-0-596-10164-0|year=2006}}, chapter 6, section 64</ref> Logarithms are also linked to [[self-similarity]]. For example, logarithms appear in the analysis of algorithms that solve a problem by dividing it into two similar smaller problems and patching their solutions.<ref>{{Citation|last1=Ricciardi|first1=Luigi M.|title=Lectures in applied mathematics and informatics|url={{google books |plainurl=y |id=Cw4NAQAAIAAJ}}|publisher=Manchester University Press|location=Manchester|isbn=978-0-7190-2671-3|year=1990}}, p. 21, section 1.3.2</ref> The dimensions of self-similar geometric shapes, that is, shapes whose parts resemble the overall picture are also based on logarithms. [[Logarithmic scale|Logarithmic scales]] are useful for quantifying the relative change of a value as opposed to its absolute difference. Moreover, because the logarithmic function {{math|log(''x'')}} grows very slowly for large {{mvar|x}}, logarithmic scales are used to compress large-scale scientific data. Logarithms also occur in numerous scientific formulas, such as the [[Tsiolkovsky rocket equation]], the [[Fenske equation]], or the [[Nernst equation]].
=== Skala logaritmik ===
| 