|
== Perhitungan ==
[[Berkas:Logarithm_keys.jpg|jmpl|Tombol logaritma (LOG sebagai bilangan pokok 10 dan LN sebagai bilangan pokok {{mvar|e}}) pada sebuah kalkulator grafik [[TI-83 series|TI-83 Plus]].]]
Logaritma merupakan alat perhitungan yang mudah pada beberapa kasus, misalnya {{math|1=<sup>10</sup>log 1000 = 3}}. Logaritma pada umumnya dapat dihitung melalui [[deret kuasa]] atau [[purata aritmetik–geometrik]], atau didapatkan kembali dari tabel logaritma (sebelum adanya perhitungan logaritma) yang menyediakan ketepatan nilai konstan.<ref>{{Citation|last1=Muller|first1=Jean-Michel|title=Elementary functions|publisher=Birkhäuser Boston|location=Boston, MA|edition=2nd|isbn=978-0-8176-4372-0|year=2006}}, sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)</ref><ref>{{Citation|last1=Hart|last2=Cheney|last3=Lawson|year=1968|publisher=John Wiley|location=New York|title=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics|display-authors=etal}}, section 6.3, pp. 105–11</ref> [[Metode Newton]], sebuah metode berulang yang menyelesaikan persamaan melalui hampiran, juga dapat dipakai untuk menghitung logaritma, karena fungsi inversnya (yaitu fungsi eksponensial), dapat dihitung dengan cepat.<ref>{{Citation|last1=Zhang|first1=M.|last2=Delgado-Frias|first2=J.G.|last3=Vassiliadis|first3=S.|title=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|doi=10.1049/ip-cdt:19941268|journal=IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques|issn=1350-2387|volume=141|year=1994|issue=5|pages=281–92}}, section 1 for an overview</ref> UsingDengan look-upmelihat tabel tableslogaritma, metode seperti [[CORDIC]]-like methodsdapat candipakai beuntuk usedmenghitung tologaritma computehanya logarithmsdengan bymenggunakan usingoperasi onlypenambahan the operations of addition anddan [[Arithmeticgeseran shiftaritmetika|bitgeseran shiftsbit]].<ref>{{Citation|url=https://semanticscholar.org/paper/b3741168ba25f23b694cf8f9c80fb4f2aabce513|first=J.E.|last=Meggitt|title=Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes|journal=IBM Journal of Research and Development|date=April 1962|doi=10.1147/rd.62.0210|volume=6|issue=2|pages=210–26|s2cid=19387286}}</ref><ref>{{Citation|last=Kahan|first=W.|author-link=William Kahan|title=Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials|date=20 May 2001}}</ref> MoreoverTerlebih lagi, the [[BinaryLogaritma logarithmbiner#AlgorithmAlgoritma|binaryalgoritma dari logarithmlogaritma algorithmbiner]] calculatesmenghitung {{math|lb(''x'')}} [[RecursionRekursi|recursivelysecara berulang]], <u>based on repeated squarings of {{mvar|x}}, taking advantage of the relation</u>
: <math>^2\!\log\left(x^2\right) = 2 \cdot \, ^2\!\log |x|.</math>
</math>
Sebagai contoh, pendekatan ketiga saat {{math|''z'' {{=}} 1,5}} memberikan nilai 0,4167. Nilai tersebut kira-kira 0.,011 lebih besar dari {{math|ln(1,5) {{=}} 0,405465}}. [[Deret (matematika)|Deret]] ini yang mengaproksimasi {{math|ln(''z'')}} dengan ketepatan nilai sembarang, menyediakan jumlah dari nilai yang dijumlahkan cukup besar. Dalam kalkulus elementer, {{math|ln(''z'')}} merupakan [[limit]] dari deret ini. It{{math|ln(''z'')}} is themerupakan [[Taylorderet seriesTaylor]] of thedari [[naturallogaritma logarithmalami]] atdi {{math|1=''z'' = 1}}. TheDeret Taylor series ofdari {{math|ln(''z'')}} provideskhususnya amenyediakan particularlyalat usefulyang approximationberguna tountuk mengaproksimasi {{math|ln(1 + ''z'')}} whenketika {{mvar|z}} isbernilai smallkecil, {{math|{{!}}''z''{{!}} < 1}}, since then:
: <math>
</math>
ForSebagai examplecontoh, withhampiran orde pertama memberikan nilai hampiran {{math|ln(1=''z'',1) =≈ 0.,1}} the first-order approximation givesketika {{math|ln(1.1)=''z'' ≈= 0.,1}}, whichyang is less thangalatnya 5% offlebih thekecil correctdari valuenilai eksak 0.,0953.
; Deret lebih efisien
; More efficient series
Deret lainnya berasal dari fungsi [[tangen hiperbolik invers]]:
Another series is based on the [[area hyperbolic tangent]] function:
: <math>
</math>
foruntuk anysetiap realbilangan numberreal {{math|''z'' > 0}}.{{refn|TheDeret sameyang seriessama holdsberlaku foruntuk thenilai principalutama valuedari oflogaritma thekompleks complexuntuk logarithmbilangan for complex numberskompleks {{mvar|z}} withdengan positivebagian real partpositif.|group=nb}}<ref name="AbramowitzStegunp.68" /> UsingDengan menggunakan [[sigmanotasi notationSigma]], thisruas kanan pada rumus di atas isjuga alsodapat writtenditulis assebagai
: <math>\ln (z) = 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2k+1}.</math>
ThisDeret seriesini candapat bediturunkan deriveddari fromderet theTaylor abovedi Tayloratas, series.yang Itkonvergen convergeslebih morecepat quicklydaripada than thederet Taylor series, especiallykhususnya ifjika {{mvar|z}} is close tomendekati 1. ForSebagai examplecontoh, foruntuk {{math|1=''z'' = 1.,5}}, thetiga firstsuku threepertama termsdari ofderet thekedua secondmemberikan seriesnilai approximatehampiran {{math|ln(1.,5)}} with an errordengan ofgalatnya aboutsekitar {{val|3|e=-6}}. The quick convergence for {{mvar|z}} close to 1 can be taken advantage of in the following way: given a low-accuracy approximation {{math|''y'' ≈ ln(''z'')}} and putting
: <math>A = \frac z{\exp(y)},</math>
|
