Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/18: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
||
Baris 6:
Ada beberapa konstruksi geometris strip Möbius yang menyediakannya dengan struktur tambahan. Pita tersebut dapat disapu sebagai permukaan bergaris dengan memutar ruas garis di sebuah bidang yang berputar, dengan atau tanpa menyilang dirinya sendiri. Secarik kertas yang tipis dengan ujungnya yang ditempelkan agar membentuk sebuah strip Möbius dapat dibelokkan dengan lancar sebagai secarik kertas dengan [[Permukaan terkembangkan|permukaan yang dapat dikembangkan]] atau dengan [[Matematika tentang lipatan kertas#Lipatan rata|rata yang terlipat]] (contoh mengenai strip Möbius yang diratakan, seperti [[Fleksagon|triheksafleksagon]]). Strip Möbius Sudan merupakan sebuah permukaan minimal dalam sebuah hiperbola, dan strip Möbius Meeks merupakan permukaan minimal yang memotong diri sendiri dalam ruang Euklides biasa. Strip Möbius Sudan dan strip Möbius yang memotong diri sendiri lainnya (yaitu [[Pita Möbius#Membuat lingkar batas|cross-cap]]), mempunyai batas yang melingkar. Sebuah strip Möbius tanpa adanya batas (disebut strip Möbius terbuka) dapat membentuk permukaan dari kurva konstanta. Ruang yang sangat simetris dengan titik-titiknya mewakili garis di bidang mempunyai bentuk strip Möbius.
Ada beberapa penerapan terhadap strip Möbius. Penerapan tersebut diantaranya: [[Sabuk (mesin)|sabuk dalam mesin]] yang memakai pada kedua sisi dengan rata, [[kereta luncur]] dengan jalur berganda yang mengangkut secara bergantian di antara kedua jalur tersebut, dan [[peta dunia]] yang dicetak sehingga [[antipoda]] muncul berseberangan. Strip Möbius muncul dalam molekul dengan elektrik yang tidak biasa dan perangkat dengan sifat-sifat elektromekanis, dan pita ini telah dipakai untuk membuktikan hasil kemustahilan dalam [[teori pemilihan sosial]]. Dalam budaya populer, strip Möbius muncul dalam hasil karya [[M. C. Escher]], [[Max Bill]], dan tokoh lainnya
== Asal-usul ==
Baris 16:
| caption2 = Lukisan oleh [[Ismail al-Jazari]] (1206), yang menggambarkan [[pompa rantai]] dengan rantai penggerak Möbius.
}}
Penemuan strip Möbius sebagai objek matematika dihubungkan dengan matematikawan Jerman [[Johann Benedict Listing]] dan [[August Ferdinand Möbius]] secara terpisah pada tahun {{nowrap|1858.{{r|pickover}}}} Akan tetapi, pita öbiusi sudah dtkenal sejak lama sebagai benda fisik dan gambaran artistik. Strip Möbius khususnya dapat dilihat dalam berbagai mosaik Roma pada {{nowrap|abad ketiga masehi.{{r|roman|ancient}}}} Pada umumnya, mosaik tersebut hanya menggambarkan pita yang bergelung sebagai batasnya. Ketika jumlah gelungnya adalah ganjil, pita-pita tersebut merupakan strip Möbius, namun bila jumlahnya adalah genap, pita-pita tersebut secara topologis ekuivalen dengan [[Anulus (matematika)|gelanggang yang tidak diputar]]. Karena itu, pita yang merupakan strip Möbius hanyalah kebetulan, bukan dipilih dengan sengaja. Pada setidaknya satu kasus<u>,</u> sebuah pita dengan warna yang berbeda pada sisi yang berbeda digambar dengan putaran gelung yang berjumlahkan ganjil<u>,</u> <u>forcing its artist to make a clumsy fix at the point where the colors did not {{nowrap|match up.{{r|roman}}}}</u> Mosaik lain yang berasal dari kota [[Sentinum]] memperlihatkan gambar seorang dewa [[Aion (dewa)|Aion]] sedang memegang [[zodiak]] sebagai pita yang hanya dengan setengah putaran. Tidak ada bukti jelas yang memihak representasi visual mengenai <u>celestial time was intentional</u>; melainkan hanya dapat dipilih sebagai cara untuk membuat semua lambang zodiak muncul pada sisi pita yang terlihat. Ada juga yang mengatakan bahwa beberapa gambaran kuno seperti gambar [[ouroboros]] atau hiasan berbentuk [[Lemniskat|angka delapan]] menggambarkan strip Möbius, namun belum jelas apakah strip Möbius bermaksud untuk menggambar segala jenis pita yang rata atau {{nowrap|tidak.{{r|ancient}}}}
Independently of the mathematical tradition, machinists have long known that [[Belt (mechanical)|mechanical belts]] wear half as quickly when they form Möbius strips, because they use the entire surface of the belt rather than only the inner surface of an untwisted belt.{{r|roman}} Additionally, such a belt may be less prone to curling from side to side. An early written description of this technique dates to 1871, which is after the first mathematical publications regarding the Möbius strip. Much earlier, an image of a [[chain pump]] in a work of [[Ismail al-Jazari]] from 1206 depicts a Möbius strip configuration for its drive {{nowrap|chain.{{r|ancient}}}} Another use of this surface was made by seamstresses in Paris (at an unspecified date): they initiated novices by requiring them to stitch a Möbius strip as a collar onto a {{nowrap|garment.{{r|roman}}}}
Baris 22:
== Sifat-sifat ==
[[Berkas:Fiddler_crab_mobius_strip.gif|kiri|jmpl|Sebuah objek dua dimensi bergerak melintang sekali disekitar strip Möbius dan kembali ke posisi semula dalam bentuk yang tercermin.|309x309px]]
Strip Möbius mempunyai beberapa sifat yang aneh. Strip Möbius merupakan [[Keterarahkan|permukaan takterarahkan]], yang berarti bahwa jika sebuah benda dimensi dua asimetris yang meluncur sekali di sekitar pita tersebut, maka benda tersebut kembali ke posisi semula dengan bentuk yang tercermin. Khususnya, sebuah kurva dengan panah yang mengarah ke jarum jam (↻) akan kembali ketika sebuah panah yang mengarah ke arah jarum jam yang berlawanan (↺). Hal ini menyiratkan bahwa dalam strip Möbius mustahil untuk selalu menentukan apakah benda mengarah ke jarum jam atau sebaliknya. Strip Möbius merupakan permukaan takterarahkan yang sederhana, yang mengatakan bahwa setiap permukaan lain adalah takterarahkan jika dan hanya jika permukaan tersebut mempunyai strip Möbius sebagai {{nowrap|subhimpunan.{{r|chirality}}}} <u>Relatedly</u>, ketika pembenamannya menjadi [[ruang Euklides]], strip Möbius hanya mempunyai satu sisi. Sebuah benda tiga dimensi yang berjalan sekali di sekitar permukaan strip tersebut tidak tercermin, melainkan kembali ke titik yang sama yang muncul di sisi lain, memperlihatkan bahwa kedua posisinya hanya merupakan bagian dari satu sisi pada strip tersebut. Perilaku pada strip ini berbeda dengan [[permukaan terarahkan]] yang terkenal dalam tiga dimensi seperti strip yang dimodelkan dengan lembaran kertas yang rata, sedotan minuman yang berbentuk tabung, atau bola berongga, yang suatu sisi permukaannya tidak terhubung dengan yang lain.{{sfnp|Pickover|2005|pp=8–9}} Namun perilaku tersebut merupakan sifat pembenaman strip tersebut yang menjadi ruang, bukan sebuah sifat intristik dari strip Möbius sendiri
A path along the edge of a Möbius strip, traced until it returns to its starting point on the edge, includes all boundary points of the Möbius strip in a single continuous curve. For a Möbius strip formed by gluing and twisting a rectangle, it has twice the length of the centerline of the strip. In this sense, the Möbius strip is different from an untwisted ring and like a circular disk in having only one {{nowrap|boundary.{{sfnp|Pickover|2005|pp=8–9}}}} A Möbius strip in Euclidean space cannot be moved or stretched into its mirror image; it is a [[Chirality (mathematics)|chiral]] object with right- or {{nowrap|left-handedness.{{sfnp|Pickover|2005|p=52}}}} Möbius strips with odd numbers of half-twists greater than one, or that are knotted before gluing, are distinct as embedded subsets of three-dimensional space, even though they are all equivalent as two-dimensional topological {{nowrap|surfaces.{{sfnp|Pickover|2005|p=12}}}} More precisely, two Möbius strips are equivalently embedded in three-dimensional space when their centerlines determine the same knot and they have the same number of twists as each {{nowrap|other.{{r|kyle}}}} With an even number of twists, however, one obtains a different topological surface, called the {{nowrap|[[Annulus (mathematics)|annulus]].{{sfnp|Pickover|2005|p=11}}}}
Baris 46:
== Konstruksi ==
Ada berbagai cara dalam mendefinisikan permukaan geometris melalui strip Möbius dalam topologi
=== Menyapu sebuah ruas garis ===
[[Berkas:Mobius strip.gif|jmpl|
[[Berkas:Plucker's conoid (n=2).gif|jmpl|[[Konoid Plücker]] disapu dengan gerakan suatu ruas garis yang berbeda.]]
\begin{align}
x(u,v)&= \left(1+\frac{v}{2} \cos \frac{u}{2}\right)\cos u\\
y(u,v)&= \left(1+\frac{v}{2} \cos\frac{u}{2}\right)\sin u\\
z(u,v)&= \frac{v}{2}\sin \frac{u}{2}\\
\end{align}</math>
A line or line segment swept in a different motion, rotating in a horizontal plane around the origin as it moves up and down, forms [[Plücker's conoid]] or cylindroid, an algebraic [[ruled surface]] in the form of a self-crossing Möbius {{nowrap|strip.{{r|francis}}}} It has applications in the design of {{nowrap|[[gear]]s.{{r|dooner-seirig}}}}
Baris 86:
| total_width = 480
| image1 = Mobius to Klein.gif
| caption1 =
| image2 = MobiusStrip-02.png
| caption2 =
}}
Lawson's Klein bottle is a self-crossing [[minimal surface]] in the [[unit hypersphere]] of 4-dimensional space, the set of points of the form<math display="block">(\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,\cos2\theta\sin\phi,\sin2\theta\sin \phi)</math>for {{nowrap|<math>0\le\theta<\pi,0\le\phi<2\pi</math>.{{r|lawson}}}} Half of this Klein bottle, the subset with <math>0\le\phi<\pi</math>, gives a Möbius strip embedded in the hypersphere as a minimal surface with a [[great circle]] as its {{nowrap|boundary.{{r|schleimer-segerman}}}} This embedding is sometimes called the "Sudanese Möbius strip" after topologists Sue Goodman and Daniel Asimov, who discovered it in the {{nowrap|1970s.{{r|sudanese}}}} Geometrically Lawson's Klein bottle can be constructed by sweeping a great circle through a great-circular motion in the 3-sphere, and the Sudanese Möbius strip is obtained by sweeping a semicircle instead of a circle, or equivalently by slicing the Klein bottle along a circle that is perpendicular to all of the swept {{nowrap|circles.{{r|ddg|franzoni}}}} [[Stereographic projection]] transforms this shape from a three-dimensional spherical space into three-dimensional Euclidean space, preserving the circularity of its {{nowrap|boundary.{{r|ddg}}}} The most symmetric projection is obtained by using a projection point that lies on that great circle that runs through the midpoint of each of the semicircles, but produces an unbounded embedding with the projection point removed from its {{nowrap|centerline.{{r|schleimer-segerman}}}} Instead, leaving the Sudanese Möbius strip unprojected, in the 3-sphere, leaves it with an infinite group of symmetries isomorphic to the [[orthogonal group]] {{nowrap|<math>\mathrm{O}(2)</math>,}} the group of symmetries of a {{nowrap|circle.{{r|lawson}}}}
| |||