|
[[Berkas:Möbius_strip.jpg|ka|jmpl|Sebuah pitastrip Möbius yang dibuatterbuat dengandari kertas dan plester.]]
Dalam [[matematika]], '''strip Möbius''' atau '''pita''' '''Möbius''' adalah suatu [[Permukaan (topologi)|permukaan]] yang dapat dibentuk dengan menempel ujung pita tersebut dengan memutarnya sebagian. Sebagai sebuah objek matematika, pita ini ditemukan oleh [[Johann Benedict Listing]] dan [[August Ferdinand Möbius]] pada tahun 1858, namun pita ini sudah muncul di mosaik [[Romawi Kuno|Roman]] pada abad ketiga masehi. PitaStrip Möbius merupakan permukaan yang [[Keterarahkan|tidak dapat diarahkan]] (atau permukaan takterarahkan) , dalam artian bahwa dalam pita tersebut selalu tidak selalu dapat membedakan [[arah jarum jam]] dengan arah sebaliknya. Setiap permukaan yang tidak dapat diarahkan memuat sebuah pitastrip Möbius.
Karena berupakan [[ruang topologis]] yang abstrak, pitastrip Möbius dapat dibenamkan menjadi [[ruang Euklides]] berdimensi tiga dalam berbagai cara: sebuah pita yang diputar setengah dengan arah jarum jam berbeda dengan yang diputar setengah dengan arah yang berlawanan, dan pitastrip Möbius dapat dibenamkan dengan jumlah putaran ganjil yang lebih besar dari satu, atau dengan garis tengah yang [[Buhul (matematika)|dibuhul]]. Secara topologis dikatakan [[Isotopi sekitar|ekuivalen]] apabila setiap dua pembenaman dengan buhul dalam garis tengah dan jumlah arah putaran yang sama. Semua pembenaman pada pitastrip Möbius hanya memiliki satu sisi, namun pita dapat mempunyai dua sisi bila dibenamkan dalam ruang lain. Pita ini hanya mempunyai sebuah [[Batas (topologi)|kurva batas]] yang tunggal.
Ada beberapa konstruksi geometris pitastrip Möbius yang menyediakannya dengan struktur tambahan. Pita tersebut dapat disapu sebagai permukaan bergaris dengan memutar ruas garis di sebuah bidang yang berputar, dengan atau tanpa menyilang dirinya sendiri. Secarik kertas yang tipis dengan ujungnya yang ditempelkan agar membentuk sebuah pitastrip Möbius dapat dibelokkan dengan lancar sebagai secarik kertas dengan [[Permukaan terkembangkan|permukaan yang dapat dikembangkan]] atau dengan [[Matematika tentang lipatan kertas#Lipatan rata|rata yang terlipat]] (contoh mengenai pitastrip Möbius yang diratakan, seperti [[Fleksagon|triheksafleksagon]]). PitaStrip Möbius Sudan merupakan sebuah permukaan minimal dalam sebuah hiperbola, dan pitastrip Möbius Meeks merupakan permukaan minimal yang memotong diri sendiri dalam ruang Euklides biasa. PitaStrip Möbius Sudan dan pitastrip Möbius yang memotong diri sendiri lainnya (yaitu [[Pita Möbius#Membuat lingkar batas|cross-cap]]), mempunyai batas yang melingkar. Sebuah pitastrip Möbius tanpa adanya batas (disebut pitastrip Möbius terbuka) dapat membentuk permukaan dari kurva konstanta. Ruang yang sangat simetris dengan titik-titiknya mewakili garis di bidang mempunyai bentuk pitastrip Möbius.
Ada beberapa penerapan terhadap pitastrip Möbius. Penerapan tersebut diantaranya: [[Sabuk (mesin)|sabuk dalam mesin]] yang memakai pada kedua sisi dengan rata, [[kereta luncur]] dengan jalur berganda yang mengangkut secara bergantian di antara kedua jalur tersebut, dan [[peta dunia]] yang dicetak sehingga [[antipoda]] muncul berseberangan. PitaStrip Möbius muncul dalam molekul dengan elektrik yang tidak biasa dan perangkat dengan sifat-sifat elektromekanis, dan pita ini telah dipakai untuk membuktikan hasil kemustahilan dalam [[teori pemilihan sosial]]. Dalam budaya populer, pitastrip Möbius muncul dalam hasil karya [[M. C. Escher]], [[Max Bill]], dan tokoh lainnya. Pita ini muncul dalam desain dari [[simbol daur ulang]]. Ada banyak konsep tentang arsitek yang terinspirasi oleh pitastrip Möbius strip, seperti desain bangunan [[NASCAR Hall of Fame]]. Pemain sandiwara seperti [[Harry Blackstone Sr.]] dan [[Thomas Nelson Downs]] menggunakan trik sulap yang berasal dari sifat-sifat pitastrip Möbius. Musik [[Kanon (musik)|kanon]] milik [[J. S. Bach]] telah dianalisis bahwa musiknya menggunakan pitastrip Möbius. Ada banyak karya yang bersifat [[Fiksi spekulatif|fiksi dan spekulatif]] menampilkan strip Möbius; lebih umumnya, struktur alur berdasarkan pitastrip Möbius, atau kejadian yang berulang dengan memutar struktur alur, biasanya merupakanterdapat di dalam karya fiksi.
== Asal-usul ==
| caption2 = Lukisan oleh [[Ismail al-Jazari]] (1206), yang menggambarkan [[pompa rantai]] dengan rantai penggerak Möbius.
}}
Penemuan pitastrip Möbius sebagai objek matematika dihubungkan dengan matematikawan Jerman [[Johann Benedict Listing]] dan [[August Ferdinand Möbius]] secara terpisah pada tahun {{nowrap|1858.{{r|pickover}}}} Akan tetapi, pita öbiusi sudah dtkenal sejak lama sebagai benda fisik dan gambaran artistik. PitaStrip Möbius khususnya dapat dilihat dalam berbagai mosaik Roma pada {{nowrap|abad ketiga masehi.{{r|roman|ancient}}}} Pada umumnya, mosaik tersebut hanya menggambarkan pita yang bergelung sebagai batasnya. Ketika jumlah gelungnya adalah ganjil, pita-pita tersebut merupakan pitastrip Möbius, namun bila jumlahnya adalah genap, pita-pita tersebut secara topologis ekuivalen dengan [[Anulus (matematika)|gelanggang yang tidak diputar]]. Therefore,Karena whetheritu thepita ribbonyang ismerupakan astrip Möbius strip may behanyalah coincidentalkebetulan, ratherbukan thandipilih a deliberatedengan choicesengaja. Pada setidaknya satu kasus<u>,</u> sebuah pita dengan warna yang berbeda pada sisi yang berbeda <u>drawn</u>digambar dengan putaran gelung yang berjumlahkan ganjil<u>,</u> <u>forcing its artist to make a clumsy fix at the point where the colors did not {{nowrap|match up.{{r|roman}}}}</u> AnotherMosaik mosaiclain fromyang theberasal towndari ofkota [[Sentinum]] (depicted)memperlihatkan showsgambar theseorang [[zodiac]], held by the goddewa [[Aion (deitydewa)|Aion]], assedang amemegang band[[zodiak]] withsebagai onlypita ayang singlehanya twistdengan setengah putaran. ThereTidak isada nobukti clearjelas evidenceyang thatmengatakan thebahwa <u>one-sidedness of this visual representation of celestial time was intentional</u>; itmelainkan couldhanya havedapat beendipilih chosensebagai merelycara asuntuk amembuat waysemua tolambang makezodiak allmuncul ofpada thesisi signspita ofyang theterlihat. zodiacAda appearjuga onyang themengatakan visiblebahwa sidebeberapa ofgambaran thekuno strip.seperti Some other ancient depictions of thegambar [[ourobourosouroboros]] oratau ofhiasan berbentuk [[LemniscateLemniskat|figure-eightangka delapan]]-shaped decorationsmenggambarkan arestrip alsoMöbius, allegednamun tobelum depictjelas Möbiusapakah strips,strip butMöbius whetherbermaksud theyuntuk weremenggambar intendedsegala tojenis depictpita flatyang stripsrata of any type isatau {{nowrap|uncleartidak.{{r|ancient}}}}
Independently of the mathematical tradition, machinists have long known that [[Belt (mechanical)|mechanical belts]] wear half as quickly when they form Möbius strips, because they use the entire surface of the belt rather than only the inner surface of an untwisted belt.{{r|roman}} Additionally, such a belt may be less prone to curling from side to side. An early written description of this technique dates to 1871, which is after the first mathematical publications regarding the Möbius strip. Much earlier, an image of a [[chain pump]] in a work of [[Ismail al-Jazari]] from 1206 depicts a Möbius strip configuration for its drive {{nowrap|chain.{{r|ancient}}}} Another use of this surface was made by seamstresses in Paris (at an unspecified date): they initiated novices by requiring them to stitch a Möbius strip as a collar onto a {{nowrap|garment.{{r|roman}}}}
== Sifat-sifat ==
[[Berkas:Fiddler_crab_mobius_strip.gif|kiri|jmpl|Sebuah objek dua dimensi bergerak melintang sekali disekitar pitastrip Möbius dan kembali ke posisi semula dalam bentuk yang tercermin.|309x309px]]
PitaStrip Möbius mempunyai beberapa sifat yang aneh. PitaStrip Möbius merupakan [[Keterarahkan|permukaan takterarahkan]], yang berarti bahwa jika sebuah benda dimensi dua asimetris yang meluncur sekali di sekitar pita tersebut, maka benda tersebut kembali ke posisi semula dengan bentuk yang tercermin. Khususnya, sebuah kurva dengan panah yang mengarah ke jarum jam (↻) akan kembali ketika sebuah panah yang mengarah ke arah jarum jam yang berlawanan (↺). Hal ini menyiratkan bahwa dalam pitastrip Möbius mustahil untuk selalu menentukan apakah benda mengarah ke jarum jam atau sebaliknya. PitaStrip Möbius merupakan permukaan takterarahkan yang sederhana, yang mengatakan bahwa setiap permukaan lain adalah takterarahkan jika dan hanya jika permukaan tersebut mempunyai pitastrip Möbius sebagai {{nowrap|subhimpunan.{{r|chirality}}}} <u>Relatedly</u>, whenketika embeddedpembenamannya intomenjadi [[Euclideanruang spaceEuklides]], thestrip Möbius striphanya has onlymempunyai onesatu sidesisi. ASebuah three-dimensionalbenda objecttiga thatdimensi slidesyang oneberjalan timesekali arounddi thesekitar surface of thepermukaan strip istersebut nottidak mirroredtercermin, melainkan butkembali insteadke returnstitik toyang thesama sameyang pointmuncul ofdi thesisi striplain, onmemperlihatkan whatbahwa appearskedua locallyposisinya tohanya bemerupakan itsbagian otherdari side,satu showingsisi thatpada both positions are really partstrip of a single sidetersebut. ThisPerilaku behaviorpada isstrip differentini fromberbeda familiardengan [[Orientable surface|orientablepermukaan surfacesterarahkan]] inyang threeterkenal dimensionsdalam suchtiga asdimensi thoseseperti modeledstrip byyang flatdimodelkan sheetsdengan oflembaran paper,kertas cylindrical drinkingyang strawsrata, orsedotan hollowminuman balls,yang forberbentuk whichtabung, oneatau sidebola ofberongga, theyang surfacesuatu issisi notpermukaannya connectedtidak toterhubung thedengan otheryang lain.{{sfnp|Pickover|2005|pp=8–9}} However,Namun thisperilaku istersebut amerupakan propertysifat ofpembenaman itsstrip embeddingtersebut intoyang spacemenjadi ratherruang, thanbukan ansebuah intrinsicsifat propertyintristik ofdari thestrip Möbius strip itselfsendiri: thereterdapat existruang othertopologis topologicallain spacesyang in which thestrip Möbius stripdapat candibenamkan besehingga embeddedmempunyai so that it has twodua {{nowrap|sidessisi.{{r|woll}}}} ForSebagai instancecontoh, ifjika thewajah frontkubus anddi backdepan facesdan ofdi abelakang cubeditempelkan areke gluedsatu tosama eachlain otherdengan withmencerminkan asebelah left-rightkiri mirrordan reflectionsebelah kanan, themaka resulthasilnya isberupakan asebuah three-dimensionalruang topologicaltopologis spacetiga dimensi (theyaitu, [[Cartesiandarab productCartesius]] ofsuatu astrip Möbius stripdengan with ansebuah interval) inyang whichbagian theatas topdan andbawah bottomkubus halvesdapat ofdipisah thedari cubesatu cansama belain separateddengan fromdua eachsisi otherpada by a two-sided Möbiusstrip {{nowrap|stripMöbius.{{efn|Essentially this example, but for a [[Klein bottle]] rather than a Möbius strip, is given by {{harvtxt|Blackett|1982}}.{{r|blackett}}}}}} In contrast to disks, spheres, and cylinders, for which it is possible to simultaneously embed an [[uncountable set]] of [[Disjoint sets|disjoint]] copies into three-dimensional space, only a countable number of Möbius strips can be simultaneously {{nowrap|embedded.{{r|frolkina|defy|melikhov}}}}
A path along the edge of a Möbius strip, traced until it returns to its starting point on the edge, includes all boundary points of the Möbius strip in a single continuous curve. For a Möbius strip formed by gluing and twisting a rectangle, it has twice the length of the centerline of the strip. In this sense, the Möbius strip is different from an untwisted ring and like a circular disk in having only one {{nowrap|boundary.{{sfnp|Pickover|2005|pp=8–9}}}} A Möbius strip in Euclidean space cannot be moved or stretched into its mirror image; it is a [[Chirality (mathematics)|chiral]] object with right- or {{nowrap|left-handedness.{{sfnp|Pickover|2005|p=52}}}} Möbius strips with odd numbers of half-twists greater than one, or that are knotted before gluing, are distinct as embedded subsets of three-dimensional space, even though they are all equivalent as two-dimensional topological {{nowrap|surfaces.{{sfnp|Pickover|2005|p=12}}}} More precisely, two Möbius strips are equivalently embedded in three-dimensional space when their centerlines determine the same knot and they have the same number of twists as each {{nowrap|other.{{r|kyle}}}} With an even number of twists, however, one obtains a different topological surface, called the {{nowrap|[[Annulus (mathematics)|annulus]].{{sfnp|Pickover|2005|p=11}}}}
== Konstruksi ==
Ada berbagai cara dalam mendefinisikan permukaan geometris melalui pitastrip Möbius dalam topologi, <u>yielding realizations with additional geometric properties</u>.
=== Menyapu sebuah ruas garis ===
[[Berkas:Mobius strip.gif|jmpl|180x180px|Sebuah pitastrip Möbius disapu dengan memutar ruas garis dalam sebuah bidang putaran.]]
[[Berkas:Plucker's conoid (n=2).gif|jmpl|[[Konoid Plücker]] disapu dengan gerakan suatu ruas garis yang berbeda.]]
One way to embed the Möbius strip in three-dimensional Euclidean space is to sweep it out by a line segment rotating in a plane, which in turn rotates around one of its {{nowrap|lines.{{r|maschke}}}} For the swept surface to meet up with itself after a half-twist, the line segment should rotate around its center at half the angular velocity of the plane's rotation. This can be described as a [[parametric surface]] defined by equations for the [[Cartesian coordinates]] of its points,<math display="block">
A rectangular Möbius strip, made by attaching the ends of a paper rectangle, can be embedded smoothly into three-dimensional space whenever its aspect ratio is greater than {{nowrap|<math>\sqrt 3\approx 1.73</math>,}} the same ratio as for the flat-folded equilateral-triangle version of the Möbius {{nowrap|strip.{{r|sadowsky-translation}}}} This flat triangular embedding can lift to a smooth{{efn|This piecewise planar and cylindrical embedding has [[smoothness]] class <math>C^2</math>, and can be approximated arbitrarily accurately by [[infinitely differentiable]] {{nowrap|(class <math>C^\infty</math>)}} embeddings.{{r|bartels-hornung}}}} embedding in three dimensions, in which the strip lies flat in three parallel planes between three cylindrical rollers, each tangent to two of the {{nowrap|planes.{{r|sadowsky-translation}}}} Mathematically, a smoothly embedded sheet of paper can be modeled as a [[developable surface]], that can bend but cannot {{nowrap|stretch.{{r|bartels-hornung|starostin-vdh}}}} As its aspect ratio decreases toward <math>\sqrt 3</math>, all smooth embeddings seem to approach the same triangular {{nowrap|form.{{r|darkside}}}}
The lengthwise folds of an accordion-folded flat Möbius strip prevent it from forming a three-dimensional embedding in which the layers are separated from each other and bend smoothly without crumpling or stretching away from the {{nowrap|folds.{{r|fuchs-tabachnikov}}}} Instead, unlike in the flat-folded case, there is a lower limit to the aspect ratio of smooth rectangular Möbius strips. Their aspect ratio cannot be less than {{nowrap|<math>\pi/2\approx 1.57</math>,}} even if self-intersections are allowed. Self-intersecting smooth Möbius strips exist for any aspect ratio above this {{nowrap|bound.{{r|fuchs-tabachnikov|halpern-weaver}}}} Without self-intersections, the aspect ratio must be at {{nowrap|least{{r|schwartz}}}}<math display="block">\frac{2\sqrt{4-2\sqrt3}+4}{\sqrt{2\sqrt3}+2\sqrt{2\sqrt3-3}}\approx 1.695.</math>{{unsolved|matematika|Dapatkah secarik kertas berbentuk persegi panjang dengan ukuran <math>12\times 7</math> ditempelkan dari ujung ke ujung agar membentuk sebuah pita Möbius mulus yang dibenamkan di sebuah ruang? {{efn|Di antara {{math|1,695}} dan {{math|1,73}}, {{sfrac|1=12|2=7}} merupakan bilangan rasional paling sederhana <u>in the range of aspect ratios</u>, di antara 1,695 dan 1,73,dalam <u>forsejumlah whichrasio theaspek existenceyang ofkeberadaan asuatu smoothpembenaman embeddingmulus isbelum unknowndiketahui.</u>}}}}
For aspect ratios between this bound {{nowrap|and <math>\sqrt 3</math>,}} it is unknown whether smooth embeddings, without self-intersection, {{nowrap|exist.{{r|fuchs-tabachnikov|halpern-weaver|schwartz}}}} If the requirement of smoothness is relaxed to allow [[continuously differentiable]] surfaces, the [[Nash–Kuiper theorem]] implies that any two opposite edges of any rectangle can be glued to form an embedded Möbius strip, no matter how small the aspect ratio {{nowrap|becomes.{{efn|These surfaces have smoothness class <math>C^1</math>. For a more fine-grained analysis of the smoothness assumptions that force an embedding to be developable versus the assumptions under which the [[Nash–Kuiper theorem]] allows arbitrarily flexible embeddings, see remarks by {{harvtxt|Bartels|Hornung|2015}}, p. 116, following Theorem 2.2.{{r|bartels-hornung}}}}}} The limiting case, a surface obtained from an infinite strip of the plane between two parallel lines, glued with the opposite orientation to each other, is called the ''unbounded Möbius strip'' or the real [[tautological line bundle]].{{r|dundas}} Although it has no smooth embedding into three-dimensional space, it can be embedded smoothly into four-dimensional Euclidean {{nowrap|space.{{r|blanusa}}}}
== Penerapan ==
[[Berkas:Möbius_resistor.svg|jmpl|Electrical flow in a [[Möbius resistor]]]]
Adapun penerapan pitastrip Möbius yang telah dibahas di atas, seperti desain sabuk mekanis yang memakai di seluruh permukaannya dengan rata, dan konoid Plücker dalam desain gerigi. Selain itu, ada penerapan lain mengenai pitastrip Möbius, seperti:
* [[Graphene]] ribbons twisted to form Möbius strips with new electronic characteristics including helical magnetism{{r|graphene}}
|
