Kalkulus: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Límite 01.svg|jmpl|300px|Definisi limit: kita katakan bahwa limit <math>f(x)</math> ketika <math>x</math> mendekati titik <math>p</math> adalah <math>L</math> apabilajika untuk setiap bilangan ε<math>\varepsilon > 0 apapun</math>, terdapat bilangan δ<math>\delta > 0,</math> sedemikian rupanya: sehingga <math display="block"> 0 < |x-p| <\delta \RightarrowLongrightarrow |f(x)-L|<\epsilonvarepsilon </math>]]

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan ''dx'' yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½{{Sfrac|1|2}}, ⅓{{Sfrac|1|3}}, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi "ciri-ciri Archimedes". Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.<ref name=Larson>{{Cite book|first1=Ron|last1=Larson|authorlink1=Ron Larson (mathematician)|first2=Bruce H.|last2=Edwards|title=Calculus of a single variable|edition=Ninth|publisher=[[Brooks/Cole]], [[Cengage Learning]]|year=2010|isbn=978-0-547-20998-2}}</ref>

Diberikan fungsi ''<math>f(x)''</math> yang terdefinisikan pada interval di sekitar <math>p</math>, terkecuali mungkin pada <math>p</math> itu sendiri. Kita mengatakan bahwa '''limit ''<math>f(x)</math>'' ketika''' <math>x </math>'''mendekati <math>p</math> adalah L''' <math>L</math>, dan menuliskan:

jika, untuk setiap bilangan ε<math>\varepsilon > 0</math>, terdapat bilangan δ<math>\delta > 0</math> yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap <math>x</math>:

:<math> 0 < |x-p| <\delta \RightarrowLongrightarrow |f(x)-L|<\epsilonvarepsilon \,</math>

Secara matematis, turunan fungsi ƒ'''''<math>f(x)</math>''''' terhadap variabel <math>x</math> adalah ƒ′<math>f'</math> yang nilainya pada titik <math>x</math> adalah:

dengan syarat limit tersebut eksisada. Jika ƒ′<math>f'</math> eksisada pada titik <math>x</math> tertentu, kita katakan bahwa ƒ<math>f'</math> terdiferensialkan (memiliki turunan) pada <math>x</math>, dan jika <math>f'</math> ada di setiap titik pada domain <math>f</math>, kita sebut <math>f</math> terdiferensialkan.

Apabila ''<math>z'' = ''x'' + ''h''</math>, ''<math>h'' = ''z'' - ''x''</math>, dan ''<math>h''</math> mendekati 0 ''jika dan hanya jika'' ''<math>z''</math> mendekati ''<math>x''</math>, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

[[Berkas:Tangent derivative calculusdia.jpeg|jmpl|250px|ka|Garis singgung pada <math>(''x'',f(x))</math>. ''Turunan sebuah kurva <math>f''(''x''))</math> pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.]]

Ilmu yang mempelajari definisi, propertisifat, dan aplikasi dari [[turunan]] atau [[gradien|kemiringan]] dari sebuah grafik disebut [[kalkulus diferensial]]

[[Berkas:Sec2tan.gif|jmpl|250px|Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva ''<math>f''(''x'')</math> di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.]]

'''Notasi Leibniz''' diperkenalkan oleh [[Gottfried Leibniz]] dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar ''<math>y'' = ƒf(x) </math> dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap <math>x</math> ditulis sebagai:<ref name=leibniz/>

'''Notasi Lagrange''' diperkenalkan oleh [[Joseph-Louis de Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ<math>f(''x'')</math> ditulis sebagai ƒ′<math>f'(''x'')</math> ataupun hanya ƒ′<math>f'</math>.

'''Notasi Newton''', juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila ''<math>y'' = ''ƒ''f(''t'')</math>, maka <math>\dot{y}</math> mewakili turunan ''<math>y''</math> terhadap ''<math>t''</math>. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang [[fisika]] dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.

'''Notasi [[Leonhard Euler|Euler]]''' menggunakan operator diferensial ''<math>D''</math> yang diterapkan pada fungsi ''ƒ<math>f</math>'' untuk memberikan turunan pertamanya ''<math>Df''</math>. Apabila ''<math>y'' = ''ƒ''f(''x'')</math> adalah variabel terikat, maka sering kali ''<math>x</math>'' dilekatkan pada ''D<math>x</math>'' untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel ''<math>x</math>''. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

|'''Turunan ƒ<math>f(''x'')</math> terhadap ''<math>x''</math>'''

|<math>\dot{y}</math><br /> dengan ''<math>y'' = ''ƒ''f(''x'')</math>

[[Berkas:Integral as region under curve.svg|ka|jmpl|250px|Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ''ƒ''<math>f(''x'')</math>, antara dua titik ''<math>a''</math> dan ''<math>b''</math>.]]

Diberikan suatu fungsi ''ƒ''<math>f</math> bervariabel real ''<math>x''</math> dan interval antara <math>[a, b]</math> pada garis real, '''integral tertentu''':

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayahdaerah pada bidang -<math>xy</math> yang dibatasi oleh kurva grafik ''ƒ''<math>f</math>, sumbu-<math>x</math>, dan garis vertikal ''<math>x'' = ''a''</math> dan ''<math>x'' = ''b''</math>.

Pada notasi integral di atas: ''<math>a''</math> adalah ''batas bawah'' dan ''<math>b''</math> adalah ''batas atas'' yang menentukan domain pengintegralan, ''ƒ''<math>f</math> adalah integran yang akan dievaluasi terhadap ''<math>x</math>'' pada interval <math>[a,b]</math>, dan ''<math>dx''</math> adalah variabel pengintegralan.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi [[integral Riemann]]. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari "[[Jumlah Riemann|penjumlahan Riemann]]". Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ''ƒ''<math>f</math> pada interval tertutup <math>[''a'','' b'']</math>. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval <math>[''a'','' b'']</math> dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah ''<math>n''-1 titik {''x''<sub>1</submath>, ''x''₂,titik ''x''<sub>3</submath>\{x_1,...x_2, ''x''<sub>x_3,\dots,x_{n - 1}\}</submath>} antara <math>a</math> dengan <math>b</math> sehingga memenuhi hubungan:<ref name=riemann>Bernard Riemann. "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (On the representability of a function by a trigonometric series; i.e., when can a function be represented by a trigonometric series). Makalah ini diserahkan kepada Universitas Göttingen pada tahun 1854 sebagai ''Habilitationsschrift'' Riemann (kualifikasi untuk menjadi instruktur). Diterbitkan pada tahun 1868 dalam ''Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen'' (Proceedings of the Royal Philosophical Society at Göttingen), vol. 13, hlm. 87-132. (dapat dibaca [http://books.google.com/books?id=PDVFAAAAcAAJ&pg=RA1-PA87 di sini].) Definisi integral Riemann, lihat bagian 4, "Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (On the concept of a definite integral and the extent of its validity), hlm. 101-103.</ref>

Himpunan <math> P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,</math> tersebut kita sebut sebagai '''partisi''' <math>[''a'','' b'']</math>, yang membagi <math>[''a'','' b'']</math> menjadi sejumlah ''<math>n''</math> subinterval <math> [x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n] </math>. Lebar subinterval pertama [''x''<sub>0</submath>[x_0,''x''<sub>1x_1]</submath>] kita nyatakan sebagai Δ''x''<submath>1\Delta x_1</submath>, demikian pula lebar subinterval ke-''i'' kita nyatakan sebagai Δ''x''<sub>i</submath>\Delta x_i = ''x''_''i''x_i - ''x''<sub>''x_{i'' - 1}</submath>. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-''<math>i''</math> tersebut kita memilih titik sembarang t<submath>it_i</submath>. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δ''<math>\Delta x''</math> dan tingginya berawal dari sumbu ''<math>x''</math> sampai menyentuh titik (''t''<sub>i</submath>(t_i, ''ƒ''f(''t''<sub>it_i))</submath>)) pada kurva. ApabilaJika kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ''ƒ''(''t''_i)· Δ''x''_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

Penjumlahan ''S''<submath>''p''S_p</submath> disebut sebagai '''penjumlahan Riemann untuk ''ƒ''<math>f</math> pada interval <math>[''a'','' b'']</math>.''' Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi <math>\lVert P \rVert</math> mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.<ref name=riemann/>

Diberikan ''ƒ''<math>f(''x'')</math> sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup <math>[''a'','' b'']</math>. Kita katakan bahwa bilangan ''<math>I''</math> adalah '''integral tertentu''' ''ƒ''<math>f</math> di sepanjang <math>[''a'','' b'']</math> dan bahwa ''<math>I''</math> adalah limit dari penjumlahan Riemann <math>\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i </math> apabila kondisisyarat berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε<math>\varepsilon > 0 apapun </math>terdapat sebuah bilangan δ<math>\delta > 0</math> yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi <math>P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}</math> di sepanjang <math>[''a'','' b'']</math> dengan <math>\lVert P \rVert < \delta </math> dan pilihan ''t''<submath>''i''t_i</submath> apapun pada [''x''<submath>''[x_{k'' - 1</sub>}, ''t''<sub>''i''t_i]</submath>], kita dapatkan

::<math>\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilonvarepsilon.</math>

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah ''<math>n''</math> subinterval yang sama, maka lebar Δ''<math>\Delta x'' = (''\tfrac{b'' -'' a'')/}{n}</math>, sehingga persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai:

Sebagai contohnya, apabila hendak menghitung integral tertentu <math>\int_0^b x\, dx</math>, yakni mencari luas daerah ''<math>A''</math> di bawah kurva ''<math>y''=''x''</math> pada interval <math>[0,''b'']</math>, ''<math>b''>0</math>, maka perhitungan integral tertentu <math>\int_0^b x\, dx</math> sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah

Pemilihan partisi ataupun titik ''t''<submath>''i''t_i</submath> secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi ''<math>P''</math> membagi-bagi interval <math>[0,''b'']</math> menjadi <math>n</math> subinterval yang berlebar sama Δ''<math>\Delta x'' = (''\tfrac{b'' - 0)/''}{n''} = ''\tfrac{b''/''}{n''}</math> dan titik ''t'''<submath>''i''t_i</submath> yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah <math> P = \{0, \tfrac{b}{n}, \tfrac{2b}{n}, \tfrac{3b}{n}, \ldots, \tfrac{nb}{n}\}</math> dan <math>t_i = \tfrac{ib}{n}</math>, sehingga:

Seiring dengan ''<math>n''</math> mendekati tak terhingga dan norma partisi <math>\lVert P \rVert</math> mendekati 0, maka didapatkan:

Keseluruhan himpunan '''antiturunan'''/'''antiderivatif''' sebuah fungsi ''ƒ''<math>f</math> adalah '''integral tak tentu''' ataupun '''primitif''' dari ''ƒ''<math>f</math> terhadap <math>x</math> dan dituliskan secara matematis sebagai:

EkspresiBentuk ''<math>F(x) + C''</math> adalah '''antiderivatif umum''' ''ƒ''<math>f</math> dan ''<math>C''</math> adalah konstanta sembarang.

:<math>\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C</math>.

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk <math>\int_a^b f(x) \, dx </math> adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu:<math>\int f(x) \, dx </math> adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang ''<math>C''</math>.

Jika sebuah fungsi ''<math>f''</math> adalah [[Fungsi kontinu|kontinu]] pada interval <math>[''a'',''b'']</math> dan jika ''<math>F''</math> adalah fungsi yang mana turunannya adalah ''<math>f''</math> pada interval <math>(''a'',''b'')</math>, maka

Lebih lanjut, untuk setiap ''<math>x''</math> di interval <math>(''a'',''b'')</math>,

Anti derivatif dari fungsi <math>f(x)= x\, </math> adalah <math>F(x)= \fractfrac{1}{2} x^2 + C</math>. Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu <math>\int_a^b x \,dx</math> adalah:

Apabila kita hendak mencari luas daerah <math>A</math> dibawah kurva <math>y=x</math> pada interval <math>[0,b]</math>, <math>b>0</math>, maka kita akan dapatkan: