E (konstanta matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) mengganti templat |
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 1:
{{DISPLAYTITLE:''e'' (mathematical constant)}}
{{Short description|2,71828..., basis logaritma alami}}
{{Redirect|Bilangan Euler|kegunaan lain|Daftar benda yang dinamai menurut nama Leonhard Euler#Bilangan}}
{{Redirect|E (bilangan)|kode yang mewakili bahan tambahan makanan|Bilangan E}}
[[Berkas:hyperbola E.svg|thumb|237px|right|Grafik persamaan <math>y = 1/x</math>. Di antaranya, <math>e</math> adalah bilangan unik yang lebih besar dari 1 yang membuat daerah yang diarsir sama dengan 1.]]
{{e (konstanta matematika)}}
Bilangan <math>e</math> (atau, disebut juga sebagai '''bilangan Euler''') adalah [[konstanta matematika]] yang dimana nilai kira-kiranya sama dengan 2,71828 dan dikarakterisasi dalam berbagai cara. Hal ini termasuk [[basis logaritma|basis]] dari [[logaritma alami]].<ref>{{cite book |title=Calculus with Analytic Geometry |edition=illustrated |first1=Earl William |last1=Swokowski |publisher=Taylor & Francis |year=1979 |isbn=978-0-87150-268-1 |page=370 |url=https://books.google.com/books?id=gJlAOiCZRnwC}} [https://books.google.com/books?id=gJlAOiCZRnwC&pg=PA370 Extract of page 370]</ref><ref>{{Cite web|title=e - Euler's number|url=https://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html|access-date=2020-08-10|website=www.mathsisfun.com}}</ref> Ini adalah [[limit dari sebuah urutan|limit]] dari <math>(1 + 1/n)^n</math> sebagai <math>n</math> yang mendekati nilai tak hingga, ekspresi yang muncul dalam studi [[bunga majemuk (keuangan)|bunga majemuk]]. Ini dihitung sebagai jumlah dari [[Deret (matematika)|deret]] tak hingga<ref>[[Encyclopedic Dictionary of Mathematics]] 142.D</ref><ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=e|url=https://mathworld.wolfram.com/e.html|access-date=2020-08-10|website=mathworld.wolfram.com|language=en|ref=mathworld}}</ref>
:<math>e = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots</math>
Ini juga merupakan bilangan positif unik <math>a</math> sehingga grafik fungsi <math>y = a^x</math> memiliki [[kemiringan]] dari 1 pada <math>x = 0</math>.<ref>{{cite book |title=Calculus I |edition=2nd |first1=Jerrold |last1=Marsden |first2=Alan |last2=Weinstein |publisher=Springer |year=1985 |isbn=0-387-90974-5 |page=319 |url=https://books.google.com/books?id=KVnbZ0osbAkC}}</ref>
[[Fungsi eksponensial]] (alami) <math>f(x) = e^x</math> adalah fungsi unik <math>f</math> sama dengan [[turunan]]-diri dan memenuhi persamaan <math>f''(0) = 1</math>; maka seseorang juga mendefinisikan <math>e</math> sebagai <math>f(1)</math>. Logaritma alami atau logaritma ke basis <math>e</math>, adalah [[fungsi invers]] pada fungsi eksponensial alami. Logaritma alamai suatu bilangan <math>k > 1</math> didefinisikan secara langsung sebagai [[integral|luas bawah]] kurva <math>y = 1/x</math> antara <math>x = 1</math> dan <math>x = k</math>, dalam hal ini <math>e</math> adalah nilai <math>k</math> yang luasnya sama dengan satu (lihat gambar diatas).
<math>e</math> kadang-kadang disebut '''bilangan Euler''', setelah metematikawan asal Swiss [[Leonhard Euler]] (jangan keliru dengan <math>\gamma</math>, [[konstanta Euler–Mascheroni]], terkadang disebut juga sebagai ''konstanta Euler''), atau '''konstanta Napier'''.<ref name=":1" /> Namun, pilihan Euler atas simbol <math>e</math> dikatakan sudah dipertahankan untuk menghormatinya.<ref name="mathworld">{{cite web|last=Sondow|first=Jonathan|title=e|url=http://mathworld.wolfram.com/e.html|work=[[MathWorld|Wolfram Mathworld]]|publisher=[[Wolfram Research]]|access-date=10 May 2011}}</ref> Konstanta ini ditemukan oleh matematikawan Swiss [[Jacob Bernoulli]] saat mempelajari bunga majemuk.<ref name="Pickover">{{cite book |title=The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics |edition=illustrated |first1=Clifford A. |last1=Pickover |publisher=Sterling Publishing Company |year=2009 |isbn=978-1-4027-5796-9 |page=166 |url=https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC}} [https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA166 Extract of page 166]</ref><ref name="OConnor">{{cite web|url=<!-- http://www.gap-system.org/~history/PrintHT/e.html -->http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html|title=The number ''e''|publisher=MacTutor History of Mathematics|first1=J J|last1=O'Connor|first2=E F|last2=Robertson}}</ref>
Bilangan <math>e</math> sangat penting digunakan dalam bidang matematika,<ref>{{cite book|title = An Introduction to the History of Mathematics|url = https://archive.org/details/introductiontohi00eves_0|url-access = registration|author = Howard Whitley Eves|year = 1969|publisher = Holt, Rinehart & Winston|isbn =978-0-03-029558-4}}</ref> disamping 0, 1, [[Pi|<math>\pi</math>]], dan {{mvar|[[Unit imajiner|<math>\mathrm{i}</math>]]}}. Kelimanya muncul dalam satu formulasi [[identitas Euler]], dan memainkan peran penting dan berulang di seluruh bidang matematika.<ref>{{cite book |title=Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics |edition=illustrated |first1=Robinn |last1=Wilson |publisher=Oxford University Press |year=2018 |isbn=9780192514059 |page=(preface) |url=https://books.google.com/books?id=345HDwAAQBAJ}}</ref><ref>{{cite book |title=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number |edition=illustrated |first1=Alfred S. |last1=Posamentier |first2=Ingmar |last2=Lehmann |publisher=Prometheus Books |year=2004 |isbn=9781591022008 |page=68 |url=https://books.google.com/books?id=QFPvAAAAMAAJ}}</ref> Seperti konstanta <math>\pi</math>, <math>e</math> adalah [[Bilangan irasional|irasional]] (yaitu, tidak dapat direpresentasikan sebagai rasio bilangan bulat) dan [[Bilangan transendental|transendental]] (yaitu bukan akar dari [[polinomial]] bukan nol dengan koefisien rasional).<ref name=":1" /> Untuk 50 tempat desimal nilai <math>e</math> adalah:
{{block indent
| {{gaps|2.71828|18284|59045|23536|02874|71352|66249|77572|47093|69995...}} {{OEIS|A001113}}.
}}
==Sejarah==
| |||