|
===Bukti analitik teorema Euklides===
[[Bukti bahwa jumlah kebalikan dari bilangan prima divergen|Bukti Euler bahwa ada banyak bilangan prima]] yang mempertimbangkan jumlah [[perkalian invers|kebalikan]] dari bilangan prima,
:<math>\frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 5 + \frac 1 7 + \cdots + \frac 1 p.</math>
Euler menunjukkan bahwa untuk nilai sembarang [[bilangan reallreal]] <math>x</math>, terdapatmenunjukkan sebuah bilangan prima <math>p</math> prima yang jumlahnya lebih besar dari <math>x</math>. <ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Bagian 1.6, Teorema 1.13</ref> IniHal tersebut menunjukkan bahwa ada banyak bilangan prima karena jika ada banyak bilangan prima, jumlah tersebut akan mencapai nilai maksimumnya pada bilangan prima terbesar dari bertambahsetiap melewati setiap <math>x</math>. Tingkat pertumbuhan jumlah dapat dijelaskan lebih tepat oleh [[Teorema Mertens|teorema kedua Mertens]].<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Bagian 4.8, Teorema 4.12</ref> Sebagai perbandingan, jumlah
Tingkat pertumbuhan jumlah ini dijelaskan lebih tepat oleh [[Teorema Mertens|teorema kedua Mertens]].<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Bagian 4.8, Teorema 4.12</ref> Sebagai perbandingan, jumlah
:<math>\frac 1 {1^2} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} + \cdots + \frac 1 {n^2}</math>
tidak tumbuh secara tak-hinggaketakhinggaan saatapabila <math>n</math> menjadi tak-hinggasebagai ketakhinggaan (lihat [[masalah Basel]]). Dalam pengertian ini, bilangan prima sering muncul dibandingkan bilangan kuadrat bilangan asli, meskipun kedua himpunan tak-hinggatersebut adalah ketakhinggaan.<ref name="mtb-invitation">{{cite book|title=An Invitation to Modern Number Theory|first1=Steven J.|last1=Miller|first2=Ramin|last2=Takloo-Bighash|publisher=Princeton University Press|year=2006|isbn=978-0-691-12060-7|pages=43–44|url=https://books.google.com/books?id=kLz4z8iwKiwC&pg=PA43}}</ref> [[Teorema Brun]] menyatakan bahwa jumlah kebalikan dari [[prima kembar]],
:<math> \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) + \cdots, </math>
yang merupakan hingga.berhingga, Karenakarena teorema Brun, tidak mungkin menggunakan metode Euler untuk menyelesaikan [[konjektur prima kembar]], bahwa terdapatmasih ada banyak bilangan prima kembar tak-hinggaketakhinggaan.<ref name="mtb-invitation"/>
===Jumlah bilangan prima bawah batas yang diberikan ===
| 