Bilangan prima: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 159:
[[Konjektur Giuga]] menyebutkan bahwa persamaan ini juga merupakan syarat yang cukup untuk <math>p</math> menjadi prima.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, The property of Giuga, hal. 21–22.</ref>
[[Teorema Wilson]] menyebutkan bahwa sebuah bilangan bulat <math>p>1</math> adalah bilangan prima jika dan hanya jika [[faktorial]] <math>(p-1)!</math> kongruen dengan <math>-1</math> mod <math>p</math>. Untuk {{nowrap|bilangan <math>\;n = r\cdot s\; </math>}} ini tidak berlaku, karena salah satu faktornya membagi {{mvar|n}} dan <math>(n-1)!</math>, dan jadi <math>(n-1)!\equiv -1 \pmod{n}</math> adalah hal mustahil.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, The theorem of Wilson, hal. 21.</ref>
===Bilangan ''p''-adik===
{{main|bilangan P-adik}}
[[urutan P-adik|Urutan <math>p</math>-adik]] <math>\nu_p(n)</math> dari sebuah bilangan bulat <math>n</math> adalah jumlah salinan dari <math>p</math> dalam faktorisasi prima dari <math>n</math>. Konsep yang sama diperluas dari bilangan bulat ke bilangan rasional dengan mendefinisikan urutan <math>p</math>-adik dari pecahan <math>m/n</math> menjadi <math>\nu_p(m)-\nu_p(n)</math>. Nilai absolut <math>p</math>-adik <math>|q|_p</math> dari sembarang bilangan rasional <math>q</math> kemudian didefinisikan sebagai <math>|q|_p=p^{-\nu_p(q)}</math>. Mengalikan bilangan bulat dengan nilai absolut <math>p</math>-adik-nya akan membatalkan faktor <math>p</math> dalam faktorisasinya, dan hanya menyisakan bilangan prima lainnya. Sama seperti jarak antara dua bilangan real yang dapat diukur dengan nilai absolut jaraknya, jarak antara dua bilangan rasional dapat diukur dengan jarak <math>p</math>-adik-nya, nilai absolut <math>p</math>-adik dari selisihnya. Untuk definisi jarak ini, dua bilangan dikatakan berdekatan (memiliki jarak yang kecil) ketika selisihnya habis dibagi dengan pangkat <math>p</math> yang tinggi. Dengan cara yang sama bahwa bilangan real dapat dibentuk dari bilangan rasional dan jaraknya, dengan menambahkan nilai pembatas ekstra untuk membentuk [[medan lengkap]], bilangan rasional dengan jarak <math>p</math>-adik diperluas ke medan lengkap yang berbeda<!--[[bilangan P-adik|bilangan <math>p</math>-adik]]-->.<ref name="childress"/><ref>{{cite book | last1 = Erickson | first1 = Marty | last2 = Vazzana | first2 = Anthony | last3 = Garth | first3 = David | edition = 2nd | isbn = 978-1-4987-1749-6 | mr = 3468748 | page = 200 | publisher = CRC Press | location = Boca Raton, FL | series = Textbooks in Mathematics | title = Introduction to Number Theory | url = https://books.google.com/books?id=QpLwCgAAQBAJ&pg=PA200 | year = 2016}}</ref>
Urutan dari sebuah gambar, nilai absolut, dan medan lengkap yang diturunkan dari bilangan <math>p</math>-adik digeneralisasikan ke [[medan bilangan aljabar]] dan [[Penilaian (aljabar)|penilaian-penilaian]] tersebut (pemetaan tertentu dari Medan [[grup perkalian]] ke [[grup terurut total|grup aditif terurut total]] disebut juga sebagai urutan), [[Nilai absolut (aljabar)|nilai absolut]] (pemetaan perkalian tertentu dari medan ke bilangan real disebut juga sebagai norma),<ref name="childress">{{cite book | last = Childress | first = Nancy | doi = 10.1007/978-0-387-72490-4 | isbn = 978-0-387-72489-8 | mr = 2462595 | pages = 8–11 | publisher = Springer, New York | series = Universitext | title = Class Field Theory | url = https://books.google.com/books?id=RYdy4PCJYosC&pg=PA8 | year = 2009 }} Lihat pula hal. 64.</ref> dan tempat (ekstensi ke [[medan lengkap]] dimana medan yang diberikan adalah [[himpunan rapat]] disebut juga sebagai pelengkapan).<ref>{{cite book | last = Weil | first = André | author-link = André Weil | isbn = 978-3-540-58655-5 | mr = 1344916 | page = [https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866/page/n56 43] | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin | series = Classics in Mathematics | title = Basic Number Theory | url = https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866 | url-access = limited | year = 1995}} Namun perhatikan bahwa beberapa penulis seperti {{harvtxt|Childress|2009}} malah menggunakan "tempat" untuk mengartikan kelas norma yang setara.</ref> Perluasan dari bilangan rasional ke [[bilangan real]], misalnya adalah tempat dimana jarak antara bilangan adalah [[nilai absolut]] biasa dari perbedaannya. Pemetaan yang sesuai ke grup aditif akan menjadi [[logaritma]] dari nilai absolut, meskipun ini tidak memenuhi semua persyaratan penilaian. Menurut [[teorema Ostrowski]], gagasan ekuivalen alami berhingga, bilangan real dan bilangan <math>p</math>-adik dengan urutan dan nilai absolutnya adalah satu-satunya penilaian, nilai absolut, dan tempat pada bilangan rasional.<ref name="childress"/> [[Prinsip lokal-global]] memungkinkan masalah tertentu atas bilangan rasional untuk diselesaikan dengan menyatukan solusi dari masing-masing tempat, sekali lagi menggarisbawahi pentingnya bilangan prima untuk teori bilangan.<ref>{{cite book | last = Koch | first = H. | doi = 10.1007/978-3-642-58095-6 | isbn = 978-3-540-63003-6 | mr = 1474965 | page = 136 | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin | title = Algebraic Number Theory | url = https://books.google.com/books?id=wt1sCQAAQBAJ&pg=PA136 | year = 1997| citeseerx = 10.1.1.309.8812 }}</ref>
=== Anggota bilangan prima dalam gelanggang ===
| |||